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2013高考数学 解题方法攻略 三角函数2 理

高考中三角函数的解题策略与考试趋势
摘要: 近年来,三角函数试题在高考中所占的比例基本稳定在 12%左右,并且大部分试题为基础 题和中档题.以近 5 年各地区高考题为例,三角函数一般会作为一道客观题和一道主观题。本 文主要总结三角函数的各种考查题型和解题思路以及它的考试趋势。 关键词:三角函数,高考解题策略,考试趋势 Abstract:In recent years, the proportion of of Trigonometric questions in the College entrance examination is basically stable at around 12%,and most of the questions are basic questions and mid-range question.Take the nearly five years of the college entrance examination questions about the various regions for example.The trigonometric functions normally be used as an objective questions and a subjective question.This article summarized the main kinds of questions about the trigonometric ideas and its examination trends. Keywords: The trigonometric functions, The university entrance exam problem-solving strategies, examination trends 1﹒引言 三角函数是中学数学的主体内容, 是高考的重点, 也是高考的热点。 其考点主要包括: 同 角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角 函数, 三角函数的最值及综合应用。 一般设计为一道客观题, 一道解答题, 约占总分的 12% , 多数是中低档题。近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移 到对三角函数的图象与性质的考查、对基础知识和基本技能的考查上来。在考查三角公式进 行恒等变形的同时也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,降低了对三角函数恒等变形 的要求,加强了对三角函数性质和图象的考查力度。 2.高考中三角函数考察的题型 2.1 三角函数化简与求值 关于三角函数的求值,一般是先运用它的公式化简再求值,公式包括二倍角公式,两角 和与差的三角函数公式,和差化积公式,积化和差公式,正弦定理和余弦定理等。 例 1 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 and problem-solving

-1-

A-C=90° ,a+c= 2 b,求 C. (2011 年高考理科数学全国卷) 解:由 a ? c ?

2b 及正弦定理可得

sin A ? sin C ? 2 sin B.
又由于 A ? C ? 90 , B ? 180 ? ( A ? C ),
? ?

故 cos C ? sin C ?

2 sin( A ? C )

? 2 sin(90? ? 2C )

? 2 cos 2C.
2 2 cos C ? sin C ? cos 2C , 2 2
cos(45? ? C ) ? cos 2C.
因为 0? ? C ? 90? , 所以 2C ? 45? ? C ,

C ? 15?
例 2 在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

4 . 5

? ?

?? ? 的值. 6?
2 2

3 ? 4? 解(Ⅰ)在 △ ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? ,由正弦定理,得 5 ? 5?
BC AC . ? sin A sin B AC 2 3 2 所以 sin B ? sin A ? ? ? . BC 3 5 5
(Ⅱ)因为 cos A ? ?

4 ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5

21 ?2? , cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? 5 ?5?
2

2

cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 ?? ? ? ? ?1 ? sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin 5 25 6? 6 6 ?
-2-

?

4 21 3 17 1 ? ? ? 25 2 25 2 ? 12 7 ? 17 . 50

解析:本种类型题主要考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、 倍角公式、等基础知识,考查基本运算能力。所以,在对于这种直接运算化简的题目,必须 记住有关于三角函数的有关公式,主要有: 二倍角公式 :

sin(2? ) ? 2sin ? ?cos ? ;

cos(2? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ;
tan(2? ) ? 2 tan ? / (1 ? tan 2 ? ); cot(2? ) ? (cot 2 ? ? 1)(2 cot ? );

