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金丽衢十二校2012-2013学年第一次联合考试数学试卷(文科)及参考答案

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金丽衢十二校 2012-2013 学年第一次联合考试 数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟.试卷总分为 150 分.请考生将所有试题的 答案涂、写在答题卷上.

第Ⅰ卷
一、 选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项是符合题目要求的. 1.复数

i 的共轭复数为 1? i 1 1 1 1 A. ? ? i B. ? i 2 2 2 2

C.

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x x ? 2 ,则 A ? CU B ? A.

?

?

?

?

?x 1 ? x ? 2?

B.

?x 2 ? x ? 3?

C.

?x 1 ? x ? 2?

D.

?x x ? 2?

3.设 x, y ? R ,那么“ x ? y ? 0 ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件 A. ? 4 B. ? 4

x ? 1 ”的 y
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C. ? 2 2 D. ? 2 2

4.已知实数列 ? 1, x, y, z ,?2 成等比数列,则 xyz = 5.已知不重合的直线 m 、和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ;②若 ? ⊥ ? ,则 m // l ; ③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ;④若 m // l ,则 ? ? ? .其中正确命题的个数是 A. B. 2 C. 3
2 2

D. 4

6.对任意的实数 k ,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 的位置关系是 A.相离 C.相交 7. 已知双曲线 B.相切 D.以上三个选项均有可能

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,右焦点为 F ,且 a2 b 9 5

两支曲线在第一象限的交点为 P ,若 PF ? 2 ,则双曲线的离心率为 A. 5 B. 3 C.

1 2

D. 2

8. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0 )的图象如右图所示,为了得到

g ( x) ? A sin ?x 的图象,可以将 f (x) 的图象

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A.向右平移 C.向左平移

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? ?
6 6

个单位长度 个单位长度

B.向左平移 D.向右平移

? ?
3 3

个单位长度 个单位长度

9.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AM ? 2 PM ,则

PA ? PB ? PC 的值是
A.

?

?

1 2

B.

4 9

C. ?

1 2

D. ?

4 9

10.设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x 2 .若对任意的 x ? ?a, a ? 2? , 不等式 f ? x ? a ? ? f A. a ? 0

? 2 x ?恒成立,则实数 a 的取值范围是
B. a ?

2

C. a ?

2

D. a ? 0

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个 年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年 级抽取____名学生. 12. 若 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是

13. 一空间几何体三视图为如图所示的直角三角形与直角梯形,则该几何体的体积为

?x ? y ? 5 ? 0 ? 14. 设 Z ? 2 x ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 Z 的最大值是 ? x ? 0, y ? 0 ?
15. 记一个两位数的个位数字与十位数字的和为 ? .若 ? 是不超过 5 的奇数,从这些两位数 中任取一个,其个位数为 0 的概率为

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2

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16.对任意的实数 x ? R ,不等式 x ? a x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 17.已知 a ? 0, b ? 0 , ?a ? 1??b ? 1? ? 1 ,则 (a ? 1)(b ? 1) 的最小值为
2 2

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ? 角 C 的面积为 10 3 . (Ⅰ)求 a, c 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ?

?

3

, ? 5 ,?ABC b

? ?

??

? 的值. 6?

19.(本题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ? 满足 a3 ? 10, a5 ? 2a 2 ? 6 .

?2n ?1 ? n为奇数 ? ? (Ⅱ)数列 ?bn ? 满足 bn ? ? 1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 T2n . ? an ?1 ? n为偶数 ? ?2 20. (本小题满分 14 分)如图在梯形 ABCD 中, AB // DC , E 、 F 是线段 AB 上的两点,
且 DE ? AB , CF ? AB ,CF ?

(Ⅰ)求 a n ;

3 , EF ? FB ? 2 , G 为 FB 的中点,设 AE ? t ,现将

使 得到多面体 PEFCD . ?ADE , ?BCF 分别沿 DE, CF 折起, A 、B 两点重合于点 P , (Ⅰ)求证: PD // 平面 EGC ; (Ⅱ)当 EG ? 面 PFC 时,求 DG 与平面 PED 所成角的正切值.

21.(本题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? 切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (Ⅰ)求实数 a 的值;

2 ? a ln x ? 2 .若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的 x

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? x ? b(b ? R ) ,函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个不同的零点( e 为 记 自然对数的底数),求实数 b 的取值范围. 22. (本题满分 15 分)已知抛物线 M : y ? 2 px ? p ? 0 ? 上一个横坐标为 3 的点到其焦点的距
2

?1

离为 4 .过点 P (2,0) 且与 x 轴垂直的直线 l1 与抛物线 M 相交于 A, B 两点,过点 P 且与

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x 轴不垂直的直线 l 2 与抛物线 C 相交与 C, D 两点,直线 BC 与 DA 相交于点 E .
(Ⅰ) 求抛物线 M 的方程; (Ⅱ)请判断点 E 的横坐标是否为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由.

