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特级教师王连笑2.分类讨论与整合思想


2.分类讨论与整合思想 王连笑
在解题时,我们常常遇到这样一种情况,解到某一步之后,不能再以统一的 方法,统一的式子继续进行了,因为这时被研究的问题包含了多种情况,这就 必须在条件所给出的总区域内,正确划分若干个子区域,然后分别在多个子区 域内进行解题,这就是分类讨论的思想方法.分类思想是以概念的划分,集合 的分类为基础的思想方法,这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般 化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”, 但分类解决问题问题之后, 还必须把它们总合在一起,这种“合-分-合”的解决问题的过程,就是分类与 整合的思想方法.

对分类讨论思想的考查, 一方面,是有没有分类的意识,遇到应该分类的情况, 是否想到要分类. 有哪些情况需要分类呢? (1) 有些概念就是分类定义的, 例如绝对值的概念, x 要分为 x ? 0, x ? 0 和 对
x ? 0 三类;又如三角形可分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形三类,函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,当 a ? 0 时是一次函数,当 a ? 0 时,是二次函数等等;

(2) 有的运算法则和定理,公式是分类给出的, 例如等比数列的求和公式就分 为 q ? 1 和 q ? 1 两种情况,对数函数的单调性就分为 a > 1 , a < 1 两种情况,不等 式 ax2 ? bx ? c ? 0 的 解 又 分 为 a ? 0 , a ? 0 时 ? ? 0, ? ? 0,? ? 0 及 a ? 0 时 ? ? 0, ? ? 0,? ? 0 共 7 种情况,直线的斜率分为存在与不存在两种情况等等; (3) 图形位置的相对变化也会引起分类,例如两点在同一平面的同侧,异侧, 二次函数图像的对称轴相对于定义域的不同位置,求不等式 ? x ?1?? x ? a ? ? 0 时, 在数轴上,要区别 a 在 1 的左侧,重合与右侧三种情况等; (4) 对于一些题目如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求, 分成若干情况研究. (5) 涉及到整数或自然数的问题,或 ? ? 1? 时,可对整数分为奇数和偶数两类,
n

或者把整数按以 3 或以 4 ,以 5 等为模的同余类分类. 所以,考察分类讨论思想的第一个内容就是想到想不到要分类,

第二方面则是是如何分类,即要会科学地分类,分类要标准统一,不重不 漏; 第三方面是分类之后如何研究,要会在不同情况下进行讨论; 第四方面是如何把分类讨论的结果进行整合.

1.遇到概念的分类定义,是否想到分类 【例 1】 (2004 北京卷,理) 某段城铁线路上依次有 A、B、 三站,AB=5km, C BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站.在实际运行中,假设列车从 A 站正点发 车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm/h 匀速行驶,列车从 A 站 到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差. (I)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (II)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值 范围.

【分析及解】 (I)列车在 B,C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是 300 480 ?7 和 ? 11 . v v (II)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,所以 300 480 ?7 ? ? 11 ? 2 . (*) v v 不等式(*)是一个含绝对值符号的不等式,要去掉绝对值符号就要根据 300 480 ?7 和 ? 11 的正负进行分类. v v 300 300 480 300 0?v? ?7? ? 11 ? 2 ,解得 39 ? v ? 当 时, (*)式变形为 ; 7 v v 7 300 480 300 480 300 480 ?v? 7? ? ? 11 ? 2 ,解得 ?v? 当 时, *) ( 式变形为 ; 7 11 v v 7 11 480 ?00 480 480 195 v? 7? ? 11 ? ? 2 , 解得 ?v? 当 时, (*)式变形为 . 11 v v 11 4 ? 195 ? 综上所述, v 的取值范围是 ?39, ? . 4 ? ?

1 1 【例 2】 (2006 辽宁卷,理)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 2 2 ). f ( x) 的值域是(

? 2 ? ? ? 2? 2? ,1? A. ??1,1? B. ? ? C. ? ?1, D. ? ?1, ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 【分析及解】本题给出的函数是一个含有绝对值符号的函数,就要针对 sin x ? cos x 的正负进行分类,写成分段函数 ?cos x(sin x ? cos x) 1 1 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? ? 2 2 ?sin x(sin x ? cos x) ? 5? 当 sin x ? cos x ,即 2k? ? ? x ? 2k? ? ? k ? Z ? 时, 4 4 ? 2? f ? x ? ? cos x, f ? x ? ? ? ?1, ? , 2 ? ? 3? ? ? x ? 2k? ? ? k ? Z ? 时, 当 sin x ? cos x ,即 2k? ? 4 4 ? 2? f ? x ? ? sin x, f ? x ? ? ? ?1, ? .故选(C). 2 ? ?