两角和与差的三角函数公式 :

cos(? ? ? ) ? cos ? ?cos ? ? sin ? ? ? ; sin cos(? ? ? ) ? cos ? ?cos ? ? sin ? sin ? ;
sin(? ? ? ) ? sin ? ?cos ? ? cos ? sin ? ; tan(? ? ? ) ? (tan ? ? tan ? ) / (1 ? tan ? ?tan ? ); tan(? ? ? ) ? (tan ? ? tan ? ) / (1 ? tan ? ?tan ? );
和差化积公式:

sin ? ? sin ? ? 2sin ??? +? ? / 2 ? cos ??? ? ? ? / 2 ? ; ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? 2 cos ??? ? ? ? / 2 ? sin ??? ? ? ? / 2 ? ; ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? 2 cos ??? ? ? ? / 2 ? cos ??? ? ? ? / 2 ? ; ? ? ? ? cos ? ? cos ? ? ?2sin ??? ? ? ? / 2 ? sin ??? ? ? ? / 2 ? ; ? ? ? ?
积化和差公式:

-3-

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )?; 2 1 cos ? ? ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]; sin 2 1 cos ? ?cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]; 2 1 sin ? ? ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]; sin 2 sin ? ? cos ? ?
正弦定理:在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.则 有 :

a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径) sin A sin B sin C

(1)已知三角形的两角与一边,解三角形。 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 (3)运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决角之间的转换关系 。 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 余弦定理:对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的两倍积,若三边为 a,b,c 三角为 A,B,C ,则满足性质

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A; b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac cos B; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ab cos C ; cos C ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) / (2ab ); cos B ? (a 2 ? c 2 ? b 2 ) / (2ac ); cos A ? (c 2 ? b 2 ? a 2 ) / (2bc );
2.2 三角函数的图像与性质 主要包括三角函数的图象及其性质、函数 y ? A sin ? ax ? b ? 、

y ? A cos ? ax ? b ? 及 y ? A tan(ax ? b) 的图象及其性质。关键是理解并掌握三角函数的图象
及其性质、三角函数图象的变换。 1.三角函数的图象及性质 (1)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象

-4-

函数 性质 图像

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

值域

? ?1,1?


? ?1,1?
?
2 (k ? Z )
当 x ? 2k? (k ? Z ) 时,

R

最值

x ? 2 k? ?

时, ymax ? 1 ; 当 x ? 2 k? ?

ymax ? 1
y ? 2 k? ? ?





既无最大值也无最小 值

?
2

?k ? Z ?

(k ? Z )时,ymin ? ?1
周期性 奇偶性 2π 奇函数 在 ? 2 k? ?

时, ymin ? ?1 2π 偶函数 π 奇函数 在 ? k? ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?



? 2 k? ? ? , 2 k? ? ( k ? Z )
上是增函数;在

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

(k ? Z ) 上是增函数;在
单调性

(k ? Z ) 上是增函数

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?
(k ? Z ) 上是减函数

? 2 k? , 2 k? ? ? ? ( k ? Z )
上是减函数 对称 中心 ? + (k 对 称

对称性

对称中心 (k? , 0)( k ? Z ) 对 称 轴

?
2

,0)










(

x ? k? ?

?
2

k? , 0)(k ? Z ) 2

, (k ? Z )

x ? k? ( k ? Z )

无对称轴

-5-

2. 理解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像中是由函数 y ? sin x 怎么变换来的, A, ? , ? 取不 当 同值的时候,对图像的影响。 由函数 y ? sin x 的图像到 y ? sin(? x ? ? ) 图像的步骤。

步骤 1

画出 y ? sin x 在[0,2 π] 的简图 沿x轴 平行移动

步骤 2

得到 y ? sin ? x ? ? ? 在某周期内的简图 横坐标 伸长或缩短

步骤 3

得到 y ? sin ?? x ? ? ? 在某周期的简图 纵坐标 伸长或缩短

步骤 4

得到 y ? Asin ?? x ? ? ? 在某周期内的简图
沿x轴 扩展

步骤 5

得到 y ? A sin ?? x ? ? ? 在 R 上的图像

3.对于函数 y ? A sin(? x ? ? ) 中未知数的求值,要记得几个公式。 T ? 例3:右图是函数 y ? A sin ?? x ? ? ?? x ? R ? 在区间 ? ?

2?

?

, A 为值域。

? ? 5? ? 上的图像,为了得到这个 , ? 6 6 ? ?

