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2019年河南省郑州市高中毕业年级第三次质量预测数学(文)试题(含答案)

高考数学精品复习资料

2019.5

郑州市 20xx 年高中毕业年级第三次质量预测

文科数学试题卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考 生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷时只交答题 卡.

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有一个是

符合题目要求的.

1.设复数

i-2 1+i

=a+bi(a,b∈R),则

a+b=

A.1

B.2

C.-1

D.-2

2.命题“存在 x0 ∈R, 2x0 ≤0”的否定是

A.不存在 x0 ∈R, 2x0 >0

B.存在 x0 ∈R, 2x0 ≥0

C.对任意的 x0 ∈R, 2x0 ≤0

D.对任意的 x0 ∈R, 2x0 >0

C 3.已知集合 M={x|y= lg 1-x },N={y|y= x2+2x
x

+3},则( RM)∩N=

A.(0,1)

B.[1,+∞)

C.[2,+∞)

D.(-∞,0]∪[1,+∞)

4.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数,依次记为

m 和 n,则 m>n 的概率为

A. 7 10

B. 3 10

C. 3 5

D. 2 5

5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积



A.2π +2 3 B.4π +2 3

C.2π + 2 3 D.4π + 2 3

3

3

6.已知抛物线 y= ax2 (a>0)的焦点恰好为双曲线 y2-x2=2 的一个焦点,则 a 的值为

A.4

B. 1 4

C.8

D. 1 8

7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的

值是

A.1007

B.20xx

C.20xx

D.3024

8.在数列{ an

}中,a1=2,an+1 = an

+ln(1+

1 n

),

则 an =

A.2+lnn C.2+nlnn

B.2+(n-1)lnn D.1+n+lnn

?

?x+y-1≤0,

9.若不等式组

? ? ? ?

x-y+1≥0, y+ 1 ≥0

表示的区域

Q,不等式

(

x-

1 2

)2+y

2≤

1 4

表示的区域为

?

,向

?2

Ω 区域均匀随机撤 360 颗芝麻,则落在区域 ? 中芝麻数约为

A.114

B.10

C.150

D.50

10.已知球的直径 CS=4,A,B 在球面上,AB=2,∠CSA=∠CSB=45°,则棱锥 S—ABC 的体

积为

A. 3 3

B. 2 3 3

C. 4 3 3

D. 5 3 3

11.若将函数 y=2sin(3x+? )的图象向右平移 ? 个单位后得到的图象关于点( ? ,0)对

4

3

称,则|? |的最小值是

A. ? 4

B. ? 3

C. ? 2

D. 3? 4

12.已知函数

f(x)=

?2

? ?

f

x-1, (x-2)+1,

(x≤0) 把函数 ( x>0),

g(x)=f(x)-

1 2

x

的偶数零点按从小到大的

顺序排列成一个数列,该数列的前 10 项的和 S10 等于

A.45

B.55

C.90

D.110

第Ⅱ卷

本卷包含必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题。每个试题考生都必须做答.第 22—24

题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.如右图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次

得分的茎叶图,茎表示得分的十位数,据图可知

甲运动员得分的中.位.数.和乙运动负得分的众.数.

之和为______________。

14.已知 cos(α - ? )+sinα = 4 3 ,则

6

5

sin(α + 7? )=___________. 6

15.若关于 x 的不等式 x2 + 1 x - ( 1 )n ≥0,当 x∈(-∞,λ ]时对任意 n∈N* 恒成立, 22
则实数λ 的取值范围是____________.

16.函数 f(x)=xlnx- a x2 -x+1 有两个极值点,则 a 的取值范围为__________. 2
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12 分)

设函数 f(x)=2 sin x ? cos2 ? + cos x sin? -sinx (0<? <π )在 x=π 处取得最小
2
值.

(Ⅰ)求? 的值;

(Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 2 ,f(A)

= 3 ,求角 C. 2

18.(本小题满分 12 分)

有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,

得到如下的列联表.

