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3.2 数学证明


§2 数学证明

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第三章 推理与证明

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第三章 推理与证明

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1.了解演绎推理的意义. 2.掌握三段论的模式,并会用演绎推理即三段论模式证明数 学命题.

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第三章 推理与证明

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1.了解演绎推理的含义.(重点) 2.能利用“三段论”进行简单的推理.(重点、难点)

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1.归纳推理的含义 根据一类事物中 部分事物 具有某种属性,推断该类事

物中 每一个都有这种属性 .将这种推理方式称为归纳推理. 2.类比推理的含义 由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根 据 一类对象的其他特征 推断另一类对象也具有类似的其他 特征 ,这种推理过程称为类比推理. 类比推理是 两类事物特征之间的推理.
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3.合情推理的含义 实验和实践的结果、个人的经验和直觉 根据 已有的事实和正确的结论 出某些结果的推理方式. 归纳推理 和 类比推理 是最常见的合情推理. 、

(定义、公理、定理等),推测

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1.演绎推理 (1)含义:从一般性的原理出发,推出 某个特殊情况下的 结论的推理. (2)特点:由 (3)一般模式: 一般到特殊 三段论 的推理. . . .

大前提: 已知的一般原理 小前提: 所研究的特殊情况

结论: 根据一般的原理,对特殊情况做出的判断.
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2.“三段论”的常用格式 大前提:M是P. 小前提:S是M. S是P 结论: S P .

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1.下列说法不正确的个数为(

)

①演绎推理是一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论 一定正确;③合情推理是演绎推理的前提,演绎推理是合情推 理的可靠性. A.3 C.1 解析: 不一定正确,故②不正确. 答案: C
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B.2 D.0 演绎推理的结论正确与否与前提、推理形式有关,

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1 2.“因为对数函数 y=logax 是增函数,而 y=log x 是 2 1 对数函数,所以 y=log x 是增函数”.有关这个“三段论” 2 的推理形式和推理结论正确的说法是( )

A.形式正确,结论正确 B.形式错误,结论错误 C.形式正确,结论错误 D.形式错误,结论正确

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解析:

推理的形式正确,但大前提是错误的,这是因为

对数函数y=logax(0<a<1)是减函数,所以得到的结论是错误 的. 答案: C

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3.“一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是 奇数.”把此演绎推理写成三段论的形式为: 大前提__________________________________________; 小前提__________________________________________; 结论__________________________________________.

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解析:

由三段论可知:大前提是一般原理;小前提是所

研究的特殊情况;结论是根据一般的原理,对特殊情况做出的 判断. 答案: 一切奇数都不能被2整除 75不能被2整除 75是 奇数

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4.下面推理错在何处? 如果不买彩票,那么就不能中奖,因为你买了彩票,所以 你一定中奖. 解析: 推理规则不对,小前提与大前提不对应,大前提 作出的判断是“不买彩票就不能中奖”,小前提对应的应为 “你没买彩票”,结论“你不可能中奖”.

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用三段论的形式写出下列演绎推理: (1)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角 线相等; (2)0.33是有理数; (3)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不 能被2整除.

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[解题过程] (1)每一个矩形的对角线相等. 大前提 正方形是矩形. 正方形的对角线相等. 小前提 结论 大前提

(2)所有的循环小数是有理数. 0.33是循环小数. 0.33是有理数. (3)一切奇数都不能被2整除. 2100+1是奇数. 2100+1不能被2整除. 小前提 结论 小前提 结论

大前提

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1.用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)若两角是对顶角,则此两角相等.所以若两角不相等, 则此两角不是对顶角. (2)三角函数都是周期函数,y=tan α是三角函数,因此y= tan α是周期函数. (3)通项公式an=2n+3的数列{an}为等差数列.

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解析:

演绎推理中如果大前提、小前提都是真实的,按

照三段论形式推出的结论必是真实的,因此,演绎推理可以作 为严格的推理方法. (1)两个角是对顶角,则两角相等. 大前提 ∠1和∠2不相等. ∠1和∠2不是对顶角. (2)三角函数都是周期函数. y=tan α是三角函数. y=tan α是周期函数. 小前提 结论 大前提 小前提 结论

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(3)数列{an}中,如果当n≥2时,an -an-1 为常数,则{an}为 等差数列. 通项公式an=2n+3时,若n≥2. 则an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数). 通项公式an=2n+3表示的数列为等差数列. 小前提 结论 大前提

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在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD(如图),求证: ABCD为平行四边形,写出三段论形式的演绎推理.

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[证明过程] (1)连结AC. (2)平面几何中的三角形“边边边”定理是:有三边对应相 等的两个三角形全等,这一定理相当于: 对于任意两个三角形,如果它们的三边对应相等,则这两 个三角形全等, △ABC和△CDA的三边对应相等, 则这两个三角形全等. 大前提 小前提 结论

符号表示为:

AB=CD? ? BC=DA??△ABC≌△CDA. CA=AC ? ?
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(3)由全等三角形的定义可知:全等三角形的对应角相等, 这一性质相当于:对于任意两个三角形,如果它们全等,则它 们的对应角相等. △ABC和△CDA全等. 则它们的对应角相等. 大前提 小前提 结论

用符号表示,就是△ABC≌△CDA?∠1=∠2且∠3=∠4且 ? ∠B=∠D.