函数的图象,只要将 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有的点()

(A)向左平移

?
3

个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变; 2
(B) 向左平移

?

3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来

-6-

的 2 倍,纵坐标不变; (C) 向左平移 (D) 向左平移

? ?
6 6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变; 2

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变。

解析:从图中可以得出 A ? 1, T ? ? , ? ?

?
6

。所以根据函数

y ? sin x 的图像到 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的步骤便可知选择答案 A .
例 4: 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R , 其中 ? ? 0, ?? ? ? ? ? , 若f ( x) 的最小正周 期为 6? ,且当 x ?

?
2

时, f ( x) 取得最大值,则( )

A. f ( x) 在区间 [?2? , 0] 上是增函数; B. f ( x) 在区间 [?3? , ?? ] 上是增函数; C. f ( x) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数; D. f ( x) 在区间 [4? , 6? ] 上是减函数; 解析: 本种类型题主要考察有关 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图像及图的画法。 熟记 T 与 ? 之 间的关系 T ?

2?

?

. 同 时 记 住 A, ? 和 ? 的 取 值 对 于 图 像 的 影 响 。 一 般 地 , 函 数

y ? A sin ?? x ? ? ? , x ? R ? 其中A ? 0,? ? 0 ? 的图像,可以看作用下面的方法得到:先把正弦曲线上所有
的点向左(当 ? ? 0 时)或向右 (当 ? ? 0 时)平行移动 ? 个单位长度而得到,再把所得各点的横坐标缩短(当 ? ? 1 )或 伸长 (当 0 ? ? ? 1 时) 的原来的

1

?

(纵坐标不变) 再把所得各点的纵坐标伸长 , (当 A ? 1

时)或缩短 (当 0 ? A ? 1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变) 。同时会利用周期用五点法 作图,以及给了图像可以从中找出 A, ? , ? 的值。 2.3 解三角形 三角形中的三角函数关系式历年高考的重点内容之一,本节主要帮助考生更加深刻 理解正弦和余弦定理,掌握解斜三角形的方法和技巧。 例 5 在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.
-7-

已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 ac ? (Ⅰ)当 p ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a, c 的值; 4

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

5 ? ?a ? c ? 4 , ? (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ? ?ac ? 1 , ? ? 4

1 ?a ? 1, ? ? ?a ? , 解得 ? 4 1 或? ?c ? 4 , ?c ? 1. ? ?
(II)解:由余弦定理, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 ? ? cos B, 2 2
因为 0 ? cos B ? 1, 得p 2 ? ( , 2) , 由题设知 p ? 0, 所以

3 2

6 ? p ? 2. 2

例 6 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点 北偏东 45° 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° ,B 的 且与 B 点 相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救, 其航行速度为 30 海里/小时, 该救援船到达 D 点需要多长时间? 解:由题意知 AB=5(3+ 3) 海里,

?

?

?DBA ? 90? ? 60? ? 30?, ?DAB ? 45?,

??ADB ? 105?
在 ?DAB 中,由正弦定理得

DB AB ? sin ?DAB sin ?ADB

-8-

? DB ?

AB ? sin ?DAB 5(3 ? 3) ? sin 45? 5(3 ? 3) ? sin 45? ? ? sin ?ADB sin105? sin 45? ? cos 60? ? sin 60? ? cos 45?