【例 3】2008 广东卷, 已知 a ? R , ( 理) 若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 有实根,则 a 的取值范围是

1 ? a ?0 4

. 1 【分析及解】本题有两个绝对值符号 a ? 和 a ,为去掉绝对值符号,就要把 4 全体实数分为 5 种情形讨论.
1 1? ? (1) 当 a ? 0 时, 方程为 x 2 ? x ? ? 2a ? 0 ,此时 ? x ? ? ? 2a ? 0 ,方程无解; 4 2? ? 1 1 (2) 当 a ? 0 时,方程为 x 2 ? x ? ? 0 ,有实根 x ? ? ; 4 2 1 1 1 (3) 当 0 ? a ? 时, 方程为 x 2 ? x ? ? 0 ,有实根 x ? ? 4 4 2 1 1 1 2 (4) 当 a ? 时, 方程为 x ? x ? ? 0 ,有实根 x ? ? ; 4 4 2 1 1 (5) 当 a ? 时, 方程为 x 2 ? x ? ? 2a ? 0 , 此时 ? ? 2 ? 8a ? 0 ,方程无解. 4 4 ? 1? 综合以上, a 的取值范围是 ?0, ? . ? 4?
2

【例 4】 (2005 浙江卷,理)已知函数 f ?x ? 和 g ?x ? 的图象关于原点对称,且 f ?x ? ? x 2 ? 2 x . (Ⅰ)求函数 g ?x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ? x? ? f ? x ? ? x ?1 ; (Ⅲ)若 h?x? ? g ?x? ? ?f ?x? ? 1 在 ?? 1,1?上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

【分析及解】 (Ⅰ) g ? x? ? ?x2 ? 2x .

(Ⅱ)由 g ? x? ? f ? x ? ? x ?1 可得 2x2 ? x ?1 ? 0 , 需对 x ? 1 和 x ? 1 分类. 当 x ? 1 时, 2 x2 ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解, 1 ? 1? 2 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解为 ?1 ? x ? ,因此,原不等式的解集为 ??1, ? . 2 ? 2?

(Ⅲ) h ? x ? ? ? ?1? ? ? x2 ? 2 ?1? ? ? x ?1 . 首先,要针对 h ? x ? 是一次函数还是二次函数进行分类,对于二次函数,又要对 (1)当 ? ? ?1 时, h ? x ? 是一次函数, h ? x ? ? 4x ?1 在 ?? 1,1? 上是增函数,∴ ? ? ?1 ; 1? ? ? ? ?1 时,对称轴的方程为 x ? (2)当 . 1? ? ①当 ? ? ?1 时, 二次函数 h ? x ? 的图象开口向上,若 h?x ? ? g ?x? ? ?f ?x? ? 1 1? ? ? ?1 ,解得 ? ? ?1 ; 在 ?? 1,1?上是增函数,应满足 1? ? ②当 ? ? ?1 时, 二次函数 h ? x ? 的图象开口向上,若 h?x ? ? g ?x? ? ?f ?x? ? 1 在 ?? 1,1?上是增函数,应满足 综上, ? ? 0
1? ? ? 1 ,解得 ?1 ? ? ? 0 。 1? ?

h ? x ? 图像的开口方向的不同进行分类.

?1, x ? 0, 【 例 5 】 2004 浙 江 卷 , 理 ) 已 知 f ?x ? ? ? ( 则不等式 ?? 1 x ? 0 . x ? ?x ? 2? f ?x ? 2? ? 5 的解集是 【分析及解】已知函数是一个分段函数,因此,要根据分段函数的定义域 的划分进行分类. 3 (1)当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时,不等式化为 x ? ? x ? 2? ? 5 ,解得 ?2 ? x ? ; 2 (2)当 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 时,不等式化为 x ? ? x ? 2? ? 5 ,解得 x ? ?2 .
3? ? 由(1),(2)得,不等式的解集为 ? ??, ? . 2? ?

【例 6】设 A ? ? x | x 2 ? 2 x ? lg(9a ? 2a 2 ) ? 0? , B ? ?x x ? 0?,且 A ? B ? ? , 求实数 a 的取值范围. 【分析及解】由 A ? B ? ? ,可知,集合 A 可能是空集或非空集,对集合 A 是否 为空集分类. (1)当 A 是空集时,有 ? 9a ? 2a 2 ? 0, 5 ? ? 22 ? 4lg ? 9a ? 2a 2 ? ? 0 ? lg ? 9a ? 2a 2 ? ? 1 ? ? ?2?a? . 2 9a ? 2a 2 ? 10. ? (2)当 A 不是空集时, B 是空集,必须使方程 x2 ? 2x ? lg(9a ? 2a2 ) ? 0 有二负根, 其充要条件是 ?? ? 4 ? 4lg ? 9a ? 2a 2 ? ? 0, ? ? 9a ? 2a 2 ? 1, 5 9 ? 73 9 ? 73 ? x1 ? x2 ? ?2 ? 0, ?? ? ?a? ? a ? 2或 ? 2 2 4 4 ?9a ? 2a ? 10. ? 2 ? lg ? 9a ? 2a ? ? 0. ? 综合(1),(2)得

9 ? 73 9 ? 73 ?a? . 4 4

2.遇到定理,法则的分类给出,是否想到分类 【例 1】 (2006 安徽卷,文)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? , Sn n ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an pan ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 【分析及解】Ⅰ) ( 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

S2n 4n ? 2 a ?a 得: 1 2 ? 3 , ? a1 Sn n ?1

所以 a2 ? 2 ,即 d ? a2 ? a1 ? 1 ,又 an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 2(a ? n ? 1) 4n ? 2 S 2 n 1 2 = n , ? ? ? n an ? a1 an ? 1 n ? 1 Sn an ? a1 ?n 2 所以 an ? n .