优秀

非优秀

总计

甲班

乙班

合计 105

已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 2 . 7
(Ⅰ)请完成上面的列联表;

(Ⅱ)根据列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;

(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到

11 进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序 号.试求抽到 6 号或 10 号的概率. 参考数据:

19.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角 三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1,E、F 分别为 BC、 CC1 的中点.
(Ⅰ)求证:B1E⊥平面 AEF; (Ⅱ)当 AB=2 时,求点 E 到平面 B1AF 的距离.

20.(本小题满分 12 分)

已知

F1、F2

分别为椭圆

C1:ay22



x2 b2

=1(a>b>0)的上、下焦点,其中

F1

也是抛物线

C2:x2=4

y

的焦点,点

M



C1



C2

在第二象限的交点,且|MF1|=

5 3



(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)已知点 P(1,3)和圆 O: x2+y2=b2 ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A,

uuur

uur uuur uuur

B,在线段 AB 取一点 Q,满足: AP =-λ PB , AQ =λ QB (λ ≠0 且λ ≠ ? 1),探

究是否存在一条直线使得点 Q 总在该直线上,若存在求出该直线方程.

21.(本小题满分 12 分)
设函数 f(x)=x- 1 -2mlnx(m∈R). x
(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值是 x1,x2,过点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为 k,
问:是否存在 m,使得 k=2-2m?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题记分。作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB. 证明: (Ⅰ) CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知

直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),( 2 3 , ? ),圆 C 的参数方程为 32

??x=2+2 cos? ,

? ??

y=-

3+2sin? ,

(θ 为参数).

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=|3x-1|+ax+3.
(Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)≤4; (Ⅱ)若函数 f(x)有最小值,求 a 的取值范围.

20xx 年高中毕业年级第三次质量预测 数学(文科) 参考答案

一、选择题:

第Ⅰ卷

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

答案 A

D

C

A

C

D

D

A

A

C

A

C

第Ⅱ卷

二、填空题:

13.64

4
14. -
5

15. ???,?1? 16.(0,1)
e

三、解答题:
17. (Ⅰ) f (x) ? 2sin x ?1? cos? ? cos x sin? ? sin x, 2

? sin x ? sin x cos? ? cos x sin? ? sin x

? sin x cos? ? cos xsin?

? sin(x ??),

———————2 分

因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ??) ? ?1,由诱导公式知 sin? ?1 ,———————4



因为 0

??

??

,所以?

?

? 2

.所以

f

(x)

?

sin(x

?

?) 2

?

cos

x,

—————6



(Ⅱ)因为 f ( A) ?

3 ,所以 cos A ? 2

3 2

,因为角

A



?

ABC

的内角,所以

A

?

? 6

.

———————8


又因为 a ? 1, b ? 2,所以由正弦定高考,得 a ? b , sin A sin B

也就是 sin B ? b sin A ? 2 ? 1 ? 2 ,

a

22

因为 b ? a ,所以 B ? ? 或 B ? 3? .

4

4

当 B ? ? 时, C ? ? ? ? ? ? ? 7? ;当 B ? 3? 时, C ? ? ? ? ? 3? ? ? .

4

6 4 12

4

6 4 12

——10 分 ————12 分

18.解 (1)

优秀

甲班

10

乙班

20

合计

30

(2)根据列联表中的数据,得到

非优秀 45 30 75

总计 55 50 105



2

k=

55×50×30×75

≈6.109>3.841,

———————5 分

因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”.

———————7 分

(3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y),则所有

的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6),共 36 个.

事件 A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个

∴P(A)=386=29.

———————12 分

19.(Ⅰ)证明:在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,不妨设 | AB |?| AA1 | =a , ∵△ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90? ,

∴ BC ?| B1C1 |? 2a ,

∵E、F 分别为 BC、 CC1 的中点,

∴|

B1E

|2 ?|

BE

|2

?

|

BB1

|2 ?

? ??

?

2 2

?2 a ??
?

?

a2

?

3 2

a2



2

|

EF

|2 ?|

EC

|2

?

| CF

|2 ?

? ???

2 2

a

? ???

? 1 a2 ? 3 a2 , 44

|

B1F

|2 ?|

B1C1

|2

?

|

C1F

|2 ?

