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北京市延庆县2015届高三3月模拟数学(理)试题Word版含解析


本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U=R,A={x|x<-1},B={x|x>1},则 A. {x | x ? 1} 【答案】D B. {x | x ? -1} ( ) D. {x | ?1 ? x ? 1}

C. {x | x ? 1 或 x ? ?1}

考点:集合的运算 2.下列函数是奇函数,并且在定义域上是增函数的是( A. y ? ? ) D. y ? ?

1 x

B. y ? ln | x |

C. y ? sin x

? x ? 1, x ? 0 ? x ? 1, x ? 0

【答案】D

考点:函数奇偶性 3.设 a ? sin393? , A. a ? b ? c 【答案】1 【解析】 试题分析:由题根据所学诱导公式化简所给角,然后根据函数单调性比较大小即可;

b ? cos55? , c ? tan50? ,则 a,b,c 的大小关系为(
B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b



a ? sin 393? ? sin 33?, b ? cos55? ? sin 35?,? a ? b ? 1 ? c ,故选 A
考点:诱导公式 4.执行右边的程序框图,当输入 25 时, 则该程序运行后输出的结果是( )

A. 4 【答案】B 【解析】

B. 5

C. 6

D. 7

试题分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 S=26 时,满足条件 S ≥n,退出循环,输出 i 的值为 5. 模拟执行程序框图,可得 n=25,S=0,i=1 S=1,i=2, 不满足条件 S≥n,S=4,i=3 不满足条件 S≥n,S=11,i=4 不满足条件 S≥n,S=26,i=5 满足条件 S≥n,退出循环,输出 i 的值为 5 故选:B. 考点:程序框图 5.在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E , F 分别为 BC 和

DC 的中点,则 DE ? BF ? (



D

F

C E

A A. -

B

5 2

B.

3 2

C.- 4

D.- 2

【答案】C 【解析】 试题分析:通过建系求点的坐标,然后求解向量的数量积.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E, F 分别为 BC 和 DC 的中点,以 a 为顶点,AB,AD 为坐标轴,建立平面直角坐标系,则 B(2, 0) ,D(0,2) ,E(2,1) ,F(1,2) .? D E ? (? 2, 1 ), B F ? ?( 1 2? , ) D EB ,F ? ?? 选C 考点:平面向量的坐标运算 6.“a>b”是“ ”的( )

4

.故

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】C 【解析】

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试题分析:根据指数函数的单调性即知 3 在 R 上是增函数,所以根据充分条件、必要条件的
a b 概念便可得到“a>b”是“ 3 >3 ”的充要条件.

x

a b a b 3x 是增函数,所以 a>b 可得到 3 >3 ;而 3a>3b 能得到 a>b;所以“a>b”是“ 3 >3 ”

的充要条件. 故选 C. 考点:命题与逻辑 7.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的体积为( )

2
1

2
主视图 侧视图

2 1
俯视图

(7 题图)

A. 16? 【答案】C 【解析】

B. 6?

C. 4?

D. 8

试题分析:由已知中的三视图,画出该几何体的直观图,利用等积法,将其体积转化为圆柱 的体积,可得答案; 由已知中的三视图可得:该几何体的直观图如下图所示,它是由一个底面直径为 2,高为 4 的 圆柱,用一个斜面切开后,两部分重新组合而成的管道拐角状的组合体,其面积等同于一个 底面直径为 2,高为 4 的圆柱,即 V=4π ,故选:C.

考点:三视图 8.有四张卡片,每张卡片有两个面,一个面写有一个数字,另一个面写有一个英文字母.现规 定:当卡片的一面为字母 P 时,它的另一面必须是数字 2 . 如图,下面的四张卡片的一个 面分别写有 P , Q , 是( ) B.第一张,第四张 D.第二张,第三张

2, 3 ,为检验此四张卡片是否有违反规定的写法,则必须翻看的牌

P

Q

2

3

A.第一张,第三张 C.第二张,第四张 【答案】B 【解析】

试题分析:由题问题的关键是如果卡片的一面为 P,另一面必须是 2,所以一定要看 P 的另一 面是否为 2, 一面为 2 的另一面可以是任意有关字母, 一面为 3 的卡片的另一面一定不能是 P, 所以必须翻看第一、第四张卡片. 考点:推理与证明 第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 z ?

