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2019秋高中数学湘教版必修1练习:第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.4.2

2.4.2 计算函数零点的二分法
[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法, 体 会“逐步逼近”的思想.

[知识链接] 现有一款三星手机,目前知道它的价格在 500~1000 元之间,你能在最短的时间内猜出与它 最近的价格吗?(误差不超过 20 元),猜价格方案:(1)随机;(2)每次增加 20 元;(3)每次取价 格范围内的中间价,采取哪一种方案好呢? [预习导引] 用二分法求函数零点的一般步骤 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个零点 x0 的近似值 x,使它与零点的误差 不超过正数 ε,即使得|x-x0|≤ε.用二分法求函数零点的一般步骤如下: (1)在 D 内取一个闭区间[a0,b0]?D,使 f(a0)与 f(b0)异号,即 f(a0)· f(b0)<0,零点位于区间[a0, b0]中. (2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标为 x0= 计算 f(x0)和 f(a0).并判断: ①如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a0)· f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]中,令 a1=a0,b1=x0; ③如果 f(a0)· f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令 a1=x0,b1=b0. (3)对区间[a1,b1],按(2)中的方法,可以得到区间[a2,b2],且它的长度是区间[a1,b1]长度的 一半. 如此反复地二分下去,可以得到一系列有限区间[a0,b0],[a1,b1],[a2,b2],[a3,b3],…, 其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半. 继续实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an,bn]上,当|an-bn|<2ε 时,区间[an,bn]的中点 1 xn= (an+bn)就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点与真正零点 2 的误差不超过 ε. a0+b0 . 2

要点一 二分法概念的理解

例 1 下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )

答案 A 解析 按定义,f(x)在[a,b]上是连续的,且 f(a)· f(b)<0,才能不断地把函数零点所在的区间一 分为二,进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项 B、C、D 满足条件,而选 项 A 不满足,在 A 中,图象经过零点 x0 时,函数值不变号,因此不能用二分法求解.故选 A. 规律方法 1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地 将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精 确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在该零 点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 跟踪演练 1 (1)下列函数中,能用二分法求零点的为( )

(2)用二分法求函数 f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是( ) ①f(x)在区间[a,b]内连续不断;②f(a)· f(b)<0; ③f(a)· f(b)>0;④f(a)· f(b)≥0. A.①② C.①④ 答案 (1)B (2)A 解析 (1)函数图象连续不断,函数零点附近的函数值异号,这样的函数零点才能使用二分法求 解,观察四个函数图象,只有 B 选项符合. B.①③ D.①②③

(2)由二分法的意义,知选 A. 要点二 用二分法求方程的近似解 例 2 用二分法求方程 x2-10=0 在区间[3.1,3.2]上的近似解(误差不超过 0.001,即 ε=0.001). 解 设 f(x)=x2-10,则 f(3.1)=-0.39, f(3.2)=0.24. 取 a0=3.1,b0=3.2,有 f(a0)· f(b0)<0.列表计算: n 0 1 2 3 4 5 6 an 3.1000 3.1500 3.1500 3.1500 3.1563 3.1594 3.1610 bn 3.2000 3.2000 3.1750 3.1625 3.1625 3.1625 3.1625 bn-an 0.1000 0.0500 0.0250 0.0125 0.0062 0.0031 0.0015 f(an) -0.3900 -0.0775 -0.0775 -0.0775 -0.0378 -0.0182 -0.0081 f(bn) 0.2400 0.2400 0.0806 0.0014 0.0014 0.0014 0.0014 xn= an+bn 2

3.1500 3.1750 3.1625 3.1563 3.1594 3.1610 3.1618

由于 b6-a6=0.0015<0.002=2ε,计算停止,取 x =x6= 方程的近似解.

3.1610+3.1625 =3.16175≈3.162 为 2

规律方法 给定 ε,用二分法求 f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(a)· f(c)>0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)重复第(3)步,可得到一系列有限区间,其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半, 当所在区间值小于 2ε 时,区间中点就是函数 f(x)的近似零点. 跟踪演练 2 若函数 f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定 f(x)的零点所在的 区间为______.(只填序号) ①(-∞,1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6,+∞) x f(x) 答案 ③④⑤ 1 136.123 2 15.542 3 -3.930 4 10.678 5 -50.667 6 -305.678

