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解析几何专题直线与椭圆综合问题(学案)

解析几何专题 05 直线与椭圆综合问题
学习目标
(1)能够根据直线与椭圆的方程准确判断它们之间的位置关系; (2)能够利用弦长公式准确求解直线被椭圆截得的弦长,并在此基础上解决相关三 角形的面积问题; (3)能够利用“点差法”以及“韦达定理”正确求解椭圆的弦中点问题; (4)初步熟悉直线与椭圆综合问题的解题程序。

知识回顾及应用
1.椭圆中的定值或定点问题 此类问题的一般解题思路 2.椭圆中的最值或范围问题 此类问题的一般解题思路 3.椭圆中的其它综合问题 4.应用所学知识解决问题: 【题目】 已知椭圆 E 的中心在原点 O, 焦点在 x 轴上, 离心率 e ?
6 , 过点 C (?1, 0) 的 3

直线 l 交椭圆于 A, B 两点,且满足 CA ? 2BC .试用直线 l 的斜率 k 表示 ?OAB 的面积。

【变式 1】已知椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

6 ,过点 C (?1, 0) 3

的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,且满足 CA ? 2BC .当 ?OAB 的面积最大时,求椭圆 E 的方程。

【变式 2】 *已知椭圆 E 的中心在原点 O, 焦点在 x 轴上, 离心率 e ?

6 , 过点 C (?1, 0) 3

斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点。若 CA ? ? BC (? ? 2) ,且 ? ? k 2 ? 1 。试问:实 数 ? , k 分别为何值时,椭圆 E 的短轴长最大?求此时椭圆 E 的方程。

1

问题探究(请先阅读课本,再完成下面例题)
【类型一】椭圆中的定值或定点问题 此类问题常常可以先由特殊情况得到定值或定点,再从一般情况加以证明;也可以 分别从条件和结论两个方向探索,最后在中间某处实现统一;有时还可能会用到“多项 式恒等定理” 。 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两 例 1.已知定点

→· → 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若 点,在 x 轴上是否存在点 M,使MA MB
不存在,请说明理由.

3? ? 练习:椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,该椭圆经过点 P?1,2?且离心率为 ? ? 1 2.(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

2

【类型二】2.椭圆中的最值或范围问题 此类问题往往与函数、不等式有关系:有时可以通过建立函数关系求函数的最值; 有时可以通过判别式定理得到一个不等式再求解; 有时还可以通过三角代换转化为三角 x2 2 例 2 已知椭圆 F,O 为坐标原点. 问题 借助三角函数的有界性 求解……其解题关键是 对题目信息的有效整合。 2 +y =1 的左焦点为 (1)求过点 O、F,并且与直线 l:x=-2 相切的圆的方程; (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

x2 y2 练习:已知椭圆 C:a2+b2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点. (1)当椭圆的半焦距 c=1,且 a2,b2,c2 成等差数列时,求椭圆的方程; (2)在(1)的条件下,求弦 AB 的长度; 3 2 (3)当椭圆的离心率 e 满足 3 ≤e≤ 2 ,且以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O,求椭圆 长轴长的取值范围.

3

【类型三】 椭圆中的其它综合问题 弦长公式常常配合韦达定理一起使用:
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

其中 k 是直线的斜率, x1 , x2 分别是 A,B 两点的横坐标。 例 3.已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与 曲线 c 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线。

. 练习: 如图,椭圆 M :
3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q , l 与矩形 ABCD 有两个 不同的交点 S , T .求
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

4

检测
x2 y2 1.如图, F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 + 2 =1( a ? b ? 0 )的 a b

左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的 另一个交点, ?F1 A F2 =60°.(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值.

2.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 右焦点的距离为 3.(I)求椭圆 C 的标准方程;

1 ,且椭圆的左顶点到 2

(II)若过 点 P(0, m)的直线l 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且 AP ? 3PB ,求 实数 m 的取值范围.

5

3. (2013 西城一模)如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线 a 2 b2

交椭圆于 A ,B 两点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60? . (Ⅰ) 求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交 于 D, E 两点.记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 ,求 值范围.
S1 的取 S2

4.已知点 A 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点, 直线 l : x ? my ? 1(m ? R) 与椭圆 C 相 9 t
16 . 3

交于 E , F 两点,与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ AEF 的面积为

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的 圆是否经过点 B ?并请说明理由.

纠错矫正

总结反思
6


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