(1 ? i )(1 ? i ) 在复平面上对应的点的坐标为 2i

.

【答案】(0,-1) 【解析】 试题分析:由题首先化简所给复数,然后根据复数第对应的复平面上的点即可判断对应坐标; 由题 z ?

(1 ? i)(1 ? i) 2 ? ? ?i ,所以对应坐标为(0,-1). 2i 2i

考点:复数几何性质 10.有三个车队分别有 2 辆、3 辆、4 辆车,现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行 任务,则不同的抽调方案共有 【答案】27 【解析】 试题分析:分类讨论,利用组合知识,即可得出结论. 由题意,不同的抽调方案共有
2 2 2 2 2 2 C2 C3 ? C2 C4 ? C3 C4 ? 3 ? 6 ?18 ? 27种.

种.

考点:排列组合、计数原理的应用 11.如图, AB 是半圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PD 与半圆 O 相切于点 C ,

AD ? PD .若 PC ? 4 ,
PB ? 2 ,则圆 O 的半径为
, CD ? .

【答案】3, 【解析】
2 试题分析:由 PD 与半圆 O 相切于点 C 及切割线定理得 PC ? PB ? PA,OC⊥PD.再利用 AD

⊥PD 得到 OC∥AD.利用平行线分线段成比例即可得出.

C 2 ?P BP ? A , 设圆的半径为 R. 连接 OC. ∵PD 与半圆 O 相切于点 C, ∴P , OC⊥PD. ∵PC=4,
2 (2 ? 2R) ,解得 R=3.又∵AD⊥PD,∴OC∥ PB=2,? 4 ? 2 ?

AD.?

PC PO 4 2?3 12 = . ? = , ? CD ? . CD OA CD 3 5

考点:与圆有关的比例线段

12.已知 x ? 1,

y ? 0 ,集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 4} , B ? {( x, y ) | y ? kx ? 1} ,如果
.

A ? B ? ? ,则 k 的取值范围是
【答案】 ? , 4?. 【解析】 试题分析:由题意作出可行域,把 A

?1 ? ?4 ?

B ? ? 转化为直线 y=kx-1 与可行域有公共点,然后利

? x ?1 ? 用两点求直线的斜率得答案. 由? y ? 0 作出可行域如图, 要使 A ? B ? ? , 则直线 y=kx-1 ?x ? y ? 4 ?
与可行域有公共点,联立 ? -1) , kA P =

? x ?1 ,得 B(1,3) ,又 A(4,0) ,直线 y=kx-1 过定点 P(0, ? x ? y=4

?1 ? 0 1 1?3 ? = , =4. B Pk = 0? 4 4 0 1?

∴k 的取值范围是 ? , 4?.

?1 ? ?4 ?

考点:简单的线性规划 13.曲线 | x | ? y ? 3 y ? 0 的对称轴方程是
2

, y 的取值范围是

.

【答案】x=0;[0,3]. 【解析】 试题分析:以-x 代替 x,方程不变,可得曲线 x ? y ? 3 y ? 0 的对称轴方程,由方程可得
2 2 即可求出 y 的取值范围. 以-x 代替 x, 方程不变, 所以曲线 x ? y ? 3 y ? 0 y2 ? 3 y ? ? x ? 0 ,

的对称轴方程是 x=0;由方程可得 y ? 3 y ? ? x ? 0 ,所以 0≤y≤3,即 y 的取值范围是[0,
2

3]. 考点:曲线与方程 14. ABCD 是矩形, AB ? 4 , AD ? 3 , 沿 AC 将 ?ADC 折起到 ?AD ?C , 使平面 AD?C ? 平 面 ?ABC , F 是 AD? 的中点, E 是 AC 上的一点,给出下列结论: ① 存在点 E ,使得 EF / / 平面 BCD? ③ 存在点 E ,使得 D ?E ? 平面 ABC ② 存在点 E ,使得 EF ? 平面 ABD? ④ 存在点 E ,使得 AC ? 平面 BD ?E

