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www.1199tk.com:2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 5.4.2 数列求和课件 文

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第五章 数



第四节

数列的综合应用

第二课时

数列求和

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

R

热点命题

深度剖析

考点一 分组转化法求和
【例1】 在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满

足b1=a1,b4=a2,b13=a3。 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
【解】 设等比数列{an}的公比为 q,等差数列{bn}的公差为 d。 由已知,得 a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d。
?3q=3+3d, ?q=1+d, 故? 2 ?? 2 ?q=3 或 1(舍去)。 ?3q =3+12d ?q =1+4d

所以 d=2。 所以 an=3n,bn=2n+1。

(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn。
【解】 由题意,得 cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,

Sn=c1+c2+?+cn =(-3+5)+(-7+9)+?+(-1)n· (2n+1)+3+32+?+3n。 3n 1 3 3n 1 3 当 n 为偶数时,Sn=n+ - = + n- ; 2 2 2 2
+ +

3n 1 3 3n 1 7 当 n 为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+ - = -n- 。 2 2 2 2
+ +

?3 +n-3,n为偶数, ? 2 2 所以 Sn=? n+1 ?3 -n-7,n为奇数。 2 ? 2

n+1

【规律方法】

分组转化法求和的常见类型

(1)若 an = bn ± cn ,且{bn },{cn }为等差或等比数列,可采用分组求和法 n n n n n 求 {a n }的前 n 项和; n
? ,n为奇数, ?bn n (2)通项公式为 an =? 的数列,其中数列{bn }, {cn }是等 ? n n n ,n为偶数 ? ?cn n

比数列或等差数列,可采用分组求和法求和。

变式训练 1 (2015· 福建卷)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15。
(1)求数列{an}的通项公式;
解 设等差数列{an}的公差为 d。

?a1+d=4, 由已知得? ??a1+3d?+?a1+6d?=15, ?a1=3, 解得? ?d=1。

所以 an=a1+(n-1)d=n+2。

(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+?+b10的值。
解 由(1)可得 bn=2n+n。

所以 b1+b2+b3+?+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+?+(210+10) =(2+22+23+?+210)+(1+2+3+?+10) 2?1-210? ?1+10?×10 = + 2 1- 2 =(211-2)+55=211+53=2 101。

考点二

裂项相消法求和高频考点·发散思维

裂项相消法求和是每年高考的热点,题型多为解答题,难度适中,属 中档题。 角度一:直接考查裂项相消法求和 1.(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3 =8 。 (1)求数列{an}的通项公式;

解 由题设知 a1· a4=a2· a3=8,
?a1=1, ?a1=8, 又 a1+a4=9,解得? 或? (舍去 )。 ?a4=8 ?a4=1

由 a4=a1q3 得公比 q=2,故 an=a1qn-1=2n- 1。

an+1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, bn= , 求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 S S + n n 1 a1?1-qn? n 解 Sn= =2 -1, 1-q
an+ 1 Sn+ 1-Sn 1 1 又 bn= = = - , SnSn+ 1 SnSn+ 1 Sn Sn+ 1
?1 1 ? 1 ?1 1? ?1 1? ?= - 所以 Tn= b1+ b2+ ?+ bn=? - ? + ? - ? + ?+ ?S - S S S S S S1 ? 1 ? 2 2? 3? ? n n+ 1?

1 =1- n+ 1 。 Sn+ 1 2 -1

1

2.(2015· 课标全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和。已知 an>0,a2 n+2an =4Sn+3。 (1)求{an}的通项公式; 2 解 由 a2 n+2an=4Sn+3,可知 an + 1+2an+1=4Sn+1+3。
2 可得 a2 n + 1-an+2(an+1-an)=4an+ 1, 2 即 2(an+ 1+an)=a2 n+ 1-an= (an+ 1+an )(an +1-an )。

由于 an>0,可得 an+ 1-an=2。 又 a2 1 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去),a1=3。 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an= 2n+1。

1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和。 anan+1
解 由 an=2n+1 可知 1 1 bn= = anan+ 1 ?2n+1??2n+3? 1 ? 1? 1 ?。 - = ? 2?2n+1 2n+3? 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn= b1+b2+?+bn 1?1 1? ?1 1? 1 1 n = ? - ?+? - ?+ ?+ - = 。 2?3 5 ? ?5 7? 2n+1 2n+3 3?2n+3?