(Ⅱ) bn ? an pan , bn ? npn 。 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ??? (n ?1) pn?1 ? npn , 由 得 所以 由于涉及到等比数列求和,要对公比 p 按是否等于 1 分类: n ?1 当 p ? 1时, Tn ? ; 2 当 p ? 1 时,

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,
(1 ? p)Tn ? p ? p ? p ? ? ? p ? p ? np
2 3 n n ?1 n ?1

p(1 ? p n ) ? ? np n?1 1? p

? n ?1 , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? . n ? p(1 ? p ) ? np n?1 , p ? 1 ? 1? p ?

【 例 2 】 (2005 全 国 卷 Ⅰ, 理 ) 设 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , 前 n 项 和

Sn ? 0 ? n ? 1, 2,?? .
(Ⅰ)求 q 的取值范围; 3 (Ⅱ)设 bn ? a n ? 2 ? a n ?1 , 记 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Sn 和 Tn 的大小. 2 【分析及解】 (Ⅰ)因为 ?an ? 是等比数列,由 Sn ? 0 可得

a1 ? S1 ? 0, q ? 0. Sn ? 0, 首先对 q 分类,分为 q ? 1 和 q ? 1 讨论, 当 q ? 1 , S n ? na1 ? 0; 时
a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0, 即 ? 0, (n ? 1, 2,?) 当 q ? 1 时, Sn ? 1? q 1? q ?1 ? q ? 0, , (n ? 1,2, ?) 上式等价于不等式组: ? ① 1? qn ? 0 ? ?1 ? q ? 0, , (n ? 1,2, ?) 或? ② n ?1 ? q ? 0 解①式得 q ? 1 ; 解②, n 要分为奇数和偶数研究, 对 由于 n 可为奇数、 可为偶数, ?1 ? q ? 1 . 得 再把上述的分类讨论结果进行整合,整合时要注意等比数列的公比 q ? 0 . 综上,q 的取值范围是 (?1,0) ? (0,??).

3 3 3 (Ⅱ)由 bn ? aa ? 2 ? an ?1 得 bn ? a n (q 2 ? q), Tn ? (q 2 ? q) S n . 2 2 2 3 1 2 于是 Tn ? S n ? S n (q ? q ? 1) ? S n (q ? )( q ? 2). 2 2 下面的讨论中,要结合已知条件和(Ⅰ)的结果进行分类.即注意 Sn ? 0, 且 ?1 ? q ? 0或q ? 0, 于是 1 当 ?1 ? q ? ? 或q ? 2 时, Tn ? Sn ? 0, 即Tn ? Sn ; 2 1 当 ? ? q ? 2且q ? 0 时, Tn ? Sn ? 0, 即Tn ? Sn ; 2 1 当 q ? ? , 或q ? 2 时, Tn ? Sn ? 0, 即Tn ? Sn . 2

3.遇到图形位置的相对变化,是否想到分类

x2 (a, b 为常数 ),且方程 【例 1】 (2005 江西卷,理)已知函数 f ?x ? ? ax ? b f ?x ? ? x ? 12 ? 0 有两个实根为 x1 ? 3 , x2 ? 4 . (Ⅰ) 求函数 f ?x ? 的解析式; ?k ? 1?x ? k . (Ⅱ) 设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式: f ? x ? ? 2? x x2 【分析及解】(Ⅰ) f ? x ? ? ? x ? 2? 2? x ?k ? 1?x ? k , 进而有 x 2 ? ?k ? 1?x ? k ? 0 . x2 ? (Ⅱ)不等式可化为 2? x 2? x 2? x 这等价于 ?x ? 2??x ? 1??x ? k ? ? 0, 解到这里就要针对 k 与 1,2 的大小关系进行分类: (1) 当 1 ? k ? 2 时,解集为 x ? ?1, k ? ? ? 2, ??? ;
(2) 当 k ? 2 时, 解集为 x? ?1, 2? ? ? 2, ??? ; (3) 当 k ? 2 时, 解集为 x ? ?1,2? ? ? k, ??? .

【例 2】若二次函数 f ? x ? ? ? 为 2b ,求 ?a, b? .

1 2 13 x ? ,在区间 ?a, b? 上的最小值为 2 a ,最大值 2 2

1 2 13 x ? 的图象的对称轴为 x ? 0 , 所以, 2 2 要对区间 ?a, b? 相对于对称轴 x ? 0 的不同位置, x ? 0 在区间 ?a, b? 的左边, 即 中间 和右边进行分类. (1)当 0 ? a ? b 时(图 2-1), f ? x ? 在 ?a, b? 上递减,则

【分析及解】 因为二次函数 f ? x ? ? ?

?f ? ? ?f ?