其中正确结论的序号是 【答案】①②③. 【解析】

.(写出所有正确结论的序号)

试题分析:①存在 AC 中点 E,则 EF∥CD′,利用线面平行的判定定理可得 EF∥平面 BCD′; ②EF⊥AC,利用面面垂直的性质,可得 EF⊥平面 ABD′;③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质, 可得 D′E⊥平面 ABC;④因为 ABCD 是矩形,AB=4,AD=3,所以 B,D′在 AC 上的射影不是 同一点,所以不存在点 E,使得 AC⊥平面 BD′E. 在 AC 中点 E, 则 EF∥CD′, 利用线面平行的判定定理可得 EF∥平面 BCD′, 正确; ②EF⊥AC, 利用面面垂直的性质,可得 EF⊥平面 ABD′,正确;③D′E⊥AC,利用面面垂直的性质,可 得 D′E⊥平面 ABC,正确;④因为 ABCD 是矩形,AB=4,AD=3,所以 B,D′在 AC 上的射影 不是同一点,所以不存在点 E,使得 AC⊥平面 BD′E,故不正确;故答案为:①②③. 考点:面面垂直的性质 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) ?ABC 中, BC ? 2 , ?ABC ? ? . (Ⅰ)若 cos

?
2

?

2 5 , AB ? 5 ,求 AC 的长度; 5

(Ⅱ)若 ?BAC ?

?
6

, AB ? f (? ) ,求 f (? ) 的最大值.

【答案】 (Ⅰ) 17 ; (Ⅱ)4. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据余弦的倍角公式求出 cosθ ,由余弦定理即可求 AC 的长度; (Ⅱ)求出 角 C 的大小,根据正弦定理表示出 f(θ ) ,根据三角函数的性质即可取出 f(θ )的最值. 试题解析: (Ⅰ)? cos

?
2

?

2 5 , 5

? cos ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 2 ? ( 2 5 ) 2 ? 1 ? 3 2 5 5
3 ? 17 5

? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos? ? 25 ? 4 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? AC ? 17
(Ⅱ)? ?BAC ?

?

6 AB BC 2 ? ? ? ?4 5? ? 1 sin( ? ? ) sin 6 6 2

, ?ABC ? ? , ??BCA ?

5? ?? 6

? AB ? 4sin(

5? ?? ) , 6 5? 5? ? f (? ) ? 4sin( ? ? ) , ? ? (0, ) 6 6 5? 5? ? ? ? (0, ) , 6 6 5? ? ? ?当 ? ? ? 时,即 ? ? 时 6 2 3
f (? ) 的最大值为 4

考点:解三角形 16.(本小题满分 14 分)

? A1 中, BB1 // CC1 // AA1 ,且 AB ? 3 ,且 如图 1,在边长为 12 的正方形 AA?A1
? 与 AA1 BC ? 4 ,AA1? 分别交 BB1 , CC1 于点 P, Q , 将该正方形沿 BB1 , CC1 折叠, 使得 A?A1
重合,构成图 2 所示的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,在图 2 中. (Ⅰ)求证: AB ? PQ ; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 APQ 所成角的正弦值; (Ⅲ)在底边 AC 上有一点 M ,使得 BM // 平面 APQ ,求 A1 B1 C1

AM 的值. MC
A1′ A1 B1 C1 Q P

Q P A B C A′ A

B
M (图 2)

C

(图 1)

【答案】 (Ⅰ)略; (Ⅱ) 【解析】

3 3 ; (Ⅲ) . 4 3

试题分析: (Ⅰ)由 AB⊥BC.AB⊥BB1,得 AB⊥平面 BC1,易得 AB⊥PQ; (Ⅱ)先求得各点的 坐标,从而得出相应向量的坐标,再求出平面 APQ 的法向量,由线面角公式求解; (Ⅲ)过 M 作 MN∥CQ 交 AQ 于 N,连接 PN,由 PB∥CQ 得 MN∥PB,从而四边形 PBMN 为平行四边形,

对边平行 BM∥PN,由线面平行的判定定理得 BM∥平面 APQ.