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(4)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这 两条直线平行. 大前提

直线AB、DC被直线AC所截,内错角∠1=∠2. 小前提(已证) 则AB∥DC. 同理有:BC∥AD. 结论

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(5)如果四边形两组对边分别平行,那么这个四边形是平行 四边形. 四边形ABCD中,两组对边分别平行. 则四边形ABCD是平行四边形. 大前提 小前提 结论

用符号表示为:AB∥DC且AD∥BC?四边形ABCD为平行四 ? 边形.

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2.如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证:ED=AF.

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证明: 因为同位角相等,两条直线平行, ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A, 所以FD∥AE. 结论

大前提 小前提

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 大前提 DE∥BA,且FD∥AE, 所以四边形AFDE为平行四边行. 因为平行四边形的对边相等, ED和AF为平行四边形AFDE的对边, 所以ED=AF. 小前提 结论 大前提 小前提 结论

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x-2 已知函数 f(x)=a + (a>1), x+1
x

求证:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

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[证明过程] 对于?x1,x2∈I,且 x1<x2,若 f(x1)<f(x2), 则 y=f(x)在 I 上是增函数. 大前提

设 x1,x2 是(-1,+∞)上的任意两数,且 x1<x2,则 x1-2 x2-2 f(x1)-f(x2)=ax1+ -ax2- x1+1 x2+1 x1-2 x2-2 3(x1-x2) =ax1-ax2+ - =ax1-ax2+ . x1+1 x2+1 (x1+1)(x2+1)

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∵a>1,且x1<x2,∴ax1<ax2,x1-x2<0. 又∵x1>-1,x2>-1,∴(x1+1)(x2+1)>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 小前提 结论

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x2+1 3.关于函数 f(x)=lg (x≠0),有下列命题: |x| ①其图像关于 y 轴对称;②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)为减函数;③f(x)的最小值是 lg 2;④当-1<x<0 或 x>1 时,f(x)是增函数;⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________.

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解析: 于 y 轴对称.

显然 f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,其图像关

? x2+1 1? ? 当 x>0 时,f(x)=lg =lg ?x+ x?. ? x ? ?

1 设 g(x)=x+ ,可知其在(0,1)上是减函数,在(1,+∞) x 上是增函数,∴f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增 函数.f(x)min=f(1)=lg 2. ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-1,0)上是增函数.
答案: ①③④
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1.三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指 出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特 殊情况的内在联系,从而得到了第三个命题——结论. 2.三段论推理的结论正确与否,取决于两个前提是否正确, 推理形式(即S与M的包含关系)是否正确. [特别提醒] 运用三段论推理时,常可省略大前提或小前提,

对于复杂的证明,也常把前一个三段论的结论作为下一个三段 论的前提.
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1.演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前 提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中. 2.在演绎推理中,前提与结论之间存在着必然的联系,只 要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正 确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具. 3.演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少有创造性, 但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论 化和系统化.

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合情推理 常用形式 思维运动 过程的方 向 归纳、类比 归纳推理是从部分到整 体,从特殊到一般的推 理;类比推理是从特殊 到特殊的推理 结论超过了前提所断定 的范围,其结论具有或 然性 不能作为数学证明的工 具,但它具有创造性思 维,对于数学的发现很 有意义
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演绎推理 三段论 从一般性的知识的前提推 出一个特殊性的知识的结 论,即从一般到特殊的推 理 结论不超过前提所断定的 范围,前提和结论的联系 是必然的 可以作为数学证明的工具, 较少创造性,但它严密的 论证有助于数学的理论化 和系统化
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主 要 前提与结 区 论联系的 别 性质 应 用

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合情推理 两者紧密联系,互为依赖,互为补充

演绎推理

(1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从 具体的经验中概括出来.从这个意义上可以说,没有归纳 主 推理就没有演绎推理. 要 (2)合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任 联 系 务和方向必须借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般 性理论知识作指导.这本身就是一种演绎活动,并且合情 推理得到的结论正确与否,必须借助于演绎推理去论证, 从这个意义上说,没有演绎推理也就没有合情推理.
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演绎推理与合情推理的有机结合——探索性演绎法,即探索 性演绎法是在演绎推理的基础上发展起来的一种合情推理的方 法.

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◎如图,在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上的高,求证: ∠ACD>∠BCD.

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【错解】 证明:在△ABC中,因为CD⊥AB,AC>BC, 所以AD>BD,所以∠ACD>∠BCD. 【错因】 错解原因在于虽然运用的大前提正确:在同一 个三角形内,大边对大角;而AD与BD并不是同一个三角形的两 条边,即小前提并不成立,所以推理过程错误.

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【正解】 证明:因为CD⊥AB, 所以∠ADC=∠BDC=90°. 所以∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°. 所以∠A-∠B=∠BCD-∠ACD. 在△ABC中,因为AC>BC,所以∠B>∠A,即∠A-∠B< 0, 所以∠BCD-∠ACD<0,所以∠ACD>∠BCD.

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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