? 1 2 13 ? ? a ? ? 2b, ?? 2 a ? 2 ? 2b, ?? 解得 a ? 1, b ? 3, ?a, b? ? ?1,3?. b ? ? 2a. 1 2 13 ? ?? b ? ? 2a. ? 2 ? 2

图2-1

图2-2

图2-3

(2)当 a ? 0 ? b 时 (图 2-2) f ? x ? 在 ? a,0? 上递增,在 ?0,b? 上递减,所以 f ? 0 ? 最 ,
13 13 1 ? 13 ? 13 39 大,有 f ? 0 ? ? ? 2b, b ? .此时有 f ? b ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 2 4 2 ? 4 ? 2 32 1 13 而最小值 2a ? 0 ,所以,应有 f ? a ? ? 2a ,解 ? a 2 ? ? 2a, 得 a ? ?2 ? 17 . 2 2 13 ? ? 于是 ? a, b? ? ??2 ? 17, ? 4? ? (3)当 a ? b ? 0 时(图 2-3), f ? x ? 在 ?a, b? 上递增,
2

? 1 2 13 ?? a ? 2 ? 2a, ?a 2 ? 4a ? 13 ? 0, ? f ? a ? ? 2a, ? 2 ? ?? ?? 2 ? ? f ? b ? ? 2b. ? ? 1 b 2 ? 13 ? 2b. ? b ? 4b ? 13 ? 0. ? ? 2 ? 2 此时, ab ? ?13 ? 0, 与 a ? b ? 0 矛盾,无解. 13 ? ? 由以上, ?a, b? ? ?1,3?, ? a, b? ? ??2 ? 17, ? . 4? ?

【例 3】 (2006 全国卷Ⅰ,理)已知函数 f ? x ? ? (Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性;

1 ? x ? ax e . 1? x

(Ⅱ)若对任意 x? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围。 【分析及解】 (Ⅰ) f ? x ? 的定义域为 ? ??,1? ? ?1, ??? .对 f ? x ? 求导数得
f ?? x? ? ax 2 ? 2 ? a

?1 ? x ?

2

e ? ax .为研究 y ? f ? x ? 的单调性,就要根据 2 ? a 的正负,对 a 分类

(1)当 a ? 2 时, f ? ? x ? ?

2 x2

?1 ? x ?

e?2 x , f ? ? x ? 在 ? ??,0? , ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 均大于 0, 2

所以 f ? x ? 在 ? ??,1? 和 ?1, ?? ? 上均为增函数. (2)当 0 ? a ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? ??,1? 和 ?1, ?? ? 上均为增函数;

(3)当 a ? 2 时, 0 ?

a?2 a?2 a?2 ? 1 ,, 令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ? .. , x2 ? a a a

当 x 变化时, f ? ? x ? 和 f ? x ? 的变化情况如下表:

x

? a?2 ? ? ??, ? ? ? a ? ? ?

? a?2 a?2 ? , ?? ? ? a a ? ? ?

? a?2 ? ,1? ? ? ? a ? ?

?1, ???
+ 增

f ? ? x? f ? x?

+ 增

- 减
? a?2 ? ,1? , ?1, ?? ? 为增函数, ? ? ? a ? ?

+ 增

? a?2 ? f ? x ? 在 ? ??, ? ?, ? a ? ? ?

? a?2 a?2 ? , f ? x? 在 ? ? ? 为减函数. ? a a ? ? ?

(Ⅱ)在本问中,除对 2 ? a 的正负进行分类外,还要对 a 的正负进行分类. (1)当 0 ? a ? 2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x? ? 0,1? 恒有 f ? x? ? f ? 0? ? 1 .

1 a?2 ? ? 0,1? ,则由(Ⅰ)知 f ? x0 ? ? f ? 0? ? 1 . 2 a 1? x ? 1 且 e? ax ? 1 , 得 (3) 当 a ? 0 时 , 对 任 意 x? ? 0,1? , 恒 有 1? x 1 ? x ? ax f ? x? ? e ? 1. 1? x 本题的两问都需要分类,但由于给出的条件不同,分类也有区别,主要还是根 据参数 a 与 0 或 2 的大小关系进行分类. 分类讨论之后,还要对讨论的结果进行整合,当且仅当 a?? ??,2? 时,对任意
(2)当 a ? 2 时, 取 x0 ?

x? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1.

4.遇到题目的特殊要求,是否想到分类 【例 1】 (2008 天津卷,理)有 8 张卡片分别标有数字 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ,则不 同的排法共有( ). (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种 【分析及解】 8 张卡片中两张卡片上的数字之和为 5 的仅有两种情 况: 2 ? 3 ? 5,1 ? 4 ? 5 .所以,第一次分类是针对这两个等式分类,要分为两类讨论. 2 第 1 类: 2, 3 在中间一行,有 A2 种排法,这时,又可以进行第 2 次分类,由于 1 ? 4 ? 5 ,所以针对取出的余下 4 张卡片中是否有 1 或 4 进行第二次分类.可分为 (1)有 1 有 4. 这时,1 和 4 不能在同一行,而分别在第 1,3 行,有 8 种排法,剩下 2 的 5,6,7,8 种选两个排在其余位置有 A4 ? 12 种排法.共有 8 ? 12 ? 96 种排法;
4 (2)无 1 无 4. 这时有 A4 ? 24 种排法;
3 4 (3)有 1 无 4. 在从 5,6,7,8 中选 3 个与 1 共同排列,有 C4 A4 ? 96 种排法; 3 4 (4)无 1 有 4. 同(3), 有 C4 A4 ? 96 种排法.