=

5 3(1 ? 3) , ? 10 3 (海里) (1 ? 3) 2

又 ?DBC ? ?DBA ? ?ABC ? 30? ? (90? ? 60?) ? 60?, BC ? 20 3 海里, 在 ?DBC 中,由余弦定理得

CD 2 ? BD 2 ? BC 2 ? 2 BD ? BC ? cos ?DBC

1 ? 900 2 30 ? CD ? 30(海里) ,则需要的时间 t ? 。 ? 1 (小时) 30
= 300 ? 1200 ? 2 ? 10 3 ? 20 3 ? 答:救援船到达 D 点需要 1 小时。 解析:本种类型题主要考察的内容为三角函数中的正弦余余弦定理,在这类题中要考 虑角的取值范围,以及边的取值范围。对于解斜三角形,已知三个已知量要会运用正弦和余 弦定理,求出其他三个未知量的值。 3.三角函数常见的错解 在解三角函数的时候,同学们或多或少的都会出现一些错误. 对高中生来说,这部分内 容虽然公式较多,但规律性较强,因而学生容易掌握。同时,我们可以充分利用单位圆和三 角函数图象来学习三角函数性质,并解决与三角函数相关的问题,体现数形结合思想.现在 就三角函数及其相关问题中易错现象进行归纳和分析,以纠正学生对于三角函数中的误区。 误区主要包括几个方面。 第一,对于三角函数的定义认识不清晰,容易忽视定义域。 例 3.1 求函数 y ?

sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x

错解:设 t ? sin x ? cos x ?

?? ? 2 sin ? x ? ? , t ? ? ? 2, 2 ? , ? ? 4? ?

则 sin x cos x ?

t 2 ?1 t 2 ?1 t ?1 ,故 y ? 。 ? 2 2 ?1 ? t ? 2
? ? 2 ? 1 2 ? 1? 2 ,所以 y ? ? , ?。 2 2 ? ?

因为 ? 2 ? t ?

剖析:上面解法中忽略了对定义域及变量 t 取值范围的讨论,由 1 ? sin x ? cos x ? 0 ,得
-9-

? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 1? t ? ?1 ,进而 y ? ?1 ,故所求函数的值域应为 ? , ?1? ? ? ?1, ?。 ? ? 2 2 ? ? ? ?
第二,忽视相位变换所针对的对象。 例 3.2 已知 cos ? ? 3cos ? , cot ? ? 4 cot ? , 求sin?。 错解:由题设条件得

1 cos ? cos ? 3 4 sin ? ? ? ? sin ? , 1 cot ? cot ? 3 4
又 cos ? ?

1 ?4 ? ?1 ? cos ? , 则 ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? 1, 3 ?3 ? ?3 ?
2 30 . 15

2

2

解得 sin ? ? ?

剖析:上面解法是在 cot ? ? 0, cot ? ? 0 的前提下而求的,事实上,已知条件中含有

cot ? ? 0, cot ? ? 0 的情况,此时 sin ? ? ?1 也满足题意,三角变换应注意等价性,不能随意
扩大或缩小角的范围。 第三,忽视周期性。 例6 求函数 y ?

2 tan x 的最小正周期 1 ? tan x 2 2 tan x ? ? 错解 y ? ? tan 2 x, T ? ,即函数的最小正周期为 。 2 1 ? tan x 2 2

辨析 若

?
2

是y=

2 tan x ?? ? 有意义, 根据周期函数的定义只应有 f ? 0 ? ? ? 0 ? ? 成立。 然 2 1 ? tan x 2? ?

而 ?0 ?

? ?

??

? ?? ? ? ? ? 2 ? 根本无意义,故 2 不是其周期,错解是由于忽视对周期函数的定义的准确 2? ? ?

的理解产生的 第四,忽视题目中的隐含条件。 例 3.3 若 3sin ? ? 2sin ? ? 2sin ? ,求 sin ? ? sin ? 的取值范围。
2 2 2 2

错解: sin 2 ? ? cos 2 ? ? ?

1 2 1 1 2 sin ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? 1? ? , 2 2 2

又 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 sin 2 ? ? sin 2 ? ? ?0, ? 。 2 剖析:上面解题时忽略了条件中隐含的角的范围限制,

? 1? ? ?

- 10 -

? 2? 2sin 2 ? ? 2sin ? ? 3sin 2 ? ? ?0, 2 ? ,解得 sin ? ? ?0, ? , ? 3?
所以 sin ? ? ? ?1,1? 是错误的,故 sin 2 ? ? sin 2 ? ? ?0, ? . 9

? 4? ? ?