2a2

?

1 4

a2

?

9 4

a2



有|

B1E

|2

?

|

EF

|2

?

3 2

a2

?

3 4

a2

?

9 4

a2

?|

B1F

|2



∴B1E ? EF ,

又∵AE ? BC, B1B ? 平面 ABC,∴B1E ? AE , AE EF ? E ,

∴B1E ? 平面 AEF. (Ⅱ)解:由条件知,

…………………………………………………………(6 分)

| AE |? 2, | B1E |? 6, | EF |? 3, | AF |? 5 ,

| AB1 |? 2 2, | B1F |? 3 , …………………………………………………………(8 分)

∵AE

? EF ,∴S△AEF

?

1 2

|

AE |

| EF |? 1 ? 2

2?

3?

6, 2

在 △AFB1

中, cos ?B1AF

?

8?5?9 2?2 2?

5

?

1

, 10

sin ?B1AF

?

3, 10

∴S△AB1F

?

1| 2

AB1 |

|

AF

|

sin

?B1 AF

?

1 2

?

2

2?

5?

3 ?3, 10

………………(10 分)

设点 E 到平面 B1AF 的距离为 d ,则 d S△AB1F ?| B1E | S△AEF ,

6? 6

所以 d ?

2 ?1,

3

即点 E 到平面 B1AF 的距离为 1.

………………………………………………(12 分)

20.(I)由 C2 : x 2 ? 4 y 知 F1 (0,1),设 M (x0, y0 )( x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C2 上,故

x

2 0

?

4 y0



又 MF1

?

5 3

,则

y0

?1

?

5 3

②,

由①②解得 x0

?

?

26 3

,

y0

?

2 3



椭圆 C1 的两个焦点 F1(0,1),F2 (0,?1) ,点 M

在椭圆上,

由椭圆定义可得

2a ?

MF1

?

MF2

?

5 3

?

(? 2 6 ? 0)2 ? (2 ?1)2

3

3

?4

∴ a ? 2, 又 c ? 1 ,∴ b2 ? a2 ? c2 ? 3 ,

椭圆 C1 的方程为:

y2 4

?

x2 3

? 1.

……………5 分

(II)设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), Q(x, y) ,

?

?

由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1,3 ? y1) ? ??(x2 ?1, y2 ? 3) ,



???xy11

? ?x2 ? ?y2

? 1? ? ? 3(1 ?

?)

?

?

由 AQ ? ? QB 可得: (x ? x1, y ? y1) ? ?(x2 ? x, y2 ? y) ,



???xy11

? ?

?x2 ?y2

? ?

(1 ? (1 ?

?)x ?)y

⑤×⑦得: x12 ? ?2 x22 ? (1 ? ?2 )x ,

⑥×⑧得: y12 ? ? 2 y22 ? 3y(1? ?2 ) ,

两式相加得 (x12

?

y12 )

?

?2

(

x

2 2

?

y22

)

?

(1 ?

?2

)( x

?

3y)



又点 A,B 在圆 x 2 ? y 2 ? 3上,且 ? ? ?1,

所以

x12

?

y12

?3 ,

x

2 2

?

y

2 2

?3

,即

x ? 3y ? 3

,所以点

Q

总 在 定 直 线 x ? 3y ? 3

上.

……12 分

21. (Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?).--------1分

由已知,f ?(x) ? 1 ?

1 - 2m x2 x

?

x2

? 2mx ? 1 .--------2分 x2

令g(x) ? x2 ? 2mx ? 1,?=4m2 ? 4,

1? 当-1 ? m ? 1时,则? ? 0,g(x) ? 0恒成立,即f ?(x) ? 0恒成立.. ? f(x)在(0,+?)上单调递增.--------------------------------------3 分
2? 当m ? ?1时,则? ? 0,
g(x)=0的两个根为m ? m2 ? 1,

m ? ?1 ? m ? m2 ? 1 ? 0. ? f(x)在(0,+?)上单调递增.------------------------------------5 分
3? 当m ? 1时,则? ? 0,

g(x)=0的两个根为m ? m2 ? 1. m ? 1 ? m ? m2 ? 1 ? 0.------------------------------------6 分

