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1.1正弦定理和余弦定理第1课时 正弦定理 课件(人教A版必修5)


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第一章
1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理

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1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

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课前自主预习

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“无限风光在险峰”,在充满象征色彩的诗意里,对险峰 的慨叹跃然纸上,成为千古之佳句.对于难以到达的险峰应如

何测出其海拔高度呢?能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下
方的险峰海拔高度吗?在本节中,我们将学习正弦定理,借助 已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.

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1.任意三角形的内角和为________;三条边满足:两边之
和________第三边,两边之差________第三边,并且大边对 ________,小边对________.

2.直角三角形的三边长a,b,c(斜边)满足________定
理,即________. [答案] 1.180° +b2=c2 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2

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1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

正弦定理的向量法证明: 证明:(向量法) 当△ABC 是锐角三角形时,如图(1)所示, 过点 A 作单位 → → → → → → 向量 i 垂直于 AB,因为AC=AB+BC,所以 i· AC=i· AB+i· BC, 所以 b· cos(90° -A)=c· cos90° +a· cos(90° -B),即 bsinA=asinB, a b a c a b c 得 = .同理可得 = ,所以 = = . sinA sinB sinA sinC sinA sinB sinC

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当△ABC是钝角三角形时,如图(2)所示,也可类似证明.

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对正弦定理的理解:
(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角 的正弦的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数 量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关

系的转化.

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有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于钝角三角形; ③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是 定值; ④在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=a:b:c 其中正确的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

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[答案] B [解析] 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确; 由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦

的比就确定了,故③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正
确.故选B.

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2.正弦定理的变形形式 bsinA csinA (1)a= = , sinB sinC asinB csinB b= = , sinA sinC asinC bsinC c= = . sinA sinB asinB asinC (2)sinA= = , b c bsinA bsinC sinB= = , a c csinA csinB sinC= = . a b

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(3)a:b:c=sinA:sinB:sinC. (4)边化角公式:a=2RsinA,b=2R sinB,c=2R sinC. a b c (5)角化边公式:sinA= ,sinB= ,sinC= . 2R 2R 2R a+b+c a b c (6) = = = =2R.其中,R 为△ sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC ABC 外接圆的半径.

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B
? ?BAB ? 90?, ?C ? ?B
' '

c ? sin C ? sin B ? 2R c ? ? 2R sin C
'

c A O b B/

a C

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

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A

A C O b B` B b =2R sinB

A

B

O B`

b

C
B

O

b

C

a b c = = =2R. sinA sinB sinC

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在△ABC 中, B=30° , C=45° , c=1, 求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R.
[ 解析] 已知 B=30° ,C=45° ,c=1. b c 由正弦定理,得 = =2R, sinB sinC csinB 1×sin30° 2 所以 b= = = , sinC sin45° 2 c 1 2 2R= = = 2,得 R= . sinC sin45° 2 2 2 所以,b= ,△ABC 外接圆的半径 R= . 2 2

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3.解三角形 (1)定义:一般地,把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形. (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题: ①已知任意两角与一边,求其他两边和一角. ②已知任意两边与其中一边的对角, 求另一边的对角(从而 进一步求出其他的边和角). (3) 已知两边及其中一边对角,判断三角形解的个数的方 法:①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判 断解的个数.

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②在△ABC中,已知a、b和A,以点C为圆心,以边长a为
半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三 角形的个数,解的个数见下表:

A 为钝角 A 为直角 a>b a=b a<b 一解 无解 无解 一解 无解 无解

A 为锐角 一解 一解 a>bsinA a<bsinA 两解 无解 a=bsinA 一解

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图示已知a、b、A,△ABC解的情况.

(ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下:

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(ⅱ)A为锐角时,解的情况如下:

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不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=5,b=4,A=120° ; (2)a=7,b=14,A=150° ; (3)a=9,b=10,A=60° .
[ 解析] bsin120° 4 3 3 (1)sinB= = × < , a 5 2 2

∴△ABC 有一解. bsin150° (2)sinB= =1,∴△ABC 无解. a

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bsin60° 10 3 5 3 3 5 3 (3)sinB= = × = ,而 < <1, a 9 2 9 2 9 5 3 ∴当 B 为锐角时,满足 sinB = 的 B 的取值范围为 9 60° <B<90° . ∴对应的钝角 B 有 90° <B<120° ,也满足 A+B<180° ,所以 △ABC 有两解.

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课堂典例探究

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已知两角和一边解三角形

在△ABC 中,已知 A=60° ,B=45° ,c=2,解 三角形.
[ 分析]
[ 解析] =75° . sin75° =sin(45° +30° ) =sin45° cos30° +cos45° sin30°

已知两角,由三角形内角和定理第三角可求,已
在△ABC 中, C=180° -(A+B)=180° -(60° +45° )

知一边可由正弦定理求其它两边.

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2? 3+1? 2 3 2 1 = × + × = . 2 2 2 2 4 csinA 2sin60° 根据正弦定理,得 a= = sinC sin75° 3 2× 2 = = 6( 3-1), 2? 3+1? 4 2 2× 2 csinB 2sin45° b= = = =2( 3-1). sinC sin75° 2? 3+1? 4

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[方法总结] (1)已知任意两角和一边,解三角形的步骤: ①由三角形内角和定理求出第三个角; ②由正弦定理公式的变形,求另外的两边. (2)注意事项:

已知内角不是特殊角时,往往先求出其正弦值,再根据以
上步骤求解.

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在△ABC 中, AB= 3, A=45° , C=75° , 则 BC 等于( A.3- 3 C.2 B. 2 D.3+ 3

)

[ 答案]

A

[ 解析]

AB BC 由 = 得,BC=3- 3. sinC sinA

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已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形

已知在△ABC 中,a=2 3,b=6,A=30° ,解 这个三角形.
[ 分析] 在△ABC 中,已知两边和其中一边的对角,可运 用正弦定理求解,但要注意解的个数的判定.
[ 解析] ∵A 为锐角,bsinA=6sin30° =3<a<b,

∴本题有两解, bsinA 3 ∵sinB= = , a 2

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∴B=60° 或 120° , asinC 2 3sin90° 当 B=60° 时,C=90° ,c= = =4 3; sinA sin30° asinC 2 3sin30° 当 B=120° 时,C=30° ,c= = =2 3; sinA sin30° 综上,B=60° ,C=90° ,c=4 3或 B=120° ,C=30° ,c =2 3.

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[ 方法总结]

已知三角形两边及一边对角解三角形时利用

正弦定理求解,但要注意判定解的情况.在利用定理过程中, bsinC 要注意灵活使用三角公式及正弦定理的变形,如:c= = sinB asinC 等. sinA

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(2013· 广东东莞市第五高级中学高二期中测试)已知△ABC 中,a=4,b=4 3,∠A=30° ,则∠B 等于( A.30° C.60° B.30° 或 150° D.60° 或 120° )

[ 答案]
[ 解析]

D
a b 由正弦定理,得 = , sinA sinB

bsinA 4 3×sin30° 3 ∴sinB= = = , a 4 2 又∵b>a,∴B>A,∴B=60° 或 120° .

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三角形形状的判断

a2sinB b2sinA 在△ABC 中, 已知 = , 试判断△ABC cosB cosA 的形状.
[ 分析] 由正弦定理,得 a=2RsinA,b=2RsinB,代入已

知等式,利用三角恒等变换,得出角之间的关系,进而判断△ ABC 的形状.

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[ 解析]

a2sinB b2sinA ∵ = ,a=2RsinA,b=2RsinB, cosB cosA

4R2sin2AsinB 4R2sin2BsinA ∴ = . cosB cosA 又∵sinAsinB≠0, ∴sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A=sin2B, ∴2A=2B,或 2A+2B=π, π 即 A=B,或 A+B= . 2 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

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[方法总结] 利用正弦定理判断三角形形状的方法: (1)化边为角.将题目中的所有条件,利用正弦定理化边为 角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确 定三角形的形状.

