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高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.2.1对数的概念和运算律练习湘教版必修1

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2.2 2.2.1
[学习目标]

对数函数

对数的概念和运算律

1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对

数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算 .4.掌握对数的运算性质及其推导.5. 能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.

[知识链接]
2
2

1. 83 =4, 64 3 =
x

1 . 16
x

2.若 2 =8,则 x=3;若 3 =81,则 x=4. 3.在指数的运算性质中:

am am·an=am+n, n=am-n,(am)n=amn. a
[预习导引] 1.对数的概念 如果 a =N(a>0,a≠1),那么 b 叫作以 a 为底,(正)数 N 的对数,记作 b=logaN.这里,a 叫作对数的底,N 叫作对数的真数. 把上述定义中的 b=logaN 代入 a =N, 得到 a 这两个等式叫作对数的基本恒等式:
b
log N

b

a

=N; 把 N=a 代入 b=logaN, 得到 b=logaa ,

b

b

alogaN=N,b=logaab.
由上述基本恒等式可知,logaa=logaa =1,loga1=logaa =0. 2.对数的运算法则 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaM =nlogaM(n∈R). (3)loga =logaM-logaN. 3.常用对数与自然对数 (1)以 10 为底的对数叫作常用对数,log10N 记作 lg_N. (2)以无理数 e=2.718 28…为底的对数叫作自然对数.logeN 通常记为 ln N.
n
1 0

M N

1

要点一 指数式与对数式的互化 例 1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: 1 -7 a -1 (1)2 = ;(2)3 =27;(3)10 =0.1; 128 (4)log232=-5;(5)lg 0.001=-3. 1 解 (1)log2 =-7. 128 (2)log327=a. (3)lg 0.1=-1. (4)2 =32. (5)10 =0.001. 规律方法 1.解答此类问题的关键是要搞清 a,x,N 在指数式和对数式中的位置. 2.若是指数式化为对数式,关键是看清指数是几,再写成对数式;若是对数式化为指数式, 则要看清真数是几,再写成指数式. 跟踪演练 1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)log3x=6;(2)ln e=1;(3)4 =64. 解 (1)3 =x. (2)e =e. (3)log464=3. 要点二 对数式的计算与化简 例 2 求下列各式的值: lg (1) 27+lg 8-lg lg 1.2 1 000 ;
1 6 3 -3 -5

32 (2)2log32-log3 +log38-log5125; 9 (3)log2
3

7 1 +log212- log242; 48 2
3

(4)(lg 2) +3lg 2·lg 5+(lg 5) . 1 1 3 lg 27+lg 2 - lg 1 000 2 2 解 (1)原式= lg 12-lg 10 3 3 3 lg 3+3lg 2- +2lg 2- 2 2 2 = = 2lg 2+lg 3-1 lg 3+2lg 2-1 3 = . 2
2

(2)原式=2log32-log332+log39+log32 -log55 =2log32-5log32+2+3log32-3 =-1. (3)原式=log2 7×12 48× 42 =log22
2

3

3

?

1 2

1 =- . 2
2 2

(4)原式=(lg 2+lg 5)[(lg 2) -lg 2·lg 5+(lg 5) ]+3lg 2·lg 5=(lg 2) +2lg 2·lg 5+(lg 5)
2

=(lg 2+lg 5) =1. 规律方法 1.进行对数式的计算与化简,主要依据是对数的运算法则,同时要注意结合对数 恒等式、对数性质的应用. 2.应用对数的运算法则时,除了正用这些法则外,还要注意它们的逆用. 3.lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2 在计算和化简时经常使用,注意记忆. 4.在对数的运算和化简中提取公因式,因式分解等仍适用. 跟踪演练 2 (1)已知 lg a=2.431 0,lg b=1.431 0,则 等于( A. 1 100 1 B. 10 C.10 D.100

2

b a

)

(2)计算下列各式的值: 1 ①4lg 2+3lg 5-lg ; 5 ② 2lg 2+lg 3 . 1 1 1+ lg 0.36+ lg 8 2 3 3 .