4.高考中三角函数的考试趋势 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查, 而重点转移到对三角函数 的图象与性质的考查, 对基础知识和基本技能的考查上来. 在考查三角公式进行恒等变形的 同时, 也直接考查了三角函数的性质及图象的变换, 降低了对三角函数恒等变形的要求, 加强 了对三角函数性质和图象的考查力度。在2011年的高考题中大多不在单一的考察关于三角函 数的公式,而是与三角形结合起来考察,运用正弦和余弦定理找寻三角函数与三角形之间的 关系,一般求解围三角形的面积或者是其中某个未知数的值,在考虑三角形中的三角函数要 考虑三角函数中的角在三角形中的取值范围,懂得舍角。同样的,在其他省份高考题中有关 于三角函数的题目主要有求最值和利用图像解三角函数。 4.1 求最值 求三角函数的最值是研究三角函数性质的重要手段之一,也是高考的常考点。求三角函 数的最值,常用方法如下: 1.形如 y ? a sin x ? b cos x ? c 型,利用三角辅助角公式

y ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ? c 来完成。
例4.1若函数 y ? (1 ? 3 tan x) cos x(0 ? x ? A、1 B、2 C、

?
2

) ,则f( x )的最大值为( )
D、 3 ? 2

3 ?1

分析:将切化弦,化简成 y ? a sin x ? b cos x ? c 型。 解: f ? x ? ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? 因为 0 ? x ?

? 3 ? 1 ?? ? sin x ? cos x ? ? 2sin ? x ? ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?
? 2? ? ? , 当x ? ? 时,f( x )取最大值2,故选 B . 3 6 2
2

?
2

,所以
2

?
6

? x?

?
6

2. 形 如 y ? a sin x ? b sin x cos x ? c cos x 型 , 通 过 二 倍 角 公 式 转 化 成

y ? A sin 2 x ? B cos 2 x 型,再利用三角辅助角公式来完成。
例4.2求函数 y ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x 的最小值、 最大值及最小值、 最大值时 x
2 2

- 11 -

的集合。 解法1:

y ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x

?? ? ? 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?

解法2:

y ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos 2 x
2

?? ? ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2 cos 2 x 4? ? ?? ? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ? cos 2 x 2? ? ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ?? ? ? 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
评注:两种解法分别运用了不同的三角变换,但殊途同归,都是利用 2 sin(2 x ? 有界性求值,显然这是一种求三角函数最值的基本方法。 3.形如 y ? a sin x ? b sin x ? c或y ? a cos x ? b cos x ? c 型,
2 2

?
4

)的

令sinx=t或cosx=t,转化成 y ? at ? bt ? c 的二次函数型。
2

例4.3已知函数 f (x) ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? 4 cos x 。 (Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。 解: (I) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4
2 2

(II) f ( x) ? 2(2 cos x ? 1) ? (1 ? cos x) ? 4 cos x = 3cos 2 x ? 4 cos x ? 1

- 12 -

= 3(cos x ? ) 2 ?

2 3

7 , x?R 3


因为 cos x ? [?1,1] , 所以, cos x ? ?1 时, f ( x) 取最大值 6; 当

cos x ?

2 7 时, f ( x) 取最小值 ? 。 3 3 a sin x ? b a cos x ? b 4.形如 y ? 型,可利用分离常数法或 sin x ? 1或 cos x ? 1 或y ? c sin x ? d c cos x ? d
2 ? cos x ( x ? R )的最大值是( ) 2 ? cos x 3 5 C、3 D、4 A、 B、 5 2 2 ? cos x 4 ? (2 ? cos x) 4 解析 1: y ? ? ? ?1 2 ? cos x 2 ? cos x 2 cos x
例 4.4 函数 y ?

来解决

? ?1 ? cos x ? 1?1 ? 2 ? cos x ? 3
? ymax ? 3
故选 C.

解析 2:由 y ?

