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根的判别式与韦达定理


一元二次方程根的判别式和韦达定理 一元二次方程根的判别式和韦达定理 一、根的判别式
? ? 2 2 ?1.概念:对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠ 0)来说,b ? 4ac称为根的判别式,记为?。 ? ?? > 0时,方程有2个不相等的根 ? ? ? 根的判别式 ?2.意义:? = 0时,方程有2个相等的根 ? ? ?? < 0时,方程没有实数根 ? ? ? 2 ?3.公式法:解为x = ?b ± b ? 4ac , 即为x = ?b ± ? ? 2a 2a ?

【典型例题】
1.当 m 取什么值时,关于 x 的方程 x 2 + 2( 2m + 1) x + ( 2m + 2) 2 = 0 。 (1)有两个相等实根; (2)有两个不相等的实根; (3)没有实根。

2.当 m 为什么值时,关于 x 的方程 ( m 2 ? 4) x 2 + 2(m + 1) x + 1 = 0 有实根。

3.已知关于 x 的方程 k 2 x 2 + ( 2k ? 1) x + 1 = 0 有两个不相等的实数根 x1 、 x 2 ,问是否存在实数 k ,使方程的两 实数根互为相反数?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由。

【课堂练习】 课堂练习】
一、填空题: 1、下列方程① x + 1 = 0 ;② x + x = 0 ;③ x + x ? 1 = 0 ;④ x ? x = 0 中,无实根的方程是
2 2 2 2



2、已知关于 x 的方程 x ? mx + 2 = 0 有两个相等的实数根,那么 m 的值是
2



二、选择题: 1、下列方程中,无实数根的是( A、 x ? 1 + 1 ? x = 0

) B、 2 y + 6 = 7 y

C、 x + 1 + 2 = 0

D、 x 2 ? 3 x + 2 = 0 )

2、若关于 x 的一元二次方程 ( m ? 2) 2 x 2 + ( 2m + 1) x + 1 = 0 有两个不相等的实根,则 m 的取值范围是( A、 m <

3 4
2

B、 m ≤

3 4

C、 m >

3 且 m ≠2 4

D、 m ≥

3 且 m ≠2 4

3、在方程 ax + bx + c = 0 ( a ≠0)中,若 a 与 c 异号,则方程( A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根

) D、无法确定

2 一、试证:关于 x 的方程 mx ? ( m + 2) x = ?1 必有实根。

二、已知关于 x 的方程 x ? mx + 2m ? n = 0 的根的判别式为零,方程的一个根为 1,求 m 、 n 的值。
2

三、已知关于 x 的方程 x 2 + ( 2m + 1) x + m 2 + 2 = 0 有两个不等实根,试判断直线 y = (2m ? 3) x ? 4m + 7 能否 通过 A(-2,4) ,并说明理由。

四、 已知关于 x 的方程 x ? 2( m ? 2) x + m = 0 , 问: 是否存在实数 m , 使方程的两个实数根的平方和等于 56?
2 2

若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。

: 二、根与系数的关系(韦达定理) 根与系数的关系(韦达定理)
如果 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的两个根是 x1 , x 2 , 则 x1 + x 2 = ? 以 x1 和 x2 为根的一元二次方程为:x2-( x1+x2)x+ x1x2=0

b c , x1 ? x 2 = a a

【典型例题】 典型例题】
1、求待定系数及另一根 例题: 例题: 1.已知 3- 2 是方程 x +mx+7=0 的一个根,则 m=________,另一根为_______. 2.已知关于 x 的一元二次方程 ax + bx + c = 0 两根之积为 12,两根的平方和为 25,写出符合此条件的一个方
2
2



。 。

3.若关于 x 的一元二次方程 x 2 + kx + 4k 2 ? 3 = 0 的两个实数根分别是 x1 , x2 ,且满足 x1 + x2 = x1 x2 .则 k 的值为 4.关于 x 的方程 2 x + kx ? 4 = 10 的一个根是-2,则方程的另一根是
2

;k =



2.根与系数的关系与判别式的应用 2.根与系数的关系与判别式的应用 例题 1.已知关于 x 的方程 x 2 + 2( m + 2) x + m 2 ? 5 = 0 有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大 16, 求 m 的值。

2.已知 x1 、 x 2 是关于 x 的一元二次方程 4 x 2 + 4( m ? 1) x + m 2 = 0 的两个非零实数根,问: x1 与 x 2 能否同号? 若能同号请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。

【课堂练习】
1.已知方程 x +(2k+1)x+k -2=0 的两实根的平方和等于 11,k 的取值是( A.-3 或 1
2
2 2



B.-3

C.1
2

D.3 )

2.若 α , β 是方程 x + 2 x ? 2005 = 0 的两个实数根,则 α + 3α + β 的值为( A.2005 B.2003
2

C.-2005

D.4010

3.若关于 x 的一元二次方程 2x -2x+3m-1=0 的两个实数根 x1,x2,且 x1·x2>x1+x2-4,则实数 m 的取值范 围是 A.m> ?

5 3

B. m≤

1 2

C.m< ?

5 3

D. ?

5 1 <m≤ 3 2

4. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 + kx + 4k 2 ? 3 = 0 的两个实数根分别是 x1 , x2 ,且满足 x1 + x2 = x1 x2 .则 k 的值为 ( ) A .-1 或
3 4

B.-1

C.

3 4

D.不存在 ) D. p < 0 且 q < 0 ,x1x2= ,x12+x22= ;

5.关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0 的两根同为负数,则( A. p > 0 且 q > 0 B. p > 0 且 q < 0

C. p < 0 且 q > 0

6.已知一元二次方程 x2-2x-1=0 的两个根是 x1,x2,则 x1+x2= 7.若是 m,n 方程 x +2002x-1=0 的两个实数根,则 m n+mn -mn 的值为 8.反比例函数 y = 的坐标是
2
2 2 2

k 2 的图象经过点 P( a 、 b ) ,其中 a 、 b 是一元二次方程 x + kx + 4 = 0 x

2

的两根,那么点 P

9.已知 x1 、 x 2 是方程 x ? 3 x + 1 = 0 的两根,则 4 x1 + 12 x 2 + 11 的值为 10、已知关于 x 的方程 x 2 ? 2( m + 1) x + m 2 ? 3 = 0 (1)当 m 取何值时,方程有两个不相等的实数根?



(2)设 x1 、 x 2 是方程的两根,且 ( x1 + x 2 ) 2 ? ( x1 + x 2 ) ? 12 = 0 ,求 m 的值。


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