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2013年福建省高三质检文科数学试卷word版

2013 年福建省普通高中毕业班质量检查









本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时 间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内 作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标 号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 锥体体积公式 s=

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

V=

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3 ?R 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是 A. z ? ?1 ? i A. a ? b
2 2

B. z ? ?1+i B. ac ? bc D.

C. z ? 2

D. z ?

2

2.已知 a ? b, c ? 0 ,则下列不等式一定成立的是 C. a ? c ? b ? c

a b ? c c

3.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 2,则输出的 x 值为 A.3 B.8 C.9 D.63 4.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 B . 必 要 而 充 分 不 条 件 D.既不充分也不必要条件
2

C.充要条件

5.函数 y ? x cos x ? ?
2

?? ? ? ? x ? ? 的图象是 2? ? 2
y
y

π 2

O

π 2

x

π 2

O

π 2

x

A

B

第1页

2 6.已知集合 M ? ?x | ?2 ? x ? 8? , N ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 ,在集合 M 中任取一个元素

?

?

x ,则 “ x ? M ? N ”的概率是 1 1 3 1 A. B. C. D. 10 6 10 2 7.已知 F , F2 是椭圆 C 的两个焦点,焦距为 4.若 P 为椭圆 C 上一点,且 ?PF F2 的周长 1 1 为 14,则椭圆 C 的离心率 e 为 1 2 4 21 A . B. C. D. 5 5 5 5 ?3 x ? y ? 1 ? 0, ? 8.若变量 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 11 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 2, ?
A.4 B.1 C.0 D. ?1 9.设 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 A.若 m // n, m // ? ,则 n // ? C. m // n, m ? ? , n ? ? 若 则 与圆 C 的位置关系是 A.相交且过圆心 B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n D. m ? ? , n ? ? , m // n , ? // ? 若 则

10.已知点 O ? 0,0? , A ?1, 2 ? , B ?3,2? ,以线段 AB 为直径作圆 C ,则直线 l : x ? y ? 3 ? 0 B.相交但不过圆心 C.相切 D.相离

11.已知点 O ? 0,0? , A0 ? 0,1? , A ? 6,7? ,点 A ,A2 ,?,An?1 ? n ? N,n ? 2? 是线段 A0 An 的 n 等 n 1 分点,则 OA0 ? OA1 +? ? OAn ?1 ? OAn 等于 A. 5n B. 10n C. 5 ? n ? 1?
x y 12. 定义两个实数间的一种新运算“*”:x ? y ? lg 10 ? 10 , x, y ? R .对任意实数 a, b, c ,

???? ???? ?

?????? ???? ?

?

?

D. 10 ? n ? 1?

给出如下结论:

① ?a * b?* c ? a * ?b * c ? ; ② a * b ? b * a ;

③ ? a * b? ? c ? ? a ? c ? * ?b ? c ? ;

C.2 D.3 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.一支田径队有男运动员 28 人,女运动员 21 人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取 14 位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取________人.

其中正确的个数是 A. 0 B.1

b C= 14. ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 在 角 已知 a ? 3 , ? 8 ,

?

3

, c= 则



? 2 x ? a ,x ? 0 , f ( x) ? ? 15 . 若 函 数 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围 ?ln x, x ? 0
是 .

第2页

16.观察下列等式:

1 2 ? ? 1; 3 3 7 8 10 11 ? ? ? ? 12 ; 3 3 3 3 16 17 19 20 22 23 ? ? ? ? ? ? 39 ; 3 3 3 3 3 3
… 则当 m ? n 且 m, n ? N 表示最后结果.

3n ? 1 3n ? 2 3m ? 2 3m ? 1 ? ?? ? ? ? 3 3 3 3

(最后结果用 m, n 表示最后结果) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某工厂生产 A, B 两种元件,其质量按测试指标划分为:大于或等于 7.5 为正品,小于 7.5 为次品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下: 7 7 9 7.5 9.5 A y x 6 8.5 8.5 B 由于表格被污损,数据 x, y 看不清,统计员只记得 x ? y ,且 A, B 两种元件的检测数据 的平均值相等,方差也相等. (Ⅰ)求表格中 x 与 y 的值; (Ⅱ)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正品的概率. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? cos x , x ? R .

?? ? ? 的值; ? 12 ? (Ⅱ)试写出一个函数 g ? x ? ,使得 g ? x ? f ? x ? ? cos 2x ,并求 g ? x ? 的单调区间.
(Ⅰ)求 f ? 19.(本小题满分 12 分) 某几何体 ABC? A1 B1C1 的三视图和直观图如图所示. (Ⅰ)求证:平面 AB1C1 ? 平面 AAC1C ; 1 (Ⅱ)若 E 是线段 AB1 上的一点,且满足 VE ? AA1C1 ?