? 1?A1 是正方形, 试题解析:(Ⅰ)证明: ∵ BB1 / / AA 1 / /CC1 ,且 AA A
∴ BB1 ? AB , 又∵ AB ? 3,

BC ? 4, AC ? 5 ∴ AB ? BC ,

∴ AB ? 平面 B1BCC1 ∴ AB ? PQ (Ⅱ)∵ BB1 ? AB ,

BB1 ? BC , AB ? BC ,以 AB, BC, BB1 分别为 x 轴、 y 轴、

z 轴,建立空间直角坐标系 B ? xyz ,
∴ B(0, 0, 0) , A(3, 0, 0) , C (0, 4,0) , P(0, 0,3) , Q(0, 4,7)

BC ? (0, 4,0) ,

AP ? (?3,0,3) ,
?

PQ ? (0, 4, 4) m ? PQ ? 0

设平面 APQ 的法向量 m ? ( x, y, z ) ,则 m ? AP ? 0, ∴ ?3x ? 3z ? 0,

4 y ? 4z ? 0 y ? ?1

令 x ? 1 ,则 z ? 1, ∴ m ? (1, ?1,1) ∴ cos ? m, BC ??

m· BC ?4 3 . ? ?? 3 | m || BC | 3?4
3 3

∴ BC 与平面 APQ 所称角的正弦值为

(Ⅲ) 过 M 作 MR ? AC 与 AQ 交于 R ,连 PR , 则 MR / / QC / / PB ∵ BM / / 平面 APQ , ∴ PBMR 为矩形, ∴ ∴ BM / / PR , ∴ PB ? RM ? 3 , ∴

RM AM 3 ? ? , QC AC 7

AM 3 ? . MC 4

考点:线面平行的性质,线面所成角

17.(本小题满分 13 分) 某普通高中为了了解学生的视力状况,随机抽查了 100 名高二年级学生和 100 名高三年 级学生,对这些学生配戴眼镜的度数(简称:近视度数)进行统计,得到高二学生的频数分 布表和高三学生频率分布直方图如下:
频率/组距

近视 度数 学生

0–1 00 30

100–2 00 40

200–3 00 20

300–4 00 10

400 以 上 0

0.003

a b

0.001 0.0005 0 100 200 300 400 500 600 近视度数

频数 将近视程度由低到高分为 4 个等级:当近视度数在 0-100 时,称为不近视,记作 0;当近 视度数在 100-200 时,称为轻度近视,记作 1;当近视度数在 200-400 时,称为中度近视,记 作 2;当近视度数在 400 以上时,称为高度近视,记作 3. (Ⅰ)从该校任选 1 名高二学生,估计该生近视程度未达到中度及以上的概率; (Ⅱ)设 a ? 0.0024 ,从该校任选 1 名高三学生,估计该生近视程度达到中度或中度以上 的概率; (Ⅲ)把频率近似地看成概率,用随机变量 X , Y 分别表示高二、高三年级学生的近视程 度,若 EX ? EY ,求 b . 【答案】 (Ⅰ)0.7; (Ⅱ)0.46; (Ⅲ)0.001 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据满足条件是事件数不难得到其对应的概率; (Ⅱ)根据独立事件概率求 解即可; (Ⅲ)由题根据频率分布表结合期望公式不难得到其对应的期望值,根据两者期望相 等得到 b 值. 试题解析: (Ⅰ)设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件 A 则 P( A) ?