2 3 lg 3+ lg 9+ lg 27-lg 5 5 (3)化简: lg 81-lg 27 (1)答案 B

解析 由于 lg =lg b-lg

b a

a=1.431 0-2.431 0=-1,

b 1 -1 ∴ =10 = ,故选 B. a 10
(2)解 ①原式=lg 2 ×5 4 4 4 =lg(2 ×5 )=lg(2×5) =4. 1 5 = 3 8 lg 12 1+lg 0.6+lg 2
4 3

②原式=

lg 4+lg 3 0.36+lg

1+lg

3



lg 12 =1. lg 12

4 9 1 lg 3+ lg 3+ lg 3- lg 3 5 10 2 (3)解 方法一 原式= 4lg 3-3lg 3



?1+4+ 9 -1?lg 3 ? 5 10 2? 11 ? ?


= . 5

方法二 (逆用公式):
2 5

原式=

×27 81 lg 27

1 2

×

3 5

×3

?

1 2

11

lg 3 5 11 = = . lg 3 5 要点三 对数恒等式 a 例 3 计算:3 解 3
1+log 5 3 1+log 5 3 log N

a

=N 的应用 +10
3lg 3

-2

4+log 3 2

?1?log 5 +? ? 2 . ?2?

-2
4

4+log 3 2

+10

3lg 3

?1?log 5 +? ? 2 ?2?
) +(2 29 . 5
log 5 -1 2

=3×3

log 5 3

-2 ×2

log 3 2

+(10
-1

lg 3 3

)

=3×5-16×3+3 +5 =-

3

规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.这就要 求首先要牢记对数恒等式,对于对数恒等式 a 数中含有对数形式;(3)其值为对数的真数.
1
log N

a

=N 要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指

跟踪演练 3 求值:(1)9 2
1 1
log 4 3

log 4 3

;(2)5 =4.

1+log 2 5

.

解 (1)9 2 (2)5
1+log 2 5

=(3 ) 2
log 2 5

2

log 4 3

=3

log 4 3

=5·5

=5×2=10.

1.已知 ab>0,则下面 4 个式子中,正确的个数为(

)

a 1 ①lg(ab)=lg a+lg b;②lg =lg a-lg b;③ lg b 2

?a?2=lg?a?. ?b? ?b? ? ? ? ?

4

A.0 C.2 答案 B

B.1 D.3

解析 当 a<0,b<0 时,虽有 ab>0,但①②不正确,因为 lg a,lg b 均无意义.只有③ 正确. 2.log34+log3 A.-3 1 C.- 3 答案 A 解析 原式=log3 4 1 -3 =log3 =log33 =-3. 108 27 ) 1 的值是( 108 ) B.3 1 D. 3

3.已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c=log32,则 a,b,c 的大小关系是( A.a=b<c C.a<b<c 答案 B B.a=b>c D.a>b>c

解析 a=log23+log2 3=log23 3, b=log29-log2 3=log23 3, 因此 a=b, 而 log23 3> log22=1,log32<log33=1,所以 a=b>c,故选 B. 4.若 ln(lg x)=0,则 x=________. 答案 10 解析 由已知得 lg x=1,所以 x=10. 5.已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a )+f(b )=________. 答案 2 解析 =2. 由已知可得,lg(ab)=1,∴f(a )+f(b )=lg a +lg b =lg(a b )=2lg(ab)=2×1
2 2 2 2 2 2 2 2

1.一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 a =N,那么 b 叫作以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b,其中 a 叫作对数的底数,N 叫作真数. 2.利用 a =N?b=logaN (其中 a>0,a≠1,N>0)可以进行指数式与对数式的互化. 3.对数恒等式:a
log N

b

b

a

=N(a>0 且 a≠1),b=logaa .

b

4.对于同底的对数的化简常用方法是: (1)“收”,将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).

5

5.对于常用对数的化简要充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. 6.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.

一、基础达标 1.指数式 a =b(a>0,a≠1)所对应的对数式是( A.log5a=b C.logb5=a 答案 D 2.若 logx( 5-2)=-1,则 x 的值为( A. 5-2 C. 5-2 或 5+2 答案 B 1 -1 解析 ∵logx( 5-2)=-1,∴x = 5-2,即 = 5-2,即 x= 1 5-2 B. 5+2 D.2- 5 ) B.log5b=a D.logab=5
5

)

x

= 5+2.

1 3.21+ ·log25 的值等于( 2 A.2+ 5 C.2+ 5 2

) B.2 5 D.1+ 5 2

答案 B 解析 2
1+

1 2

1
log 5 2

=2×2 2

log 5 2

=2×2
? 1 2

log 5 2

1 2

1

=2×5 2 =2 5. )

4.log7[log3(log2x)]=0,则 x A. C. 1 3 1 2 2

等于( 1 2 3 1 3 3

B. D.

答案 C 解析 由已知得,log3(log2x)=1, ∴log2x=3,∴x=2 ,
3

6

∴x

?

