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选修2-1第三章空间向量与立体几何教案4




题:空间的角的计算(1)

教学重点:异线角与线面角的计算 教学难点:异线角与线面角的计算 1、法向量在求面面角中的应用: 原理:一个二面角的平面角 ? 1 与这个二面角的两个半平 面的法向量所成的角 ? 2 相等或互补。 2、法向量在求线面角中的应用: 原理:设平面 ? 的斜线 l 与平面 ? 所的角为 ? 1,斜线 l 与 平面 ? 的法向量所成角 ? 2,则 ? 1 与 ? 2 互余或与 ? 2 的补角 互余。 三、数学运用 例 1 在正方体 ABCD ? A B C D 中,E1,F1 分别在 A1B1,,C1D1
1 1 1 1

上,且 E1B1= 1 A1B1,D1F1= 1 D1C1,求 BE1 与 DF1 所成
4 4

的角的余弦值。 解 1 : ( 几何法 ) 作平行线构造两条异面直线所成的角

?AHG
cos ?AHG ? 15 17

解 2: (坐标法)设正方体棱长为 4,以 DA, DC, DD1 为正

交基底,建立空间坐标系 D ? E1(4,3,4) ,B(4,4,0)

xyz ,

BE1 ? (0,?1,4) , DF1 ? (0,1,4) , BE1 ? DF1 =15
cos ? BE1 , DF1 ?? BE1 ? DF1 | BE1 | | DF1 |
1 1 1

?

15 17

例 2 在正方体 ABCD ? A B C D 中, F 分别是 BC 的中点,点
1

E 在 D1C1 上,且 D E
1

1

?

1 D1C1,试求直线 4

E1F 与平面 D1AC 所成

角的正弦值 解:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底, 建立如图所示坐标系 D-xyz
DB1
z D1 E1 C1

为 D1AC 平面的法向量, DB1 ? (1,1,1)

A1

B1

1 3 E1 F ? ( , ,?1) 2 4
cos ? DB1 , E1 F ?? 87 87
A x

D F B

C y

所以直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的正弦值为 3 、 补 充 例 题 在 三 棱 锥 S—ABC

87 87

z
S

中 ,
A
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∠SAB=∠SAC=∠ACB=90° ,AC=2,BC= (1)求证:SC⊥BC; (2)求 SC 与 AB 所成角的余弦值
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13 ,SB= 29

B C

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x

y

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解:如图,取 A 为原点,AB、AS 分别为 y、z 轴建立空 z
S

间直角坐标系,则有 AC=2,BC= 得 B(0,

13 ,SB= 29 ,AB= 17
13 17

17 ,0) 、S(0,0,2 3 ) 、C(2

,

4 17

,0) ,

A

B C

x

y

C 坐标如何求?用面积法或者三角形相似

??? ? ∴ SC

=(2

13 17

,

4 17

,-2

??? ? , CB =(-2 3)
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13 17

,

13 17

,0)

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(1)∵ SC · CB =0,∴SC⊥BC

??? ? ??? ?

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(2)设 SC 与 AB 所成的角为 α,

??? ? ∵ AB = (0,
∴cosα=
17 17

? ??? ? ??? ??? ? ??? ? SC ·AB =4, , | SC || AB |=4 17 ,0)
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17 ,

,即为所求

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4、课堂练习 四、回顾总结 求异线角与线面角的方法 五、布置作业



题:空间的角的计算(2)

教学目标: 能用向量方法解决二面角的计算问题 教学重点:二面角的计算 教学难点:二面角的计算 教学过程 一、创设情景 1、二面角的定义及求解方法 2、平面的法向量的定义 二、建构数学 利用向量求二面角的大小。 方法一:转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱

都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意:要特别 关注两个向量的方向) 如图:二面角 α-l-β 的大小为 θ, A,B∈l,AC ? α,BD ? β, AC⊥l,BD⊥l 则θ =< AC , BD >=< CA , DB >
C B D l A

?

?

方法二:先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离 及到棱的距离,然后通过解直角三角形求角。 如图:已知二面角 α-l-β,在 α 内取一点 P, 过 P 作 PO⊥β,及 PA⊥l,连 AO, 则 AO⊥l 成立,∠PAO 就是二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|,然后解三角形 PAO 求出∠PAO。 方法三:转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的
A B l

? P

l A O ?

?

P

?