2 所以,第 1 类共有 A2 ?96 ? 24 ? 96 ? 96? ? 624 种排法.

2 第 2 类:1,4 在中间一行,同第 1 类,有 A2 ?96 ? 24 ? 96 ? 96? ? 624 种排法.

所以共有 2 ? 624 ? 1248 种排法.故选 B. 在解题中,我们进行了两次分类,再最后整合. 这一方法虽然麻烦一些,但是,条理清楚,把一道大题分成了若干小题求解,思 路来得自然.

【例 2】 (2006 全国卷Ⅰ,理)设集合 I ? ?1,2,3,4,5? 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有( ). A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 【分析及解】这是一个计数问题,关键在于对题目的条件如何思考, (1) 是 A 和 B 是非空子集, (2)是 B 中最小的数大于 A 中最大的数,怎样实现这两 个条件?最好的方法是分类讨论.从条件(2)中的“B 中最小的数”入手, 显然有四种 情形: ① B 中最小的数为 2.此时 A 仅有 1 中选法,即 A ? ?1? ,而 B 可以有 8 中选法, 即 3,4,5 三个元素可以在 B 中,也可以不在 B 中. ② B中最小的数为 3,此时 A 有 3 种选法,即 A ? ?1? ,?2?,?1,2? ,而 B 有 4 种选法, 即 4,5 两个元素可以在 B 中,也可以不在 B 中. ③ B 中最小的数为 4, 此时 A 有 7 种选法,即 A 为 ?1,2,3? 的非空子集,而 B 有 2 种选法,即 5 可以在 B 中,也可以不在 B 中. ④ B 中最小的数为 5, 此时 A 有 15 种选法,即 A 为 ?1,2,3,4? 的非空子集,而 B 仅有 1 种选法,即 5 在 B 中. 由以上, 不同的选择方法共有 1? 8 ? 3 ? 4 ? 7 ? 2 ? 15 ?1 ? 49 种.

【例 3】 (2004 湖北卷,文)为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四 种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发 事件不发生的概率(记为 p )和所需费用如下表: 预防措施 甲 乙 丙 丁 p 0.9 0.8 0.7 0.6 90 60 30 10 费用(万元) 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超 过 120 万元的前提下,请确定一个预防方案, 使得此突发事件不发生的概率最大。 【分析及解】由于不超过 120 万元的情形有三种:只有甲,甲和丙,乙,丙,丁,所 以有三个方案,就要对三个方案分别讨论. 方案 1:单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元.由表可知,采用 甲措施,可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为 0.9. 方案 2:联合采用两种预防措施,费用不超过 120 万元,由表可知.联合甲、 丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为 1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97. 方案 3:联合采用三种预防措施,费用不超过 120 万元,故只能联合乙、丙、 丁三种预防措施,此时突发事件不发生的概率为 1—(1—0.8)(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知,在总费用不超过 120 万元的前提下,联合使用乙、 丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.

5.遇到同余类问题,是否想到分类 【例 1】(2008 北京卷,理)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地 设计植树方案如下:第 k 棵树种植在点 Pk ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 , k ? 2 时, 当
? ? ? k ? 1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? ? 5 ? ? 5 ?? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. ? k k ?1 ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? T (a) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 . 按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为 第 2008 棵树种植点的坐标应为 ? k ?1 ? ? k ? 2 ? 【分析及解】 根据 T (a) 的定义,在计算 T ? ? ?T ? ? 时,要对正整数 k ? 5 ? ? 5 ? 按以 5 为模进行分类.

(1)当 k ? 5m ? 1 时, 1? ? k ?1 ? ? k ?2? ? 5m ? ? 5m ? 1 ? ? T? ? ?T ? ? ?T ? ? ?T ? ? ? T ? m ? ? T ? m ? ? ? m ? ? m ? 1? ? 1 . 5? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? (2)当 k ? 5m ? 2 时, 1? ? k ?1 ? ? k ?2? ? 5m ? 1 ? ? 5m ? ? T? ? ?T ? ? ?T ? ? ?T ? ? ? T ? m ? ? ? T ? m? ? m ? m ? 0 . 5? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? ? k ?1 ? ? k ?2? ? 5m ? 2 ? ? 5m ? 1 ? ?T ? ?T ? ?T ? (3)当 k ? 5m ? 3 时, T ? ? ? ? ? ? m?m ? 0 ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? k ?1 ? ? k ?2? ? 5m ? 3 ? ? 5m ? 2 ? (4)当 k ? 5m ? 4 时, T ? ? ?T ? ? ?T ? ? ?T ? ? ? m?m ? 0 ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? (5)当 k ? 5m 时, ? k ?1 ? ? k ?2? ? 5m ? 1 ? ? 5m ? 2 ? T? ?T ? ?T ? ?T ? ? ? ? ? ? ? m ?1? ? ? m ?1? ? 0 . ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? k ?1 ? ?k ?2? T? ?T ? 所以, ? ? 组成的数列为 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,? , ? 5 ? ? 5 ? 数列 ?xn ? 为 1, 2,3, 4,5,1, 2,3, 4,5,1, 2,3, 4,5,? ; 数列 ?yn ?为 1,1,1,1,1, 2, 2, 2, 2, 2,3,3,3,3,3, 4, 4, 4, 4, 4,? . 因此,第 6 棵树种在 ?1, 2 ? ,第 2008 棵树种在 ?3,402? .

