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四川省成都七中2010届高三一诊模拟考试理科数学试题

成都七中高三数学一诊模拟测试(理科) 成都七中高三数学一诊模拟测试(理科)
审核人:张浩 校对:陈亮

第I卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 选择题(
1.若函数 f ( x ) = 2 sin (ω x + ? ) (ω ≠ 0 ) 的图象关于直线 x = A.0 B.3 C. ?2

π

?π ? 对称,则 f ? ? 的值为( 6 ?6?
D.2 或 ?2



2.设定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? f ( x + 2) = 5 ,且 f (1) = 10 ,则 f ( 2009 ) = ( A.1 B.3 C.5 D.10



1? ? 3. 1 ? x 2 ? x + ? 展开式中的常数项为( x? ?

(

)

6

) C.15 D.20

A.5

B.10

4.向量 a 、 b 的夹角为 60° ,且 a = 1 , b = 2 ,则 2a ? b 等于(
A.1 B. 2 C. 3

r

r

r

r

r

r

) D.2

5.定义 f ( ?1) 的值,使函数 f ( x ) =
A.2 B.1

1 ? x2 在点 x = ?1 处连续,则 f ( ?1) 等于( ) 1+ x C. ?1 D.2 或 ?2


6.设 ?ABC 不是直 角三角形, A 和 B 是它的两个内角,那么“ A > B ”是“ tan A > tan B ”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.若 l 为一条直线, α 、 β 、 γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ① α ⊥ γ ,β ⊥ γ ? α ⊥ β ; ② α ⊥ γ , β // γ ? α ⊥ β ; ③ α // l, β ⊥ l ? α ⊥ β . 其中正确的命题有( A.0 个 8.复数 z = ) B.1 个 C.2 个 ) D. D.3 个

3 1 3 ? ai , a ∈ R ,且 z 2 = ? i ,则 a 的值为( 2 2 2 1 A.1 B.2 C. 2

1 4

9.有 6 个座位连成一排,三人就座,恰有两个空位相邻的概率是(



A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5


10.英语单词“hello”的字母顺序写错了,则可能出现的错误种数是( A.120 B.119 C.60 D.59

11.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 A1 B1C1 D1 内取一点 E ,使 AE 与 AB 、AD 所成的角都是

60° ,则线段 AE 的长为(
A.

) B.

5 2
2

6 2

C. 2

D. 3 )

12.若不等式 b 2 + ( a + b ) ≥ A.1

λ

2 B.2

a 2 对任意正实数 a 、 b 都成立,则 λ 的最大值是(
C.3

D.5[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 填空题(
13.设曲线 y = x n +1 ( n ∈ N * )在点 2 , 2n +1 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 an ,则 an = 14.集 合{ x log 1 x > ?2 , x ∈ Z }的真子集个数是 {
2

(

)

.

.

π? 3 3 7π ? ? 15.已知 cos ? α ? ? + sin α = ,则 sin ? α + 6? 5 6 ? ?
16.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn =

? ?= ?

.

S1 + S 2 + L + S n ,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,…, an 的“理想数” ,已 n

知数列 a1 , a2 ,…, a500 的“理想数”为 2004,如果数列 m , a1 , a2 ,…, a500 的“理想数”为 2010, 则m = .

第 II 卷
13. 14. 15. 16.

三、解答题(共 74 分) 解答题(
17. (12 分)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且 b cos A ? a cos B = c ? a . (1)求角 B 的大小; (2)若 ?ABC 的面积是

3 3 ,且 a + c = 5 ,求 b . 4

18.(12 分)一个人随机将编号为 1,2,3,4 的四个小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中去,每个 盒子放入一球,当盒子编 号与球的编号相同时 叫做放对了,否则叫放错了,设放对了的小球数有 ξ 个. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 ξ 的期望与方差.

19. (12 分)如图,在四棱椎 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ∠BAD = 60° 且边长为 2 的 菱形, 侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 边的中点,求证: BG ⊥ 平面 PAD ; (2)求二面角 A ? BC ? P 的大小; (3)若 E 为 BC 的中点,能否在棱 PC 上找一点 F,使得平 面 DEF ⊥ 平面 ABCD ,并证明你的结论.