2y ? 2 2 ? cos x ? cos x ? 1 ( x ? R ) 得 cos x ? 2 ? cos x y ?1
2y ? 2 ? 1 即 3 y 2 ? 10 y ? 3 ? 0 y ?1
解得

1 ? y ? 3? ymax ? 3 3
故选 C

5.型如 y ?

a sin x ? b 可利用斜率公式或分离常数来解决。 型, c cos x ? d

分析: (1)可通过恒等变形,变成 y ? sin ? x ? ? ? 的形式,再利用 sin ? x ? ? ? ? 1 来 解决, (2)结合函数式点特点及直线的斜率公式,利用数形结合而确定最值。 例 4.5 求函数

y?

2 ? sin x 2 ? cos x 的最大值和最小值。

分析: (1)可通过恒等变形,变成 y ? sin ? x ? ? ? 的形式,再利用 sin ? x ? ? ? ? 1 来 解决, (2)结合函数式点特点及直线的斜率公式,利用数形结合而确定最值。 解析1:原函数变形为 sin x ? y cos x ? 2 ? 2 y

- 13 -

? sin ? x ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2y y2 ?1 ?1

解得 ymax ?

4? 7 4? 7 , ymin ? 3 3

即 sin ? x ? ? ? ? 解析2: y ?

2 ? 2y y2 ?1

2 ? sin x 可看作是定点(2,2)与单位圆上的 2 ? cos x

点(cosx,sinx)的连线的斜率,依据图形可知,当连线与圆相切时 取得最值,解得 ymax ?

4? 7 4? 7 , ymin ? 3 3

评注: 通过适当的三角变换,结合化归和转化,应用函数和方程的思想,数形结合思想, 是解决三角函数最值问题的有效办法。 4.2 图像 在三角函数学习过程中,经常会遇到给定一段图像确定三角函数解析式的问题,这类问题 主要用“五点作图法”来确定其中的系数,其中A。 由图像往往比较容易确定,甲值的确定比较困难, 一般用“起始点法”、“最值法”、“待定系数法”等来确定。 例:某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮 船位于港口 O 北偏西30° 且与该港口相距20海里的 A 处,并以30海里/小时的航行速度沿正东 方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船 相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航 行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

- 14 -

解: (1)如图设小艇的速度为 v ,时间为 t 相遇, 则由余弦定理得: OC 2 ? AC 2 ? OA2 ? 2 ? AC ? OA cos ?OAC 即 vt 2 =400+900 t 2 -1200tcos600=900t2-600t+400= 900 ? t ? ? ? 300 当t ?

? ?

1? 3?

2

1 时,取得最小值,此时, v ? 30 3 。 3

(2)要用时最小,则首先速度最高,即为:30海里/小时,则由(1)可得:

OC 2 ? AC 2 ? OA2 ? 2 ? AC ? OA cos ?OAC
即: ? 30t ? ? 400 ? 900t 2 ? 1200t cos 60?
2

解得: t ?

2 ,此时 ?BOD ? 30? 3

此时,在△OAB中, OA ? OB ? OC ? 20 ,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30° , 航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 本题主要考查函数模型的建立和应用,主要涉及了余弦定理,二次函数法求最值,还考查了 数形结合的思想. 5 结语 对于高考中三角函数的解题策略与考试趋势,大多为熟记三角函数的有关公式,图像以及 定义。近年来,各省市自治区考三角函数的趋势逐渐与几何图形,三角应用题和在三角形中 解三角函数,主要考察正弦和余弦定理的应用,对于 2012 年各地数学理科高考题关于三角函 数的考察,我觉得会与生活中应用的图象结合,考察三角应用题,使用正弦与余弦定理来解 题。同样的对于客观题,函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图像以及图像的画法会比较重要,可能会 考图像的变换,若要加重难度就是将函数图像的起点改变,从而迷惑考生,因此,考生在做 相关题目时要注意好图像中给的信息,不要当成起始点从原点开始计算。 参考文献
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