【例 2】(2008 广东卷,文)设数列 ?an ? 满足
1 4, a1 ? 1, a2 ? 2 , an ? (an ?1 ? 2an ?2 )(n ? 3, ?) . 3 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , bn (n ? 2,?) 是非零整数,且对任意的正整数 m 和自 3,

然数 k ,都有 ?1 ? bm ? bm?1 ? ? ? bm?k ? 1.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? nanbn (n ? 1,?) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . 2,

?1 (当n为奇数时) 【分析及解】 (Ⅰ) bn ? ? ??1 (当n为偶数时) ? 8 3 ? 2 ?n ?1 (当n为奇数时) ? n ? n? ? ?5 5 ? 3 ? (Ⅱ) cn ? nanbn ? ? n ?1 ? 8 3 ?2? (当n为偶数时) ?? 5 n ? 5 n ? 3 ? ? ? ? Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn .

因为,数列 ?cn ? 是分为奇数和偶数给出的,所以,要对 n 分为奇数和偶数讨论.

当 n 为奇数时, 8 8 8 8 ? ?8 Sn ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n ? ? 5 5 5 5 ? ?5 0 1 2 3 n ?1 3? ?2? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ? 0 1 2 3 n ?1 3? ?2? ?2? ?2? ? 2? ? 2? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ? 0 1 2 3 n ?1 4(n ? 1) 3 ? ? 2 ? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? . 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ? 当 n 为偶数时, 8 8 8 8 ? ?8 Sn ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n ? ? 5 5 5 5 ? ?5 0 1 2 3 n ?1 3? ?2? ?2? ?2? ? 2? ? 2? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ? 0 1 2 3 n ?1 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? . 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?

? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? 令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 2 ① ? 得: 3
2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
1 2 3 4 1 2 3 4

0

1

2

3

n ?1





n


n ?1 n

1 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ① ? ②得: Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? n ?2? 1? ? ? n n n 2? 2? 2? 3 ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 3 ? (3 ? n) ? ? ,? Tn ? 9 ? (9 ? 3n) ? ? . 2 ?3? ?3? ?3? 1? 3 ? 4n ? 23 9(n ? 3) ? 2 ?n ? (当n为奇数时) ? ? ? 5 ?3? ? 5 因此 Sn ? ? n ? 4n ? 27 9(n ? 3) ? 2 ? ?? 5 ? 5 ? 3 ? (当n为偶数时). ? ? ?

【例 3】(2008 天津卷,理)在数列 ?an ? 与 ?bn ? 中, a1 ? 1, b1 ? 4, 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足

nSn?1 ? ? n ? 3? Sn ? 0, 2an?1 为 bn 与 bn ?1 的等比中项, n ? N? .

(Ⅰ) 求 a2 , b2 的值;
a1

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ) 设 Tn ? ? ?1? b1 ? ? ?1? b2 ? ? ? ? ?1? bn , n ? N? , 证明 Tn ? 2n2 , n ? 3.
a2 an

n ? n ? 1? 2 , bn ? ? n ? 1? , n ? N? . (Ⅱ) an ? 2 a a a (Ⅲ) Tn ? ? ?1? 1 b1 ? ? ?1? 2 b2 ? ? ? ? ?1? n bn

【分析及解】(Ⅰ) a2 ? 3 , b2 ? 9.

n ? n ? 1? 由于 当 n ? 1, 2,3,? 时的奇偶状况是: 奇,奇,偶,偶,奇,奇,偶,偶,…,所 2 以要对 n 以 4 为模分为四种情况讨论.

? ?2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? ? ?1?
2 2 2 2 2

n? n ?1? 2

? n ? 1?

2

.

(1) 当 n ? 4k , k ?N? 时,
Tn ? ?22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? ? ? 4k ? 2 ? ? ? 4k ? 1? ? ? 4k ? ? ? 4k ? 1? .
2 2 2 2

因为 ? ? 4k ? 2 ? ? ? 4k ? 1? ? ? 4k ? ? ? 4k ? 1? ? 32k ? 4 ,所以
2 2 2 2

Tn ? 32 ? ?1 ? 2 ? ? ? k ? ? 4k ? ? 4k ? ? 3 ? 4k ? n 2 ? 3n.
2

(2) 当 n ? 4k ?1, k ?N? 时,
Tn ? ? 4k ? ? 3 ? 4k ? ? 4k ? 1? ? ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? n.
2 2 2 2

(3) 当 n ? 4k ? 2, k ?N? 时,
Tn ? ? 4k ? ? 3 ? 4k ? ? 4k ? 1? ? ? 4k ? ? 3 ? n ? 2 ? ? ? n ? 3? ? ?n 2 ? 3n ? 3.
2 2 2 2