角度二:与不等式相结合考查裂项相消法求和 3 .设各项均为正数的数列 {an}的前n项和为Sn,且Sn满足S -(n2+n - 3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。 (1)求a1的值; 解 由题意知, S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。 令n=1,有S-(12+1-3)S1-3×(12+1)=0, 可得S+S1-6=0,解得S1=-3或2,

即a1=-3或2,
又an为正数,所以a1=2。

(2)求数列{an}的通项公式;

解 由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*可得,
(Sn+3)(Sn-n2-n)=0,则Sn=n2+n或Sn=-3, 又数列{an}的各项均为正数,

所以Sn=n2+n,Sn-1=(n-1)2+(n-1),
所以当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n。

又a1=2=2×1,所以an=2n。

1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < 。 a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 3
1 1 1 1 证明:当 n=1 时, = = < 成立; a1?a1+1? 2×3 6 3 1 ? 1 1 1 1? 1 - ? ?, 当 n≥2 时, = < = an?an+1? 2n?2n+1? ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? 1 1 1 所以 + +?+ a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 1 ?? ? 1 1 1??1 1? < + ??3-5?+?+?2n-1-2n+1?? 6 2?? ? ? ?? 1 ? 1 1 1 1 1 ?1 = + ?3-2n+1?< + = 。 6 2? ? 6 6 3 所以对一切正整数 n, 1 1 1 1 有 + +?+ < 。 a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1? 3

【规律方法】 裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查裂项相消法求和。解决此类问题应注意以下两点: ①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项, 后面也剩两项; ②将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系
1 ? 1 1? 1 1 ? ? - 数之积与原通项相等。 如: 若{an}是等差数列, 则 = , anan+ 1 d?an an+ 1? anan+ 2 1 ? 1 ?1 ?。 = ?a - 2d? n an+ 2?

(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和。解决此类问题应分两步:第 一步,求和;第二步,利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式。

考点三 错位相减法求和
【例2】 (2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等 比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100。

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
【解】
?10a1+45d=100, 由题意,有? ?a1d=2,

?2a1+9d=20, 即? ?a1d=2,

? ?a1=1, ? 1 解得? 或? 2 d = 。 ?d=2, ? ?
9

a =9,

?an=1?2n+79?, ? ?an=2n-1, 9 ? 故 或? n-1 ?2?n-1 ?bn=2 , ?bn=9· ? ? 。 ? ?9 ?

an (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn。 bn 2n-1 - 【解】 由 d>1,知 an=2n-1,bn=2n 1,故 cn= n-1 , 2

2n-1 3 5 7 9 于是 Tn=1+ + 2+ 3+ 4+?+ n-1 ,① 2 2 2 2 2 2n-1 1 1 3 5 7 9 T = + + + + +?+ n 。② 2 n 2 22 23 24 25 2 ①-②可得 2 n -1 2n+3 2 n +3 1 1 1 1 T =2+ + 2+?+ n-2- n =3- n ,故 Tn=6- n-1 。 2 n 2 2 2 2 2 2

【规律方法】 用错位相减法求和应注意的问题
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以

便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;
(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等 于1和不等于1两种情况求解。

变式训练2

已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,

且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10。

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
解 设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q。由 a1=b1 =2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d。
?2+3d+2q3=27, ?d=3, 由条件,得方程组? 解得? 3 ?8+6d-2q =10, ?q=2。

所以 an=3n-1,bn=2n,n∈N*。

(2) 记 Tn = a1b1 + a2b2 + ? + anbn , n∈N* , 证 明 Tn - 8 = an - 1bn +
1 ( n ∈N *,n≥2)。

证明:由(1),得 Tn=2×2+5×22+8×23+?+(3n-1)×2n,① 2Tn=2×22+5×23+?+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n 1。②


由①-②,得 -Tn=2×2+3×2 +3×2 +?+3×2 -(3n-1)×2 (3n-1)×2n 1-2=-(3n-4)×2n 1-8,
+ +

2

3

n

n+1

6×?1-2n? = - 1- 2

即 Tn-8=(3n-4)×2n 1。


而当 n≥2 时,an-1bn+1=(3n-4)×2n 1。


所以 Tn-8=an-1bn+1,n∈N*,n≥2。

S

思想方法

感悟提升

⊙2种思路——解决非等差、等比数列求和问题的两种思路 (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想

方法往往通过通项分解或错位相减来完成。
(2)不能转化为等差或等比数列的,往往通过裂项相消法,倒序相加法 等来求和。

⊙3个注意点——应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题
(1)裂项相消法,分裂通项是否恰好等于相应的两项之差。 (2)在正负项抵消后,是否只剩下第一项和最后一项,或有时前面剩下 两项,后面也剩下两项,未消去的项有前后对称的特点。 (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比含有参数,应分q=1 和q≠1两种情况求解。


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