1 V ABC? A1B1C1 ,求 AE 的长. 9
C1 B1

4

A1

2 正(主)视图

侧(左)视图
A

C
正视方向

B

4

俯视图

第3页

20.(本小题满分 12 分) 某工业城市按照“十二五”(2011 年至 2015 年)期间本地区主要污染物排放总量控制要 求,进行减排治污.现以降低 SO2 的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比 上一年减少 0.3 万吨,已知该城市 2011 年 SO2 的年排放量约为 9.3 万吨, (Ⅰ)按原计划,“十二五”期间该城市共排放 SO2 约多少万吨? (Ⅱ) 该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召, 决定加大减排力度. 2012 在 年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自 2013 年起,SO2 的年排放量每年比上一年减少 的百分率为 p ,为使 2020 年这一年的 SO2 年排放量控制在 6 万吨以内,求 p 的取值范围. (参考数据 8

2 2 . ? 0.9505, 9 ? 0.9559) 3 3

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ex ? ax2 ? bx .

(Ⅰ)当 a ? 0, b ? ?1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ? x ? 在点 P t , f ? t ?

?

? ?0 ? t ? 1? 处的切线为 l ,直线 l 与 y 轴相交于点 Q .

若点 Q 的纵坐标恒小于 1,求实数 a 的取值范围. 22.(本小题满分 14 分) 某同学用《几何画板》研究抛物线的性质:打开《几何画板》软件,绘制某抛物线

E : y 2 ? 2 px ,在抛物线上任意画一个点 S ,度量点 S 的坐标 ? xS , yS ? ,如图.
(Ⅰ)拖动点 S ,发现当 xS ? 4 时, yS ? 4 ,试求抛物

线 E 的方程; (Ⅱ) 设抛物线 E 的顶点为 A , 焦点为 F , 构造直线 SF 交抛物线 E 于不同两点 S 、T ,构造直线 AS 、 AT 分别交准 线于 M 、 N 两点,构造直线 MT 、 NS .经观察得:沿着抛 物线 E ,无论怎样拖动点 S ,恒有 MT / / NS .请你证明这一 结论. (Ⅲ)为进一步研究该抛物线 E 的性质,某同学进行了下 面的尝试:在(Ⅱ)中,把“焦点 F ”改变为其它“定点

G ? g,0? ? g ? 0? ”,其余条件不变,发现“ MT 与 NS 不再平

行”.是否可以适当更改( Ⅱ)中的其它条件,使得仍有 “ MT / / NS ”成立?如果可以, 请写出相应的正确命题; 否则, 说明理由.

第4页

2013 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C 12.D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13.8; 14.7; 15. 0 ? a ? 1 ; 16. n ? m . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查古典概型、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以 及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分.
2 2

=8 x 解:(Ⅰ)因为 xA = (7+7+7 ? 5+9+9 ? 5) ,B = (6+x ? 8 ? 5 ? 8 ? 5 ? y) ,
由 xA = xB ,得 x ? y ? 17 . ①
2

1 5

1 5

……………2 分

1+1+0.25+1+2.25) , B = =1.1 s 因为 sA = (
2

1 5

1 2 2 ? 4+(x ? 8)+0.25+0.25+(y ? 8)? , ? 5?
② ……………4 分

由 s2 =s2 ,得 x ? 8)+(y ? 8)=1 . ( A B
2 2

由①②解得 ? 因为 x ? y ,

? x ? 8, ? x ? 9, 或? ? y ? 9, ? y ? 8.
………6 分

所以 x ? 8 , y ? 9 .

(Ⅱ) 记被检测的 5 件 B 种元件分别为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 ,其中 B2 , B3 , B4 , B5 为正品,

? B1, B2 ? , ? B1, B3 ? , ? B1, B4 ? , ? B1, B5 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? , ? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ? ,…………8 分
记“2 件都为正品”为事件 C ,则事件 C 包含以下 6 个基本事件:

从中任取 2 件,共有 10 个基本事件,列举如下:

? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? , ? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ? .……………10 分
6 3 3 ? ,即 2 件都为正品的概率为 . 10 5 5
…………12 分

所以 P(C ) ?

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角 函数的恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)因为 f ? x ? ?

2 sin( x ? ) ,………………………………………3 分 4

?