(4)当 n ? 4k ? 3, k ?N? 时,
Tn ? ? 4k ? ? 3 ? 4k ? ? 4k ? 1? ? ? 4k ? ? ? 4k ? 1? ? ?n ? 3.
2 2 2 2

? ?n ? 3, ??n 2 ? 3n ? 3, ? 所以, Tn 的表达式有 Tn ? ? ? n, ? n 2 ? 3n, ? ? 1 3 ? n ? n 2 ? 2, ? ?1 ? 3 ? 3 ? 2, Tn ? n n 2 从而当 n ? 3 时,有 2 ? ? n ? 1 ? 2, ? n ? 3 ?1 ? ? 2, ? n Tn 因此, 当 n ? 3 时,有 2 ? 2, 即 Tn ? 2n2 . n

n ? 4k ? 3, n ? 4k ? 2, n ? 4k ? 1, n ? 4k ,
n ? 5,9,13,? ,

k ? N?

n ? 6.10,14,? , n ? 3, 7,11,? , n ? 4,8,12,? ,

6.分类讨论的避免与简化 用分类讨论与整合思想解题,在数学解题中占据重要地位,用分类思想解题 不仅可以加深对数学基础知识和基本技能的理解,而且也有助于理性思维能力的 提高.但是,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,这就要求我们在解分类讨 论题目时,注意解法上的优化,对有一些题目,可以采用其它解法,使分类讨论得以 避免和简化. 【例 1】2006 天津卷) ( 已知函数 y ? f ? x ? 的图象与函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象关于直线 y ? x 对称,记 g ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ? ? f ? 2 ? ? 1? ,若 y ? g ? x? 在区间 ? ?
?1 ? ? 2 , 2 ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ? ?

).
?1 ? C. ? ,1? ?2 ? ? 1? D. ? 0, ? ? 2?

A. ?2,???

B. ? 0,1? ? ?1,2?

【分析及解】一般的解法是
a g ? x ? ? loga x ? loga x ? loga 2 ?1? ,设 t ? loga x ,则化为 g ? x ? ? h ? t ? ? t ? t log a 2
2

需要对对数的底 a 分为 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两类讨论. ?1 ? 当 a ? 1 时,区间 x ? ? , 2? 化为 t ??? loga 2,loga 2? ,若 h ?t ? 在 t ??? loga 2,loga 2? ?2 ? 1 a a 1 1 t ? log a ? ? log a 2 ? log a ? log a ? a ? 与 a ? 1 矛盾. 上增,则图象对称轴 2 2 2 4 2 ?1 ? 当 0 ? a ? 1 时, 区间 x ? ? , 2? 化为 t ??loga 2, ? loga 2? , ?2 ? 若 h ?t ? 在 t ??loga 2, ? loga 2? 上增,注意到,此时 loga x ? t 为减函数,
1 a a 1 1 则 其 图 象 的 对 称 轴 t ? log a ? ? log a 2 ? log a ? log a ? a ? , 即 2 2 2 4 2 1 0 ? a ? .故选 D. 2

上面的解法对于一道选择题,显然繁琐一些,但是,如果运用对数函数的特征, 可以避免分类讨论. 1 g ? x ? ? log a x ? log a x ? log a 2 ? 1? ? 2 ?lg 2 x ? ? lg a ? lg 2 ? lg x ? ? lg a ? 设 t ? lg x , g ? x ? ? ? ?t ? ? t 2 ? ? lg a ? lg2? t .
?1 ? 则区间 x ? ? , 2? 化为 t ??? lg2,lg2? , ?2 ? 1 ?1 ? 由 y ? g ? x? 在区间 ? , 2 ? 上是增函数及 2 ? 0 , lg a ?2 ? lg a ? lg 2 1 1 ? ? lg 2 ? lg a ? lg 2 ? ?2lg 2 ? lg a ? lg ? a ? . 可得 2 2 2 ? 1? 即 a ? ? 0, ? .故选 D. ? 2?

【例 2】过点 M ?1,0? 作直线 L 与圆 C : x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,O 为原点, 求 ?AOB 的面积的最大值. 【分析及解】解法 1.作 ON ? AB 于 N ,则 N 为 AB 的中点. 对过点 M ?1,0? 作直线 L 要分斜率存在和斜率不存在两类讨论.

(1)当直线 L 的斜率存在时,设直线 L 的方程为 L : y ? k ? x ?1? .则 ON ?
? y ? k ? x ? 1? , 解? 2 2 ? x ? y ? 16.
2

k 1? k 2

? 2k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 , ? 得 ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 16 ? 0, 有 ? 2 ? x x ? k ? 16 . ? 1 2 1? k 2 ?

于是 AB ? 1 ? k ?
1 S?AOB ? ? AB ? ON ? 2

? x1 ? x2 ?

2

16 ? 15k 2 , ? 4 x1x2 ? 2 2 1? k
,

k 2 ?16 ? 15k 2 ?

?1 ? k ?

2 2

1 设 t ? 2 , ? 0 ? t ? 1? ,则 S?AOB ? g ? t ? ? ?t 2 ? 14t ? 15 ? 15 , k ?1 (2) 当直线 L 的斜率不存在时,直线 L 的方程为 L : x ? 1 ,

此时, A 1, 15 , B 1, ? 15 , S?AOB ? 15 .