补角。 如图(1)P 为二面角 α-l-β 内一点,作 PA⊥α, PB⊥β,则∠APB 与二面角的平面角互补。

三、数学运用 1、例 3 在正方体 ABCD ? A B C D 中,求二面角 A
1 1 1 1 1

? BD ? C1 的

大小。 解:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底, D 建立如图所示坐标系 D-xyz (法一)作辅助线,
1 1 1 1 说明平面角是? EA1 ? ( ,? ,1) , EC1 ? (? , ,1) 2 2 2 2
D E A x B C y A1 z
1

C1

B1

cos ? EA1 , EC1 ??

1 3
A1 BD

(法二略)求出平面

与平面

C1 BD

的法向量

n1 ? (1,?1,1) , n2 ? (?1,1,1)
cos ? n1 , n 2 ?? n1 ? n 2 | n1 | | n 2 | ? 1 3

例 4 已知 E,F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求: (1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的大小;
D F E A x B C y A1 z D1 C1

B1

解:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底, 建立如图所示坐标系 D-xyz (1) A1 D ? (?1,0,?1) ; EF ? (? ,? ,0)
cos ? A1 D, EF ?? A1 D ? EF | A1 D | | EF |
0

1 2

1 2

?

1 2
z D1

A1D 与 EF 所成角是 60

C1

1 (2) A1 F ? (?1, ,?1) , AB ? (0,1,0) 2

A1

B1

???? ??? ? ???? ??? ? A1 F ? AB 1 ??? ? ? , cos ? A1 F , AB ?? ???? | A1 F || AB | 3

D

F E

C y

A x

B

? 1 线面所成的角为 -arccos 2 3
四、回顾总结 1、二面角的向量解法 2、法向量的夹角与二面角相等或互补的判断

五、布置作业 课 教学目标: 能用向量方法进行有关距离的计算 教学重点:向量方法求点到面的距离 教学难点:向量方法求点到面的距离 教学过程 一、创设情景 1、空间中的距离包括:两点间的距离,点到直线的距离, 点到平面的距离,平行直线间的距离,异面直线直线间 的距离,直线与平面的距离,两个平行平面间的距离。 这些距离的定义各不相同,但都是转化为平面上两点间 的距离来计算的。 2、距离的特征:⑴距离是指相应线段的长度;⑵此线段 是所有相关线段中最短的;⑶除两点间的距离外,其余 总与垂直相联系。 3、求空间中的距离有⑴直接法,即直接求出垂线段的长 度;⑵转化法,转化为线面距或面面距,或转化为某三 棱锥的高,由等积法或等面积法求解;⑶向量法求解。 二、建构数学 1、两点间的距离公式 设 空 间 两 点
A ? x1 , y1 , z1 ? , B ? x2 , y2 , z2 ?

题:空间的距离





d AB ?

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ? ? ? z1 ? z2 ?
2

2

2、向量法在求异面直线间的距离 设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的 向量为 a ,与这两条异面直线都垂直的向量为 n ,则两异 面 直线 间的 距离是 a 在 n 方 向上 的正射 影向 量的 模。
d? |a?n| |n|

4、向量法在求点到平面的距离中 (1)设分别以平面外一点 P 与平面内一点 M 为起点和 终点的向量为 a ,平面的法向量为 n ,则 P 到平面的距离 d 等于 a 在 n 方向上正射影向量的模。 d ? | a ? n |
|n|

(2)先求出平面的方程,然后用点到平面的距离公式: 点 P(x0,y0,z0)到平面 AX+BY+CZ+D=0 的距离 d 为: ︱A x0+B y0+C z0+D︱ d= A2+B2+C2

三、数学运用 1、例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面 ΔABC 中,∠C=90° ,AC=BC=1,求点 B1 到平面 A1BC 的距离。 解 1:如图建立空间直角坐标系,由已知得 直棱柱各顶点坐标如下: A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0)
x A B1 C A1 C1 z

A1(1,0, 3 ) ,B1(0,1, 3 ) ,C1(0,0, 3 ) ∴ A1 B =(-1,1,- 3 ) , A1C =(-1,0,- 3 )
y

B

B1 A1 =(1,-1,0)
设平面 A1BC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
?x ? ? 3 ? ?n ? A1 B ? 0 ? ? x ? y ? 3z ? 0 ? ? ? ? ? y ? 0 即 n ? (? 3,0,1) ?? ? ?z ? 1 ?? x ? 3 z ? 0 ?n ? A1C ? 0 ? ?
z

? ???? ? | n ? A1 B1 | 3 ? d ? A1 B1 cos? ? ? ; 2 |n| ? ???? ? ? 是n和 A1 B1所成的角

所以,点 B1 到平面 A1BC 的距离

A1

C1

x A

B1 C

B y


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