30 ? 40 70 ? ? 0.7 100 100

(Ⅱ)设该生近视程度达到中度或中度以上为事件 B 则 P( B) ? 1 ? 0.3 ? 0.24 ? 0.46 法 2:设该生近视程度未达到中度及中度以上为事件 A ∵ a ? 0.0024 ,

∴ (b ? 0.0005 ? 2 ? 0.001 ? 0.0024 ? 0.003) ?100 ? 1 , ∴ b ? 0.0026 , ∴ P( B) ? 0.26 ? 0.1 ? 0.05 ? 0.05 ? 0.46 (Ⅲ) EX ? 0 ? 0.3 ? 1? 0.4 ? 2 ? 0.3 ? 3 ? 0 ? 1,

EY ? 0 ? a ? 1? 0.3 ? 2 ? (b ?100 ? 0.1) ? 3 ? 0.1 ? 200b ? 0.8,
∵ EX ? EY , ∴ b ? 0.001 . 考点:概率与统计 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 ( a 为常数)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 , ∴ 200b ? 0.8 ? 1 ,

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [t , ??)(t ? Z ) 上有极值,求 t 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)1; (Ⅱ) {0,1, 2,3} 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求导数,函数 f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率为 可得 f ' ?1? ?
把问题转化为方程 1 ?

1 2

解之即可; (Ⅱ)

1 ? ln x x

在[t,+∞) (t∈Z)上有解,构造函数

,可得函数 g(x)

有零点 x0∈(3,4) ,进而可得答案.

x?a ? ln x 试题解析:(Ⅰ) f ?( x ) ? x , ( x ? a)2

f ?(1) ?
∴a ?1

1? a 1 1 ? ? , 2 (1 ? a) 1 ? a 2

(Ⅱ)∵ f ( x ) ?

ln x , x ?1

x ?1 1 ? ln x 1 ? ? ln x x f ?( x) ? x ? , 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

∴令 f ?( x) ? 0 , 令 f ?( x) ? 0 , 令 g ( x) ? 1 ?

则1 ? 则1 ?

1 ? ln x , x
则1 ?

1 ? ln x , 令 f ?( x) ? 0 , x

1 ? ln x , x

1 ? ln x , x

则 g ( x) 在 (0, ??) 上为减函数,

当 x ? 2 时, g ( x ) ? 1 ? 当 x ? 3 时, g ( x) ?

1 ? ln 2 ? 0 2

4 ? ln 3 , 3
∴ g (3) ? 0

∵ e4 ? 62 ? 36 ? 27 ? 33 , 当 x ? 4 时, g ( x) ?

5 ? ln 4 , 4
∴ g (4) ? 0

5 5 4 ∵ e ? 3 ? 243 ? 256 ? 4 ,

∴存在 x0 ? (3, 4) ,使得 g ( x0 ) ? 0 ,即: f ?( x0 ) ? 0 , 并且当 0 ? x ? x0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时, f ?( x) ? 0 , ∴当 x ? x0 时, f ( x) 取得极大值………8 分 ∴ t 的取值范围是 {0,1, 2,3} . 考点:利用导数研究函数的性质 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的离心率为 ,其短轴的两端点分别为 A(0,1),B(0,-1). (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)若 C,D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点,直线 AC , BD 与 x 轴分别交于点

M , N .试判断以 MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明
理由. y A C M o B N D x

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1 ;(Ⅱ) (0,? 2 ) 2

试题分析: (Ⅰ)由已知条件设椭圆 G 的方程为:

x2 c 2 ? y 2=1, ? a>1? 由 ? 可得 2 a a 2

(Ⅱ)设 C ( x0 , y0 ) ,则 D(? x0 , y0 ) ,则 a2 ? 2, b2 ? 1 由此能求出椭圆的标准方程.

k AC ?

y0 ? 1 , x0

k BD ?

y0 ? 1 由此得到直线 AC,BD 的方程,然后根据中点坐标公式求得 E 点 ? x0
2

坐标,得到对应的圆的方程,根据 1 ? y0 ?

x0 化简圆的方程,通过赋值得到方程组联立得到 2

2

对应的点,然后代入方程验证是否成立,求得对应的点. 试题解析: (Ⅰ)设椭圆 G 的方程为:

x2 ? y 2=1, ? a>1? , 2 a

b ? 1,

c 2 , a 2 ? 2c 2 ,∴ c2 ? 1 ,∴ a2 ? 2, b2 ? 1 , ? a 2

∴ 椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)设 C ( x0 , y0 ) ,则 D(? x0 , y0 ) ,

k AC ?

y0 ? 1 , x0

k BD ?

