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2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二上学期期中数学试卷与解析

2015-2016 学年上海市徐汇区位育中学高二(上)期中数学试卷 一、填空题(每题 3 分,共 42 分) 1. (3 分) 若 = (﹣1, ) 是直线 l 的一个法向量, 则 l 的倾斜角的大小为 2. (3 分)若 =(3,4) ,则 的负向量的单位向量的坐标是 3. (3 分)已知矩阵 A= 4. (3 分)三阶行列式 ,矩阵 B= ,则 AB= . . , 则点 P 的坐标为 . . . . 中,5 的余子式的值是 =2 5. (3 分) 已知 A (1, 2) , B (2, 3) , 且点 P 满足 6. (3 分)直线 l1:x﹣ y+2=0 与直线 l2:x﹣y+3=0 的夹角的大小是 7. (3 分)已知点 P 为直线 x+y﹣4=0 上一动点,则 P 到坐标原点的距离的最小 值是 . . . 8. (3 分)若 a,b 满足 a+2b=1,则直线 ax+3y+b=0 必过定点的坐标是 9. (3 分) 若直线 l1: a2x﹣2y+4=0 与直线 l2: 6x﹣3y+a+4=0 平行, 则实数 a= 10. (3 分)已知 =(1,2) , =(4,2) , =m + (m∈R) ,且 与 的夹角等 于 与 的夹角,则 m= . 11. (3 分)垂直于直线 3x﹣4y﹣7=0,且与两坐标轴所构成的三角形的周长为 10 的直线 l 的方程为 . = + , = + ,则△ 12. (3 分)设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 . 13. (3 分) 已知 O 为△ABC 的外心, 且| |=6, | |=2, 则 ? 的值为 . 第 1 页(共 16 页) 14. (3 分)已知 A、B、C 为直线 l 上不同的三点,点 O?直线 l,实数 x 满足关系 式 x2 ① ② +2x ﹣ ﹣ + = ,有下列命题: ≥0; <0; ③x 的值有且只有一个; ④x 的值有两个; ⑤点 B 是线段 AC 的中点. 则正确的命题是 . (写出所有正确命题的编号) 二、选择题(每题 3 分,共 12 分) 15. (3 分)平面向量 , 共线的充要条件是( A. , 方向相同 B. , 两向量中至少有一个为零向量 C.? λ∈R, D.存在不全为零的实数 λ1,λ2, 16. (3 分)有命题: (1)三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数; (2)三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘 积之和; (3) 如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘, 那么它们的乘积之和等于零,其中所有正确命题的序号是( A. (1) (2) B. (1) (3) C. (2) (3) ) ) D. (1) (2) (3) ) 17. (3 分)在两坐标轴上截距相等且倾斜角为 45°的直线( A.不存在 B.有且只有一条 C.有多于一条的有限条 D.有无穷多条 18. (3 分)设 A(a,1) ,B(2,b) ,C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标 原点,若 与 在 方向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( 第 2 页(共 16 页) ) A.4a﹣5b=3 B.5a﹣4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 三、解答题(共 46 分) 19. (8 分)已知关于 x,y 的二元一次方程组的增广矩阵是 该线性方程组有无穷多组解,求 λ 的值. 20. (8 分)已知 A(﹣1,2) 、B(m,3) (1)求直线 AB 的斜率 k 和倾斜角 α; (2)已知实数 m∈[﹣ ﹣1,0],求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. ,若 21. (10 分)如图所示,△ABC 中,已知顶点 A(3,﹣1) ,∠B 的内角平分线方 程是 x﹣4y+10=0 过点 C 的中线方程为 6x+10y﹣59=0. 求顶点 B 的坐标和直线 BC 的方程. 22. (10 分)已知 、 是两个不共线的非零向量, (1)设 值; (2)如图,若 = 为圆心的圆弧 , = , 、 的夹角为 120°,且| |=| |=1,点 P 是以 O =x +2y (x,y∈R) ,求 x+y 的最大值. = , =t (t∈R) , = ( + ) ,当 A,B,C 三点共线时,求 t 的 上的一个动点,设 23 . ( 10 分)对于一个向量组 = + + +…+ ,如果存在 , , ,…, ( n ≥ 3 , n ∈ N* ) ,令 |≥| ﹣ |,那么称 (p∈N*) ,使得| 是该向量组的“长向量” (1)若 值范围; 第 3 页(共 16 页) 是向量组 , , 的“长向量”,且 =(n,x+n) ,求实数 x 的取 (2)已知 , , 均是向量组 , , 的“长向量”,试探究 , , 的等量关系并加以证明. 第 4 页(共 16 页) 2015-2016 学年上海市徐汇区位育中学高二(上)期中数 学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(每题 3 分,共 42 分) 1. (3 分) 若 = (﹣1, ) 是直线 l 的一个法向量, 则 l 的倾斜角的大小为 【解答】解:∵ =(﹣1, )是直线 l 的一个法向量, ,1) , . ∴可知直线 l 的一个方向向量为( 直线 l 的倾斜角为 α 得,tanα= ∴α= 故答案为: . 2. (3 分)若 =(3,4) ,则 的负向量的单位向量的坐标是 【解答】解: =(3,4) ,可得 =5, . . 则 的负向量的单位向量的坐标是: 故答案为: . 3. (3 分)已知矩阵 A= 【解答】解:∵矩阵 A= ∴AB= 故答案为: = . . ,矩阵 B= ,矩阵 B= ,则 AB= , . 第 5 页(共 16 页)

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