[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网 ZXXK]

[来源:学科网]

20.(12 分)已知 f ( x ) =

x2 + 4 x?a

(1)若 a 为非零常数,解不等式 f ( x ) < x ;

?3+ x ? (2)当 a = 0 时,不等式 f ? ? > f (1 + x + m ) 在 (1, 2 ) 上有解,求 m 的取值范围. ? 3? x ?

21.(12 分)已知函数 f ( x ) =

1 ? x2 . 1 + x + x2

(1)若 ea + 2 x 2 + ea x + e a ? 2 ≥ 0 对 x ≤ 1 恒成立,求 a 的取值范围;
2 ?? a + ? b ? 2 ? ? a 2 + ?b2 ? ? a + ?b ? a 2 + ?b2 (2)求证:对于正数 a 、 b 、 ? ,恒有 f ?? . ?≥? ? ?? f ? ? ? 1+ ? ?? 1 + ? ? ? ? 1+ ? ? ? 1+ ? ? ? ?

(

)

22.(14 分)已知数列 {an } 满足: a1 =

3nan ?1 3 ,且 an = ( n ≥ 2,n ∈ N * ) . 2 2an ?1 + n ? 1

(1) 求

1 2 n + + L + 的值; a1 a2 an a2 a 5 1 +L + n ≤ n + ? n (n∈ N *) ; 2 n 6 3

(2)求证: a1 + (3) 设 bn =

an ( n ∈ N * ) ,求证: b1b2 Lbn < 2 . n

级一诊模拟数学试题参考答案(理科) 成都七中高 2010 级一诊模拟数学试题参考答案(理科)
审核人:张浩 一、选择题 1、D 2、D 二、填空题 13. 3、A 4、D 5、A 6、D 校对:陈亮 12、B

7、C 8、C 9、C 10、D 11、C

2n 3 ;14、 7 ;15、 ? ;16、 10 n +1 5

三、解答题 17. (1) sin B cos A ? sin A cos B = sin C ? sin A

? sin( B ? A) = sin( B + A) ? sin A
? ?2 cos B sin A = ? sin A ? cos B =
(2) S =

1 o ,∴ B = 60 2

1 3 3 ac sin 60 o = ? ac = 3 ,且 a + c = 5 2 4

又 cos 60 =
o
2

a2 + c2 ? b2 1 = ? a2 + c2 ? b2 = 3, 2ac 2

所以 b = 16 ? b = 4 18. (1) P (ξ = 4) =

C2 1 1 6 = , P (ξ = 2) = 4 = , 4 4 A4 24 A4 24

P(ξ = 1) =

1 C4 ? 2 8 9 9 = , P (ξ = 0) = 4 = , 4 24 A4 A4 24

(2)∴ Eξ =

4 12 8 + + + 0 =1 24 24 24 16 24 8 Dξ = Eξ 2 ? ( Eξ ) 2 = + + ? 12 = 1 24 24 24

19 . (1)Q 面PAD ⊥ 面ABCD ,且 PA = PD, G 是中点,所以 PG ⊥ 面ABCD ? PG ⊥ BG 又 ABCD 为菱形,且 ∠BAD = 60 ,所以 BG ⊥ AD
o

所以 BG ⊥ 面PAD (2)Q BG ⊥ BC , PG ⊥ 面ABCD , 由三垂线定理得: ∠PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角,且 PG = BG 所以二面角 A ? BC ? P 大小为 45 ,
o

(3)连接 DE、CG 相交于点 H ,

在面 PCG 中,过 H 点作 HF // PG 交 PC 于 F, 易证明面 DEF ⊥ 面ABCD

20. (1)

x2 + 4 ax + 4 <x? <0 x?a x?a

当 a > 0 时,不等式解集为 {x | ?