y0 ? 1 , ? x0

AC : y ?

y0 ? 1 y ?1 x ? 1, BD : y ? 0 x ? 1, x0 ? x0 x0 ? x0 , xN ? , 1 ? y0 1 ? y0

令 y ? 0 ,则 xM ?

x0 ? x0 ? 1 ? y0 1 ? y0 x y ,0) ,即: E ( 0 0 2 ,0) , 设 MN 的中点为 E ,则的坐标为 ( 2 1 ? y0
半径为

x | x0 | | MN | 1 x0 ? | ? 0 |? , 2 2 1 ? y0 1 ? y0 1 ? y0 2

∴ 圆 E 的方程为 ( x ?
2

x0 y0 2 x0 ) ? y2 ? ?? ? , 2 2 1 ? y0 (1 ? y0 ) 2

2

2y 2 4 x 2 ∵ 1 ? y0 ? 0 ,∴ ? 化为 ( x ? 0 ) ? y ? 2 ?? x0 2 x0
2

令 x0 ? ? 2 ,则 y0 ? 0 ,代入 ? 得: x 2 ? y 2 ? 2 , …① 令 x0 ? 1,则 y0 ? ? 由①②得: x ? 0 ,
2 2

2 ,代入 ? 得: x 2 ? y 2 ? 2 2 x ? 2 ,…② 2

y ? ? 2 ,代入 ?? 得:
2

4y 4 y ? 2x 4 左= 0 ?2? 0 2 0 ? 2 ?右 2 x0 x0 x0
∴ 圆 E 恒过定点 (0,? 2 ) 考点:直线与圆锥曲线的综合应用 20.(本小题满分 13 分) 对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ?

?? 1, x ? M ,对于两个集合 M , N ,定义集合 ?1, x ? M

}. M ? N ? {x | f M ( x) ? f N ( x) ? ?1}. 已知 A ? {1,2,3,4,5,6} , B ? {1,3,9,27,81
(Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值,并用列举法写出集合 A ? B ; (Ⅱ)用 Card ( M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数, 求 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B) 的最小值; (Ⅲ)求有多少个集合对 ( P, Q) 满足 P, Q ? ( A ? B) , 且 ( P ? A) ? (Q ? B) ? A ? B . 【答案】 (Ⅰ) {2, 4,5,6,9, 27,81} ; (Ⅱ)7; (Ⅲ)512 【解析】 试题分析: (Ⅰ)直接利用新定义写出 f( ) 和 f( ) 的值,并用列举法写出集合 A ? B ; A 2 B 2

(X ? A) ? Card (X ? B) 的值最小,1,3 一定属于集合 X,X 不能含有 A (Ⅱ)要使 Card
∪B 以外的元素,所以当集合 X 为{2,4,5,6,9,27,81}的子集与集合{1,3}的并集时,从

(X ? A) ? Card (x ? b) 的最小值; 而得出 Card (III) 先验证得到?运算具有交换律和结合律,
从而有 (P ? A)( ? Q ? B)( ? P ? Q)( ? A ? B) ,而 (P ? A)( ? Q ? B)( ? A ? B) ,所 以 P ? Q ? ? ,所以 P=Q,而 A ? B ? {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 9, 27, 81} ,从而得到满足条件的集合对 (P,Q)有 2 个. 试题解析: (Ⅰ) f A (2) ? ?1,
9

f B (2) ? 1 , A ? B ? {2, 4,5, 6,9, 27,81}

(Ⅱ)根据题意可知,对于集合 C ,

X,

①若 a ? C 且 a ? X ,则 Card (C?( X ?{a})) ? Card (C?X ) ? 1 , ②若 a ? C 且 a ? X ,则 Card (C?( X ?{a})) ? Card (C?X ) ? 1 , ∴要使 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值最小, 1,3 一定属于集合 X ,

2, 4,5,6,9, 27,81 是否属于集合 X 不影响 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B)
的值;集合 X 不能含有 A ? B 之外的元素. ∴当 X 为集合 {2, 4,5,6,9, 27,81} 的子集与集合 {1,3} 的并集时,

考点:集合的运算


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