?

? ?

?

? 于是, S?AOB ? 15 ,当直线 L 的倾斜角为 时, S?AOB 有最大值为 15 . 2

解法 2.作 ON ? AB 于 N ,则 N 为 AB 的中点. 如果设直线 L 的方程为 x ? my ? 1 ,则可以不必分类.

ON ?

1 1? m
2

,

? x ? my ? 1, 则? 2 2 得 ?1 ? m2 ? y 2 ? 2my ? 15 ? 0, ? x ? y ? 16. 2m ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? m 2 , 16m2 ? 15 2 ? 2 , AB ? 1 ? m ? ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 2 ? 2 1? m ? y y ? ? 15 . ? 1 2 1 ? m2 ?
S?AOB 1 16m2 ? 15 ? AB ? ON ? , 2 2 1 ? m2

?

?

16 1 设 t ? m ?1, ?t ? 1? ,则 S?AOB ? ? ? t ? ? ? 2 , ? t ? 1? , t t 由 S?AOB ? ? ? t ? 是 t ??1, ??? 上的减函数,则 S?AOB ? 15 . ? 当 t ? 1, 即 m ? 0 ,直线 L 的倾斜角为 时, S?AOB 有最大值为 15 . 2
2

【例 3】解不等式 3 ? 3 ? x ? ? 3 ? 2 x 【分析及解】一般的解法是分 3 ? 2 x ? 0 和 3 ? 2 x ? 0 两种情形求解. (1)当 3 ? 2 x ? 0 时,解 9 ? ? 3 ? 3 ? x ? ? 3 ? 2 x, ?0 ? x ? 4 , 3 ? ? 解得 ? 即0? x ? . ? 2 ? 3 ? 2 x ? 0. ?x ? 3 ? ? 2 ? ? 3 ? 3 ? x ? ? 0, 3 (2)当 3 ? 2 x ? 0 时,只需 ? 解得 ? x ? 3 , 2 ?3 ? 2 x ? 0. 由(1),(2)得不等式的解为 0 ? x ? 3 . 为了避免这种分类求解,可以采取补集思想求解. 不等式中 x 的允许值的集合 ? x x ? 3? 作为全集. 解不等式 3 ? 3 ? x ? ? 3 ? 2 x 得 ? x x ? 0? , 其补集 ? x 0 ? x ? 3? 就是原不等式的解集.

【例 4】(2008 山东卷,理第(Ⅱ)问) 已知函数 f ( x) ?
x ? N* ,

1 ? ln( x ? 1) ,其中 (1 ? x)n 证明:对任意的正整数 n ,当 x ? 2 时,有 f ( x) ? x ? 1 .
n

【分析及解】证法 1.由函数的定义域知, x ? 1 ,因此,为判断 ?1 ? x ? 的正负, 需对 n 分奇数和偶数讨论.

1 ? ln( x ? 1) , n (1 ? x) n 1 x?2 n ? ? ? ? 0( x ? 2) 则 g ?( x) ? 1 ? . ( x ? 1) n ?1 x ? 1 x ? 1 ( x ? 1) n ?1 所以当 x ??2, ?? 时, g ( x) 单调递增, 又 g (2) ? 0 , ?
当 n 为偶数时, 令 g ( x) ? x ? 1 ?
1 ? ln( x ? 1) ? g (2) ? 0 恒成立,所以 f ( x) ? x ? 1 成立. n ( x ? 1) 1 ?0 , 所 以 只 需 证 当 n 为 奇 数 时 , 要 证 f ( x) ? x ? 1 , 由 于 (1 ? x) n ln( x ? 1) ? x ? 1 , 1 x?2 ? ? 0(x ? 2) 令 h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) , 则 h?( x) ? 1 ? , x ?1 x ?1 所以当 x ??2, ?? 时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2) ? 1 ? 0 , ?

因此 g ( x) ? x ? 1 ?

所以当 x ? 2 时,恒有 h( x) ? 0 , 即 ln( x ? 1) ? x ? 1 命题成立. 综上所述,结论成立.

证法 2. 当 x ? 2 时,对任意的正整数 n ,恒有 故只需证明 1 ? ln( x ?1) ? x ?1 .

1 ?1, n (1 ? x)

令 h( x) ? x ? 1 ? (1 ? ln( x ? 1)) ? x ? 2 ? ln( x ? 1) , x??2, ?? , ? 则 h?( x) ? 1 ?
1 x?2 ? , x ?1 x ?1

当 x ? 2 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 ?2, ?? 上单调递增, ? 因此当 x ? 2 时, h( x) ? h(2) ? 0 , 即 1 ? ln( x ?1) ? x ?1 成立. 故当 x ? 2 时,有
1 ? ln( x ? 1) ? x ? 1. n (1 ? x)

即 f ( x) ? x ? 1 .

总之,在解题中,既要运用分类与整合思想对数学解题过程中,出现的各种不 同情况进行缜密地思考,又要注意避免不必要的分类,从而室内解题更灵活,更简 便,更优化.


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