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2.3.1变量间的相关关系.ppt_图文

2.3.1变量间的相关关系
(第一课时)

讲授新课 一:变量之间的相关关系 1.两变量之间的关系 (1)函数关系: 当自变量取值一定时,因变量取值由它唯一确定 正方形面积S与其边长x之间的函数关系S=x2 , 对自变量边长的每一个确定值,都有唯一确定的 面积的值与之对应。 确定关系 (2)相关关系: 当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定 的随机性 一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 。 水稻产量并不是由施肥量唯一确定,在取值上带有 不确定关系 随机性

2、相关关系的概念 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性 的两个变量之间的关系叫相关关系.

(1)相关关系与函数关系的异同点: 相同点:均是指两个变量的关系 不同点:函数关系是一种确定的关系; 而相关关系是一种非确定关系;
即,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定 是因果关系,也可能是随机关系. (2)函数关系与相关关系之间有着密切联系:

在一定的条件下可以相互转化.而对于具有线性相关关系 的两个变量来说,当求得其回归直线方程后,又可以用一 种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计:

3、判断相关关系的基本程序 两个变量 →一个变量值一定→另一个变量带有不确

定性→相关关系
4、相关关系的类型 相关关系可分为线性相关,非线性相关两类. 注意: 两个变量之间的关系具有确定性关系—函数关系.

两个变量变量之间的关系具有随机性,不确定性—相关 关系.

二:散点图
1、散点图:将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…, n)描在平面直角坐标系中,以表示具有相关关系的两个 变量的一组数据的图形叫做散点图.

2、正相关、负相关 正相关:如果散点图的点散布在从左下角到右上角的区域, 即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也近似的由 小变大,对于两个变量的这种相关关系,我们称为正相关 负相关:如果散点图的点散布的位置是从在左上角到右下 角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值 也近似的由大变小,对于两个变量的这种相关关系,我们 称为负相关.

注意:

1、散点图的特点形象地体现了各数据的密切程度, 因此我们可以根据散点图来判断两个变量有没有 线性关系.
2、从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某 种关系,这些点会有一个集中的大致趋势. 3、在考虑两个量的关系时,为了对变量之间的关 系有一个大致的了解,人们将变量所对应的点描 出来,这些点就组成了变量之间的一个散点图.

一、相关关系的判断 例1:5个学生的数学和物理成绩如下表:
A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62

数学 物理

画出散点图,并判断它们是否有相关关系。

解:
物理成绩 80 75 70 65 60 55 50 40 50 60 70 80

数学成绩
90

由散点图可见,两者之间具有正相关关系。

小结:用Excel作散点图的步骤如下 : (结合软件边讲边练) (1)进入Excel,在A1,B1分别输入“数学成 绩”、“物理成绩”,在A、B列输入相应的数据。 (2)点击图表向导图标,进入对话框,选择 “标准类型”中的“XY散点图”,单击“完 成”。 (3)选中“数值 x 轴”,单击右键选中“坐标 轴格式”中的“刻度”,把“最小值”、“最大 值”、“刻度主要单位”作相应调整,最后按 “确定”。y 轴方法相同。

三、回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的 方法叫回归分析 (1)回归分析本质:寻找相关关系中非确定 性关系的某种确定性。 (2)回归分析的意义:相关关系到处存在,从某 种意义上讲,函数关系是一种理想的关系模型, 而相关关系则是一种非常普遍关系。研究和学习 相关关系,不仅可以使我们能够处理更为广泛的 数学问题,还可以使我们对函数关系的认识再上 升到一个新的高度。

四:回归直线方程
1、回归直线 (1)回归直线的定义:
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线 叫做回归直线 (2)回归直线的特征: 如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那 么我们就可以比较清楚地了解对应两个变量之间的相关性 . 就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直 线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表.

2、回归直线方程 定义:一般地,设x与y是具有相关关系的两个变量, 且相应于n组观测值的n个点(xi,yi)(i=1,2,…, n)大致分布在一条直线附近,求在整体上与这n个最 ?x ? a ? ?b ? 接近的一条直线.设此直线方程为 y . (*)这里 在y的上方加记号“^”,是为了区分实际值y,表示当x 取值xi(i=1,2,…n)时,y相应的观察值为yi,而 ?x ? a ? ?b ? . 直线上对应于xi的纵坐标是 y (*)式叫做y对x 的回归直线方程,a、b叫做回归系数. 注意:求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看各点与此直线的距离最小”,即最贴近已知 的数据点,最能代表变量x与y之间的关系.

例如:在7块并排、形状大小相同的试验田上进 行施化肥量对水稻产量影响的试验,得到如下表 所示的一组数据(单位:kg):
施化肥量x 水稻产量y 500 450 400 350 300 10 (施化肥量) 20 30 40 50 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

y 水稻产量

x

3、最小二乘法
假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数 据(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn).

符号?

Q ? ? ( yi ? bxi ? a ) 这样的方法叫做最小二乘法. i ?1

n

2

问题归结为:a,b取什么值时Q最小,即总体和最小.下面是 计算回归方程的斜率和截距的一般公式.

根据最小二乘法和上述公式可以求回归方程.

4、最小二乘法的步骤: (1)收集样本数据,(xi,yi). (2)作散点图,确定x、y具有线性相关关系.

? =bx+a, (3)设回归直线方程 y ? i=bx i+a(i= 令x=x ( 1 , 2, ,n)得到y 1, 2, n) i i=

? =yi -(bxi+a)(i=, (4)求偏差:yi -y 1 2, ,n)
?i ) 2 , (5)求偏差平方和.Q (a,b)=? ( yi ? y
i ?1 n

这是一个关于待定系数a、b的二次多项式.
(6)求a、b,使Q(a,b)为最小值.

二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 y -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 4 3 2 7 1 9

求两变量间的回归方程

解1: 列表:
x y xy
i

i

1 -1

2 -2

3 -3

4 -4

5 -5

6 5

7 3

8 4

9 2

10 1

i

-9
i

-7
14

-5
15

-3
12

-1
5
10

1
5
2 i

5
15

3
12
10

7
14

9
9

i

9

计算得:
10

x ? 0, y ? 0
i i

?x
i ?1

? 110 ,?
i ?1

x y
i

i

? 110

b ?

?x y
i ?1 10

? 1 0x y
2

?x
i ?1

?

2 i

? 10 x

1 1 0? 1 0 ? 0 ?1 1 1 0? 1 0 ? 0

a ? y ? bx ? 0 ? b? 0 ? 0

∴所求回归直线方程为 y=x

^

总结

求线性回归直线方程的步骤:
第一步:列表 x , y , x y ;
i i i i

第二步:计算

x, y, ? xi , ? xi
2 i ?1 i ?1

n

n

y ;
i

第三步:代入公式计算b,a的值; 第四步:写出直线方程。

解2:用Excel求线性回归方程,步骤如下: (1)进入Excel作出散点图。 (2)点击“图表”中的“添加趋势线”,单击 “类型”中的“线性”,单击“确定”,得到 回归方程。 (3)双击回归直线,弹出“趋势线格式”,单 击“选项”,选定“显示公式”,最后单击“确 定”。


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