1 2

=(2 )

3

?

1 2

=8

?

1 2



1 8
1 2



1 8



1 2 2

.

5.若 4

lg x

=16,则 x 的值为________.

答案 100 解析 ∵4
2 lg x

=16=4 ,∴lg x=2,

2

∴x=10 =100. 6.已知 log32=a,3 =5,则 log3 30用 a、b 表示为______. 答案 1 (a+b+1) 2
b b

解析 由 3 =5,得 b=log35, 1 log3 30= log3(3×5×2) 2 1 1+a+b = (1+log35+log32)= . 2 2 7.求下列各式中 x 的值: (1)若 log3?

?1-2x?=1,求 x 的值; ? ? 9 ?
2

(2)若 log2 015(x -1)=0,求 x 的值. 解 (1)∵log3?

?1-2x?=1,∴1-2x=3. ? 9 ? 9 ?
2

∴1-2x=27,即 x=-13. (2)∵log2 015(x -1)=0, ∴x -1=1,即 x =2. ∴x=± 2. 二、能力提升 8.设函数 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),若 f(|x1·x2·…·x2 014|)=8,则 f(x1)+f(x2)+… +f(x2 014)的值为( A.4 C.16 答案 C 解析 因为 f(x)=logax,f(|x1·x2·…·x2 014|)=8, 所以 f(x1)+f(x2)+…+f(x2 014) =logax1+logax2+…+logax2 014 =2loga|x1|+2loga|x2|+…+2loga|x2 014| =2loga|x1x2…x2 014|
7
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.8 D.2loga8

=2f(|x1·x2·…·x2 014|)=2×8=16. 9.对于 a>0,a≠1,下列说法: ①若 M=N,则 logaM=logaN; ②若 logaM=logaN,则 M=N; ③若 logaM =logaN ,则 M=N; ④若 M=N,则 logaM =logaN . 其中正确的有________. 答案 ② 解析 ①若 M=N=-5,则 logaM 与 logaN 无意义,所以①错;②对;③因为 loga5 =loga(- 5) ,而 5≠-5,所以③错;④若 M=N=0,则 logaM 与 logaN 无意义,所以④错.
2 2 2 2 2 2 2 2

?1? 10.若 f(log2x)=x,则 f? ?=________. ?2?
答案 2
1 1

1 1 解析 令 log2x= ,则 2 2 =x,∴f( )=2 2 = 2. 2 2 3 11.计算:(1)3log72-log79+2log7( ); 2 2 (2)(lg 5) +2lg 2-(lg 2) ; 1 1 n (3)loga a+loga n+loga .
2 2

a

n

a

9 解 (1)原式=log78-log79+log7 8 =log78-log79+log79-log78=0. (2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2 =lg 5-lg 2+2lg 2 =lg 5+lg 2=1. 1 1 -n (3)原式=logaa +logaa +logaa-

n

n

1 ? 1? = +(-n)+?- ?=-n.

n

? n?

三、探究与创新 12.已知 2lg? 解 由 2lg?

?1 m-n ?=lg m+lg n,求m的值. ? n ?2 ?

?1 m-n ?=lg m+lg n, ? ?2 ?
8

得 lg? ∴?

?m-n?2=lg mn, ? ? 2 ?

?m-n?2=mn.∴m2-6mn+n2=0, ? ? 2 ? ?n?
n n

m ?m?2 6m 即? ? - +1=0,解得 =3±2 2,
由题意得 m>n>0,则 >1,∴ =3+2 2. 13.已知 lg a 和 lg b 是关于 x 的方程 x -x+m=0 的两个根,而关于 x 的方程 x -(lg a)x -(1+lg a)=0 有两个相等的实数根,求实数 a、b 和 m 的值. lg a+lg b=1, ① ? ? 解 由题意得?lg a·lg b=m, ② ? a 2+ +lg a =0, ③ ? 由③得(lg a+2) =0, 1 ∴lg a=-2,即 a= .④ 100 ④代入①得 lg b=1-lg a=3, ∴b=1 000.⑤ ④⑤代入②得 m=lg a·lg b=(-2)×3=-6.
2 2 2

m n

m n

9


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