(2)化角为边.根据题目中的所有条件,利用正弦定理化角
为边,再利用代数恒等变换得到边的关系(如a=b,a2+b2= c2),进而确定三角形的形状.

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注意:(1)判断出一个三角形是等腰三角形后,还要进一步 讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形,不要匆忙下 结论; (2)在△ABC 中,若 sin2A=sin2B,不一定只有 A=B,因 π 为 sin2A=sin2B?2A=2B,或 2A=π-2B?A=B 或 A+B=2.

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π π 在△ABC 中, acos( -A)=bcos( -B), 判断△ABC 的形状. 2 2 π π [ 解析] 解法一:∵acos( -A)=bcos( -B), 2 2 a b ∴asinA=bsinB.由正弦定理,得 a× =b× , 2R 2R

∴a2=b2,∴a=b,故△ABC 是等腰三角形. π π 解法二:∵acos( -A)=bcos( -B), 2 2 ∴asinA=bsinB.由正弦定理,得 2Rsin2A=2Rsin2B, 即 sinA=sinB,∴A=B(A+B=π 不合题意,舍去), 故△ABC 是等腰三角形.

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运用正弦定理求有关三角形的面积问题

π 已知在△ABC 中, c=2 2, a>b, C= , tanA· tanB 4 =6,试求三角形的面积.

[ 分析]

本题可先求 tanA, tanB 的值, 由此求出 sinA 及 sinB,

再利用正弦定理求出 a,b 及三角形的面积.

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[ 解析]

π 3π 因为 tanA· tanB=6,又 C= ,所以 A+B= . 4 4

所以 tanA+tanB=tan(A+B)· (1-tanA· tanB) π =-tanC· (1-6)=-tan ×(-5)=5. 4 所以 tanA>0, tanB>0 ,即 A , B 皆为锐角,且 a>b ,则 tanA>tanB, 所以 tanA=3,tanB=2. 3 10 2 5 所以 sinA= ,sinB= . 10 5

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3 10 2 2× 10 csinA 6 10 由正弦定理,得 a= = = , sinC 5 2 2 2 5 2 2× 5 csinB 8 5 b= = = . sinC 5 2 2 1 1 6 10 8 5 2 24 所以 S△ABC= absinC= × × × = . 2 2 5 5 2 5

[ 方法总结]

三角形的面积公式在求解与三角形面积有关

的问题中的作用是非常突出的,要熟练掌握.

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在△ABC 中,B=30° ,AB=2 3,AC=2,求△ABC 的面 积. [ 解析]

ABsinB 3 由正弦定理,得 sinC= = . AC 2

又∵AB>AC,∴C=60° 或 120° . 当 C=60° 时,A=90° , 1 ∴S△ABC= AB· AC· sinA=2 3; 2 当 C=120° 时,A=30° , 1 ∴S△ABC= AB· AC· sinA= 3. 2 ∴△ABC 的面积为 2 3或 3.

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在△ABC 中,a=15,b=12,A=60° ,则 cosB =________.
[ 错解] 13 15 12 ± 由正弦定理,得 = , 5 sin60° sinB

12×sin60° 2 3 ∴sinB= = , 15 5 13 ∴cosB=± 1-sin B=± . 5
2

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[ 辨析]
[ 正解]

∵a>b,∴A>B,因此 cosB>0.
13 15 12 由正弦定理,得 = , 5 sin60° sinB

12×sin60° 2 3 ∴sinB= = , 15 5 ∵a>b,∴A>B,∴B 为锐角, 13 ∴cosB= 1-sin B= . 5
2

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? ?定理内容及推导 ? ? ? ?正弦定理? ?三个变式 ? ?变式? ? ?变式的作用 ? ? 正弦 ? ? ? ? 已知两角和其中一边 ?解三角形? 定理 ? ? ? ? ?已知两边及其中一边对角 ? ?定理的作用? ? 三角形解的 ?常见类型 ? ? ? ? ? 个数的判断? ?判断方法 ? ?


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