第5页

? 6 ?? ? ?? ?? . ……………………………6 分 ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 sin ? 3 2 ? 12 ? ? 12 4 ? (Ⅱ) g ? x ? ? cos x ? sin x . …………………………………………………………7 分
所以 f ? 下面给出证明: 因为 g ? x ? f ? x ? ? (cos x ? sin x)(sin x ? cos x) ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2x, 所以 g ? x ? ? cos x ? sin x 符合要求.……………………………………………………9 分

?? ? 2 cos ? x ? ? ,…………………………………………10 分 4? ? ? 3? 7? ? x ? 2 k? ? , 由 2k? ? ? ? x ? ? 2k? ? 2? , 得 2k? ? 4 4 4 3? 7? ? ? 所以 g ? x ? 的单调递增区间为 ? 2k? ? 2k? ? ? , k ? Z .……11 分 4 4 ? ? ? ? 3? 又由 2k? ? x ? ? 2k? ? ? ,得 2k? ? ? x ? 2k? ? , 4 4 4 ? 3? ? ? 所以 g ? x ? 的单调递减区间为 ? 2k? ? ,k? ? 2 ? , k ? Z .…………12 分 4 4 ? ?
又因为 g ? x ? ? cos x ? sin x ?

? ? ? ?? ? 3 解法二:(Ⅰ)因为 ? f ? x ? ? ? 1 ? sin 2 x, 所以 ? f ? ? ? ? 1 ? sin ? ,…………3 分 ? ? 6 2 ? ? 12 ? ? 6 ?? ? ?? ? 又因为 f ? ? ? 0, 所以 f ? ? ? .………………6 分 ? 12 ? ? 12 ? 2
2

2

(Ⅱ)同解法一. 解法三:(Ⅰ) f ?

? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? sin ? cos ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? 12 12 ? 12 ? ?3 4? ?3 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin cos ? cos sin ? cos cos ? sin sin ………3 分 3 4 3 4 3 4 3 4 3 2 1 2 1 2 3 2 6 ? ? ? ? ? . ………6 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos 2x 得到 g ? x ? 或由 g ? x ? f ? x ? ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) f ? x?

(Ⅱ)同解法一. 注:若通过 g ? x ? ?

两边同时约去 f ? x ? 得到 g ? x ? 不扣分. 19.本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,几何 体的体积等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查函数与方程 思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)由三视图可知,几何体 ABC? A1 B1C1 为三棱柱,侧棱 AA ? 底面A1 B1C1 , 1

B1C1 ? A1C1 ,且 AA1 ? AC ? 4 , BC ? 2 .………………………………………2 分 ? AA1 ? 平面A1 B1C1 , B1C1 ? 平面A1 B1C1 ,? AA1 ? B1C1 , …………………3 分 ? B1C1 ? A1C1, AA1 ? A1C1 ? A1 ,? B1C1 ? 平面A1 ACC1 .……………………5 分

第6页

又? B1C1 ? 平面AB1C1 , ? 平面AB1C1 ? 平面AA C1C .………………………6 分 1 (Ⅱ)过点 E 作 EF // B1C1 交 AC1 于 F , 由(Ⅰ)知, EF ? 平面A1 ACC1 ,即 EF 为 三棱锥E ? AA C 的高. ………7 分 1

1 1 1 ? VE ? AA1C1 ? V ABC? A1B1C1 ,? S ?AA1C1 ? EF ? S ?ABC ? AA1 , ……………………8 分 9 3 9 2 1 ?1 1 ?1 ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? EF ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? 4 ,解得 EF ? .……………………9 分 3 3 ?2 9 ?2 ? ?
在 Rt?ABC 中, AB ? 在 Rt?ABB1 中, AB1 ? 由

AC 2 ? BC 2 ? 42 ? 22 ? 2 5 ,
AB 2 ? BB12 ?

?2 5 ?

2

? 42 ? 6 ,……………………10 分
……………………11 分

AE EF , ? AB1 B1C1
6? 2 2 3 ?2.

AB1 ? EF ? 得 AE ? B1C1

……………………12 分

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)过点 E 作 EF // B1C1 交 AC1 于 F , 由(Ⅰ)知, EF ? 平面A1 ACC1 ,即 EF 为 三棱锥E ? AA C 的高. ………7 分 1

?VABC? A1B1C1 ? 3VA? A1B1C1 ? 3VB1 ? AA1C1 , 1 1 ?VE ? AA1C1 ? V ABC? A1B1C1 ? VB1 ? AA1C1 9 3 1 1 1 1 ? S ?AA1C1 ? EF ? ? S ?AA1C1 ? B1C1 , ? EF ? B1C1 , 3 3 3 3
在 Rt?ABC 中, AB ? 在 Rt?ABB1 中, AB1 ?

