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一元二次不等式及其解法优质课


3.2 一元二次不等式及其解法
(第一课时)

新课引入 制作一个高为2m的长方体容 器,底面矩形的长比宽少1m,并 且长方体的容积大于12m3,问底面 矩形的宽的取值范围? x2-x-6>0

新知讲解 一元二次不等式(定义)

像 x2-x-6>0 这样只含一个 未知 数,并且未知数最高次数为 2 的不等 式,称为一元二次不等式.

那么怎样求一元二次不等式 x2-x-6>0的解集呢?

画出函数y=x2-x-6的图象,并根据图象回答: (1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0),(3, 0) , 该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关 系: 交点的横坐标即为方程的根 。 (2).当x取 x= -2 或 3 时,y=0? y 当x取 x<-2 或 x>3 时,y>0? 当x取 -2 < x <3 时,y<0? y>0 y>0 (3).由图象写出: o o o o 2 x -2 0 3 不等式x -x-6>0 的 y<0 解集为 ﹛x|x<-2或x>3﹜ 。 不等式x2 -x-6<0 的 解集为 ﹛x| -2 <x <3﹜ 。

思考:
方程 ax2+bx+c=0、 不等式ax2+bx+c>0、

或ax2+bx+c<0
与函数y= ax2+bx+c 的图象有什么关系?

结论:方程的解即函数图象与x轴交点 的横坐标,不等式的解集即函数图象 在x轴上方或下方图象所对应x的范围。

一元二次不等式的解法 二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 x1=x2= {x|x≠ }

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

R Φ

Φ

一元二次不等式的标准形式: ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0(a>0)

记忆口诀:a>0( ) 大于0取两根之外, 小于0取两根中间。
??0

大于取两边,小于取中间.

例1.解不等式 2x2-3x-2 > 0 . 解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,

先求方程的根

方程的解2x2-3x-2 =0的解是 然后想像图象形状 1 x1 ? ? , x2 ? 2. 2
所以,原不等式的解集是
1 2
2

1 ? ? ? x | x ? ? , 或x ? 2?. 2 ? ?

注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
8

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 .
解:不等式 :? x 的解集为:
1 ? ?x?2 2

? 注:开口向上,小于0
解集是大于小根且 小于大根(两边夹)

-

1 2

2

9

总结出: 解一元二次不等式ax2+bx+c>0、 ax2+bx+c<0 (a>0) (标准形)的步骤是:
(1)判定△的符号, (2) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;(画出函数图像) (3)(结合函数图象)写出不等式的解集.
(大于0解集是大于大根或小于小根,小于0解集是大于小根且 小于大根)

例2:解不等式4x2+1>4x
解:整理,得 4x2-4x+1>0
因为△= 16 -16 =0
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }

例3:解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解:整理,得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф

总结出: 解一元二次不等式 ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是:
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符号, (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;(画出函数图像) (4)(结合函数图象)写出不等式的解集.

简记为:一化—二判—三求—四写

巩固练习
1、解下列一元二次不等式: 2 2 ? + ? ? 1 ( ) 3x 7 x 2 0 ; (2) 6 x ? x + 2 ? 0 ;

答案:

课堂小结

一元二次不等式的解法 1. 二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x

△=0
y

△<0
y

有两相等实根 x1=x2= {x|x≠ }

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }

R Φ

Φ

2.解一元二次不等式 ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是:
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符号, (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;(画出函数图像) (4)(结合函数图象)写出不等式的解集.

简记为:一化—二判—三求—四写

作业:
1.课本80页练习1(1)(2)(3)(4) 2.全优课堂配套练习


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