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金丽衢十二校 2012-2013 学年第一次联合考试 数学试卷(文科)参考答案
一、选择题(5×10=50 分)

题号 答案

1 D

2 A

3 A

4 C

5 B

6 C

7 D

8 A

9 C

10 B

二、填空题(4×7=28 分) 11. 15 12. 30 13. 2 14. 8 15.

1 3

16. a ? ?2

17. 9

三、解答题(共 72 分)

? 18. 解:(?) S ?ABC ?
? a ? 5 ? sin

1 ab sin C ? 10 3 2
————————3 分

?
3

? 20 3, 得a ? 8

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C , c ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

? 82 ? 52 ? 2 ? 5 ? 8 ?

1 ?7 2

————————6 分

(??) ?

a c a sin C ? ,? sin A ? ? sin A sin C c b 2 ? c 2 ? a 2 52 ? 7 2 ? 82 1 ————————11 分 cos A ? ? ? 2bc 2? 5? 7 7 ? ? ? 4 3 3 1 1 13 sin( A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? ? ? ? ? ————14 分 6 6 6 7 2 7 2 14

8?

3 2 ? 4 3 ————9 分 7 7

19. 解:(? )a1 ? 2d

? 10, a1 ? 4d ? 2(a1 ? d ) ? 6

a1 ? 2, d ? 4,? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 4n ? 2 ———————6 分

(??)数列?bn ?的前2n项中,奇数项和偶数项各有n项 当n奇数时,bn为首项是1公比是4的等比数列

——————7 分

S奇 =

1 ? q n 1 ? 4n 4n ? 1 ? ? ————————10 分 1? q 1? 4 3
D
———
M

当n为偶数时,bn为首项是1公差是4的等差数列 S偶 =n ? n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n 2

C


——13 分

E
N

F G

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T2 n ? S奇 ? S偶 ? 2n 2 ? n ? 4n ? 1 ———14 分 3

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20. (Ⅰ)证明:连接 DF 交 EC 于点 M ,连接 MG

? M , G 为中点 ? PD // MG 又? PD ? 面EGC
MG ? 面EGC ? PD // 平面 EGC ———5 分
(Ⅱ)当 EG ? 面 PFC 时, EG ? PF 又? G 为 FB 的中点, ? EF ? EP ? 2 ,?t ? 2 —————7 分 过点 G 在平面 PEF 中作 EP 的垂线,垂足为 N,连接 DN . ? DE ? 面 PEF ? 面 PED ? 面 PEF ?GN ? 面 PED ? ?GDN 即为 DG 与平面 PED 所成角.——————11 分 易求得 GN ?

3 21 7 ,所以 DG 与平面 PED 所成角的正切值为 .——14 分 , DN ? 2 2 7

21.解: (Ⅰ)直线 y ? x ? 2 的斜率为. 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ?

2 a ? , x2 x
——————6 分

2 a ? ? ?1 ,解得 a ? 1 12 1 2 (Ⅱ) g (x) = ? ln x ? x ? 2 ? b ,( x ? 0 ) x
所以 f ?(1) ? ?

g ?(x) =

x2 ? x ? 2 ,由 g ?(x) >0 得 x ? 1 , 由 g ?(x) <0 得 0 ? x ? 1 . x2

所以 g (x) 的单调递增区间是 ?1,?? ? ,单调递减区间 ?0,1?

x ? 1 时 g (x) 取得极小值 g (1) .——————10 分
? g (e ?1 ) ? 0 ? ?1 因为函数 g ( x) 在区间 [e , e] 上有两个零点,所以 ? g (e) ? 0 ———————13 分 ? g (1) ? 0 ?
解得 1 ? b ≤

2 ? e ?1 . e 2 ? e ? 1] . e
——————————15 分

所以 b 的取值范围是 (1,

22.解: (Ⅰ)由题意可知 3 ?

p ?4 ?p?2 2

? 抛物线 M 的方程为: y 2 ? 4 x ———5 分

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(Ⅱ)可求得 A 2,2 2 , B 2,?2 2 ,设 C ? 1 , y1 ?, D? 2 , y 2 ? E 点横坐标为 x E ? 4 ? ? 4 ? ? ? ? ? 直线 CD 的方程为: x ? ty ? 2?t ? 0 ? ————————7 分 联立方程 ?

?

? ?

?

? y2

?

? y2

?

? x ? ty ? 2 ? y ? 4x
2

可得: y ? 4ty ? 8 ? 0
2

? y1 ? y 2 ? 4t ? ? y1 y 2 ? ?8
AD 的方程为: y ? 2 2 ?

————————9 分

4 y2 ? 2 2 4 y1 ? 2 2

?x ? 2? ?x ? 2?
————————11 分

BC 的方程为: y ? 2 2 ?

联立方程消去 y 化简得: x E ? 2 = 2 ?

y1 y 2 ? 2 2 y1 ? 2 2 y 2 ? 8 y 2 ? y1 ? 4 2 ? ?4

? 2

? 8 ? 2 2 y1 ? 2 2 y 2 ? 8 y 2 ? y1 ? 4 2

??

? 4( y 2 ? y1 ? 4 2 ) y 2 ? y1 ? 4 2

所以 x E ? ?2 为定值。————————15 分

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