………8 分 ………9 分

AC 2 ? BC2 ? 42 ? 22 ? 2 5 ,
AB2 ? BB1 ?
2

?2 5 ?

2

? 4 2 ? 6 ,……………………10 分
……………………11 分 ……………………12 分

AE EF , ? AB1 B1C1 1 得 AE ? AB1 ? 2 . 3


20.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力和应用意识,考查 函数与方程思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设“十二五”期间,该城市共排放 SO2 约 y 万吨, 依题意,2011 年至 2015 年 SO2 的年排放量构成首项为 9.3 ,公差为 ?0.3 的等差数列,3 分 所以 y ? 5 ? 9.3 ?

5 ? ? 5 ? 1? ? (?0.3)=43.5 (万吨) . 2

所以按计划“十二五”期间该城市共排放 SO2 约 43.5 万吨.……………………6 分 (2)由已知得, 2012 年的 SO2 年排放量 9.6 ? 0.3 ? 2=9 (万吨) ,………7 分 所以 2012 年至 2020 年 SO2 的年排放量构成首项为 9,公比为 1 ? p 的等比数列,……9 分

第7页

8 由题意得 9 ? 1 ? p)<6,即 1 ? p < 8 (

所以 1 ? p ? 0.9505 ,解得 p ? 4.95% .

2 , 3

所以 SO2 的年排放量每年减少的百分率 p 的取值范围 4.95% ? p ? 1 <……12 分 21.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类 与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)当 a ? 0, b ? ?1 时, f ? x ? ? ex ? x , f ? ? x ? ? ex ?1,……………………1 分 所以,当 x ? (??,0) 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f ? ? x ? ? 0 ;…………3 分 所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??,0? ,单调递增区间为 (0, ??) .…………4 分 (Ⅱ)因为 f ? ? x ? ? ex ? 2ax ? b , 所以 P t , f ? t ? 处切线的斜率 k ? f ? ?t ? ? et ? 2at ? b ,
t 2 t 所以切线 l 的方程为 y ? e ? at ? bt ? e ? 2at ? b

?

?

?

? ?

?? x ? t ?,

令 x ? 0 ,得 y ? ?1 ? t ? et ? at 2

? 0 ? t ? 1? .……………5 分

当 0 ? t ? 1 时,要使得点 Q 的纵坐标恒小于 1, 只需 ?1 ? t ? et ? at 2 ? 1 ,即 ?t ?1? et ? at 2 ?1 ? 0 ? 0 ? t ? 1? .……………… 6 分 令 g ?t ? ? ?t ?1? et ? at 2 ? 1 ,
t 则 g ?(t ) ? t e ? 2a ,………………………………………………………… 7 分

?

?

t 因为 0 ? t ? 1 ,所以 1 ? e ? e ,

1 t 时, e ? 2a ? 0 , 2 所以,当 t ? ? 0,1? 时, g ?(t ) ? 0 ,即 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递增,
①若 2a ? ?1 即 a ? ? 所以 g (t ) ? g (0) ? 0 恒成立,所以 a ? ? ②若 2a ? ?e 即 a ? ?

1 满足题意.………………………………8 分 2

e t 时, e ? 2a ? 0 , 2 所以,当 t ? ? 0,1? 时, g ?(t ) ? 0 ,即 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递减, e 不满足题意.………………………………………9 分 2 e 1 ③若 ?e ? 2a ? ?1 即 ? ? a ? ? 时, 0 ? ln(?2a) ? 1 . 2 2 ? ? t ? 、 g ? t ? 的关系如下表: 则t 、 g
所以 g (t ) ? g (0) ? 0 , 所以 a ? ?

t g? ?t ?
g ?t ?

(0,ln(?2a)) ?
递减

ln(?2a)
0 极小值

(ln(?2a),1) ?
递增

所以 g ? ln(?2a) ? ? g ? 0? ? 0 ,所以 ?

e 1 ? a ? ? 不满足题意.……11 分 2 2

第8页

综合①②③,可得,当 a ? ?

1 时, g (t ) ? 0 ? 0 ? t ? 1? 时,此时点 Q 的纵坐标恒小于 1. 2

12 分 22.本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理 论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解法一: (Ⅰ)把 xS ? 4 , yS ? 4 代入 y 2 ? 2 px ,得 42 ? 8p ,……………………2 分 所以 p ? 2 ,………………………………………………………………………3 分 因此,抛物线 E 的方程 y 2 ? 4 x .…………………………………………………4 分 (Ⅱ)因为抛物线 E 的焦点为 F ?1,0 ? ,设 S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 依题意可设直线 l : my ? x ? 1, 由?