4 < x < a} ; a 4 当 a < 0 时,不等式解集为 {x | x < a或x > ? } ; a 4 (2)当 a = 0 时, f ( x ) = x + 在 ( 2,+∞) 上为增函数 x 3+ x < 5 , 1 + x + | m |> 2 又当 1 < x < 2 时, 2 < 3? x 3+ x 6 > 1 + x + | m |? ?5 + (3 ? x) + >| m | ∴ 3? x 3? x 6 Q 3 ? x ∈ (1,2) ,∴ ?5 + (3 ? x) + ∈ (0,2) 3? x

所以 | m |< 2,即 ? 2 < m < 2 21. (1)令 g ( x ) = (e a + 2) x 2 + e a x + e a ? 2 ,

Q g (?1) = e a > 0 ,且对称轴 x = ?

ea ∈ (?1,0) 4 + 2e a

所以 ? = e

2a

? 4(e 2 a ? 4) ≤ 0 ? 3e 2 a ≥ 16 ? a ≥ ln

4 3 3

1? x2 (2)令 h( x ) = f ( x ) ? x = ?x 1+ x + x2 h / ( x) = ? 2 x(1 + x + x 2 ) ? (1 ? x 2 )(2 x + 1) ? x 2 ? 4x ? 1 ?1 = ? 1 < 0, ( x > 0) (1 + x + x 2 ) 2 (1 + x + x 2 ) 2

所以函数 h(x ) 在 (0,+∞) 上是减函数

a + ?b 2 a 2 + ?b 2 现证明 ( ) ≤ 1+ ? 1+ ? ? a 2 + ? 2 b 2 + 2?ab ≤ a 2 + ?b 2 1+ ?

? a 2 + ? 2 b 2 + 2 ?ab ≤ a 2 + ?b 2 + ?a 2 + ? 2 b 2

? 2 ?ab ≤ ?b 2 + ?a 2 显然成立

∴ h[(

a + ?b 2 a 2 + ?b 2 ) ] ≥ h( ) 1+ ? 1+ ?

a + ?b 2 a 2 + ?b 2 a + ?b 2 a 2 + ?b 2 即 f [( ) ]? f ( )≥( ) ? 1+ ? 1+ ? 1+ ? 1+ ?
22. (1)Q

1 2a n?1 + n ? 1 n 2 1 n ?1 = = + ? an 3na n ?1 a n 3 3 a n ?1 [来源:学科网]

?3

n n ?1 n n ?1 = 2+ ? 3( ? 1) = ?1 an a n ?1 an a n ?1

∴{

1 n 1 1 n ? 1} 是首项为 ? ,公比为 的等比数列,∴ = 1 ? ( )n 3 an 3 3 an

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 n 1 1 1 3 ∴ + +L+ =n? 3 = n ? + ( )n 1 a1 a 2 an 2 2 3 1? 3
(2)

an 3n 1 2 = n = 1+ n ≤ 1 + n , ( n ≥ 2) n 3 ?1 3 ?1 3

2 1 [1 ? ( ) n ?1 ] a a a 2 1 1 1 5 1 3 ∴ 1 + 2 +L+ n ≤ n + + 9 = n + + ? ( )n = n + ? n 1 1 2 n 3 2 3 3 6 3 1? 3
an 3n 3n ? 1 = ,现用数学归纳法证明 b1b2 L bn < 2 ? , ( n ≥ 2) (3) bn = n 3n ? 1 3n
当 n = 2 时, b1 =

3 9 27 16 9 ?1 ? = < = 2? 3 ? 1 9 ? 1 16 9 9

假设当 n = k , ( k ≥ 2) 时, b1b2 L bk < 2 ?

3k ? 1 3k

当 n = k + 1 时, b1b2 Lbk ? bk +1 < 2 ?

3k ? 1 3k +1 ? 3k 3k +1 ? 1

3 k ? 1 3 k +1 3 k +1 ? 1 要证明 2 ? ? k +1 < 2 ? k +1 3k 3 ?1 3
只需证明 3 k +1 ? 3 k +1 (3 k ? 1) < 3 k (3 k +1 ? 1) 2

? 3 ? 3 k +1 (3 k ? 1) < (3 k +1 ? 1) 2 ? 3 2 k + 2 ? 3 k + 2 < 3 2 k + 2 ? 2 ? 3 k +1 + 1
? 3 k + 2 > 2 ? 3 k +1 ? 1 ? 3 k +1 > ?1 显然成立
∴ n = k + 1 时, b1b2 L bk ? bk +1 < 2 ?
综上得 b1b2 L bn < 2 ? 又当 n = 1 时, b1 < 2 所以 b1b2 L bn < 2, ( n ∈ N )
*

3 k +1 ? 1 3 k +1

3n ? 1 < 2, (n ≥ 2) 3n