? f(x)在(0,m ? m2 ? 1)上单调递增,在(m ? m2 ? 1,m ? m2 ? 1)上单调递减,在(m+ m2 ? 1,+?)上单调递增, 综上,当m ? 1时,f(x)在(0,+?)上单调递增, 当m ? 1时,f(x)在(0,m ? m2 ? 1)上单调递增,在(m ? m2 ? 1,m ? m2 ? 1)上单调递减,

在(m+ m2 ? 1,+?)上单调递增,
(Ⅱ) 由已知,f(x)有两个极值点x1,x2,则m ? 1, 则x1+x2 =2m,x1x2 ? 1. ----------------------------------------------7 分

? k=

f(x1) ?

f(x2 ) ?

x1 ?

1 x1

? 2m ln x1 ? x2 ?

1 x2

? 2m ln x2

?

x1 ? x2

?

1 x1

?

1 x2

? 2m ln x1 ? 2m ln x2

x1 ? x2

x1 ? x2

x1 ? x2

(x1 ? x2 ) ? ?

x1 ? x2 x1x2

-2m ln

x1+2m ln

x2

? 2-2m ln x1 ? ln x2 ,-------------8 分

x1 ? x2

x1 ? x2

? 若存在m适合题意,则 ln x1 ? ln x2 =1.-----------------------------------------9 x1 ? x2


即 ln x1

? ln x2=x1

?

x2成立

?

ln

1 x2

? ln x2=

1 x2

?

x2成立,

?

- ln x2

? ln x2=

1 x2

?

x2成立

?

x2 -

1 x2

? 2 ln x2=0成立.

令h(t) ? t ? 1 ? 2 ln t(t ? 1),只须h(t)在(1,+?)上有零点.----------------------------10 分 t 由(1)可知,h(t)在(0,+?)上递增,

h(t) ? h(1) ? 0.即h(t)在(1,+?)上没有零点,

? 矛盾.故m不存在.------------------------------------------------12 分 22.证明:(Ⅰ)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.

证明 (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,所以 DE∥

BC.又

已知 CF∥AB,故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF

= BD

=AD.而 CF∥AD,连结 AF,所以四边形 ADCF 是平行四

边形,

故 CD=AF.

因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC.—————5 分

(2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD.所以∠BGD=∠BDG. 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB. 而∠DGB=∠EFC=∠DBC,

故△BCD∽△GBD.———————10 分

23.(1)由题意知,M,N

的平面直角坐标分别为(2,0),(0,2

3 3

),



P

为线段

MN

的中点,从而点

P

的平面直角坐标为(1, 3 3

),

故直线 OP 的直角坐标方程为 y ?

3 3

x,

———————5 分

(2)因为直线

l

上两点

M,N

的平面直角坐标分别为(2,0),(2 3 3

,? 2

),

所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x ? 3y ? 2 3 ? 0,

又圆 C 的圆心坐标为(2,? 3),半径 r=2,

圆心到直线 l 的距离 d

?

2

3?3 3 ?2 3?9

3

?

3 2

?

r.

故直线 l 与圆 C 相交.

———————10 分

24.(1)a ? 1时,f(x) ? 3x ? 1 ? x ? 3.

当x

?

1 3

时,f(x)

?

4

??

3x

?1?

x

?3

?

4,解得 1 3

?

x

?

1, 2

当x

?

1 3

时,f(x)

?

4

??

?3x

?1?

x

?3

?

4,解得0

?

x

?

1, 3

综上,原不等式的解集为[0,1 ].--------------5分 2

(2)f(x) ?

3x ? 1

? ax ? 3 ?

???(3 ? a)x ? 2,x ? ? ???(a ? 3)x ? 4,x ?

1, 3 1, 3

?

函数f(x)有最小值的充要条件为

?a ?

?a

? ?

3 3

? ?

0, ?
0

?3

?

a

?

3.

综上,所求a的取值范围为[-3,3].--------------10分

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