? y 2 ? 4 x, ? my ? x ? 1

得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,则 ?

? y1 ? y2 ? 4m, ①……………………6 分 ? y1 ? y2 ? ?4.

又因为 l AS : y ?

? ? y ? y1 y y ? x , l AT : y ? 2 x ,所以 M ? ?1, ? 1 ? , N ? ?1, ? 2 ? , x2 ? x1 x2 x1 ? ? ?

? y1 ? ??? ? y ? , NS ? ? x1 ? 1, y1 ? 2 ? , ……………………7 分 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? y ? y ? 又因为 ? y2 ? 1 ? ? x1 ? 1? ? ? y1 ? 2 ? ? x2 ? 1? ……………………………………8 分 x1 ? x2 ? ? ? ? 4 ?? 1 4 ?? 1 2 ? ? ? ? ? y2 ? ? ? y12 ? 1? ? ? y1 ? ? ? y2 ? 1? y1 ? ? 4 y2 ? ? 4 ? ? ? ?
所以 MT ? ? x2 ? 1, y2 ?

???? ?

?1 4 ? ?1 4? 2 ? ? y12 y2 ? y2 ? y1 ? ? ? ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? ? y1 ? ? 4 y2 ? ?4 ? y 2 y 2 ? 16 ? y ?y 1 ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? ? 4 2 1 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 2 ?, ② 4 y1 y2 ? 4 y1 y2 ?
2 ? y12 y2 ? 16 ? 把①代入②,得 ? y1 ? y2 ? ? ? ? 0 ,……………………………………10 分 ? 4 y1 y2 ?

? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? 1? ? ? y1 ? ? ? x2 ? 1? ? 0 , x1 ? x2 ? ? ? ???? ??? ? 所以 MT / / NS , 又因为 M 、 T 、 N 、 S 四点不共线,所以 MT / / NS .………………11 分 2 (Ⅲ)设抛物线 E : y ? 4x 的顶点为 A ,定点 G ? g,0?? g ? 0? ,过点 G 的直线 l 与抛物线 E 相 交 于 S 、 T 两 点 , 直 线 AS 、 AT 分 别 交 直 线 x ? ? g 于 M 、 N 两 点 , 则 MT / / NS .……………14 分
即 ? y2 ? 解法二: (Ⅰ)同解法一.
2 2 (Ⅱ)因为抛物线 E 的焦点为 F ?1,0 ? ,设 S t1 , 2t1 , T t2 , 2t2 ,……………………5 分

?

?

? ?

?

第9页

依题意,可设直线 lST : my ? x ? 1, 由?

? y2 ? 4x ? my ? x ? 1

得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,

则?

? 2t1 ? 2t2 ? 4m, ? 2t1 ? 2t2 ? ?4,

所以 ?

?t1 ? t2 ? 4m, ……………………………………………………………7 分 ? t1 ? t2 ? ?1.

又因为 lAS : y ? ?2t2 x , lAT : y ? ?2t1 x ,

所以 M ? ?1,2t2 ? , N ? ?1, 2t1 ? ,………………………………………………10 分 所以 kMT ? 0 , kNS ? 0 ,…………………………………………………………10 分 又因为 M 、 T 、 N 、 S 四点不共线,所以 MT / / NS .………………………………11 分 (Ⅲ)同解法一. 解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为抛物线 E 的焦点为 F ?1,0 ? ,设 S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 依题意,设直线 l : my ? x ? 1,

? y2 ? 4x ? y1 ? y2 ? 4m 由? 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,则 ? ,…………………………6 分 ? my ? x ? 1 ? y1 ? y2 ? ?4 ? ? y ? y y y ? 又因为 l AS : y ? 1 x , l AT : y ? 2 x ,所以 M ? ?1, ? 1 ? , N ? ?1, ? 2 ? , x2 ? x1 x2 x1 ? ? ?

? y2 ? y2 y2 4 y1 y2 ? 4 ? 0 ,………………9 分 ? ? y1 ? x ? y1 ? y 2 ? y1 ? y ? y 2 2 2 2 ? x2 ? 4 y 所以 y1 ? ? 2 ,所以 NS 平行于 x 轴; x2 同理可证 MT 平行于 x 轴; 又因为 M 、 T 、 N 、 S 四点不共线,所以 MT / / NS .……………………11 分
又因为 y1 ? ? ? (Ⅲ)同解法一. …………………………………14 分

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