1.用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零点可以取的初始区间是( ) A.[-2,1] C.[0,1] 答案 A 解析 ∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0, f(-2)· f(1)<0,故可取[-2,1]作为初始区间,用二分法逐次计算. 2.定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数 f(x)在区间(a,b)上有一个零点 x0,且 f(a)· f(b)<0,用二分法求 x0 时,当 f? A.(a,b)外的点 a+b B.x= 2 a+b? ?a+b ? C.区间?a, 或 ,b 内的任意一个实数 2 ? ? 2 ? ? D.x=a 或 x=b 答案 B 解析 由二分法的思想,采用二分法得到的零点可能是准确值,也可能是近似值.由 f? 0,知选 B. 3.函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程 f(x)=0 在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为( ) A.(1.25,1.5) C.(1.5,2) 答案 A 解析 由于 f(1.25)f(1.5)<0,则方程的解所在区间为(1.25,1.5). 4.函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间( ) 1 1? A.? ?8,4? 1 ? C.? ?2,1? 答案 C 1? 15 解析 f? ?8?=- 4 <0, 1 1? B.? ?4,2? D.(1,2) B.(1,1.25) D.不能确定 a+b? ? 2 ?= a+b? ? 2 ?=0 时,则函数 f(x)的零点是( ) B.[-1,0] D.[1,2]

1? 5 f? ?4?=-2<0, 1? f? ?2?=-1<0, f(1)=1>0,f(2)=4>0, 1 ? ∴函数零点落在区间? ?2,1?上. 5.用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间(2,3)内的实根,取区间中点为 x0=2.5,那么下一个有 根的区间是________. 答案 (2,2.5) 解析 f(2)=23-2×2-5=-1<0, f(2.5)=2.53-2×2.5-5=5.625>0, ∴下一个有根的区间是(2,2.5).

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零 点附近足够小的区间,根据所要求的误差,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足: (1)在区间[a,b]上连续不断; (2)f(a)· f(b)<0. 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.

一、基础达标 1.已知函数 f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )

A.4,4 答案 D

B.3,4

C.5,4

D.4,3

解析 由图象知函数 f(x)与 x 轴有 4 个交点,因此零点个数为 4,从左往右数第 4 个交点两侧不 满足 f(a)· f(b)<0,因此不能用二分法求零点,而其余 3 个均可使用二分法求零点. 2.为了求函数 f(x)=2x-x2 的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量 x 和函数值 f(x)的部 分对应值[f(x)的值精确到 0.01]如下表如示: x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0

f(x)

1.16

1.00

0.68

0.24

-0.25

-0.70

-1.00

则函数 f(x)的一个零点所在的区间是( ) A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2) 答案 C 解析 ∵f(1.8)· f(2.2)=0.24×(-0.25)<0, ∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选 C. 3.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中 一个零点 x0∈________,第二次应计算________,以上横线上应填的内容为( ) A.(0,0.5),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) 答案 A 解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由 f(0)<0,f(0.5)>0 知 x0∈(0,0.5).再计算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值,以判断 x0 的更准确位置. 4.设方程 2x+2x=10 的根为 β,则 β∈( ) A.(0,1) C.(2,3) 答案 C 解析 设 f(x)=2x+2x-10,则 f(x)在 R 上为单调增函数,故只有一个零点.f(0)=-9,f(1)= -6, f(2)=-2,f(3)=4,∴f(2)· f(3)<0.∴β∈(2,3). 1?x 5.函数 y=? ?2? 与函数 y=lgx 的图象的交点的横坐标约是( ) A.1.5 C.1.7 答案 D 1?x 解析 设 f(x)=lgx-? ?2? , 1 1 经计算 f(1)=- <0,f(2)=lg2- >0, 2 4 1?x 所以方程 lgx-? ?2? =0 在(1,2)内有解. 应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间,可知选项 D 符合要求. 3 6.用二分法求方程 lnx-2+x=0 在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点 c= ,则下一个 2 含根的区间是________. B.1.6 D.1.8 B.(1,2) D.(3,4) B.(0,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125) B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0)

3? 答案 ? ?1,2? 解析 令 f(x)=lnx-2+x, ∵f(1)=-1<0,f(2)=ln2>0, 3? 3 1 f? ?2?=ln2-2>0, 3? ∴下一个含根的区间是? ?1,2?. 7.用二分法求函数 f(x)=3x-x-4 的一个零点,其参考数据如下: f(1.6000)=0.200 f(1.5625)=0.003 f(1.5875)=0.133 f(1.5562)=-0.029 f(1.5750)=0.067 f(1.5500)=-0.060

据此数据,求 f(x)=3x-x-4 的一个零点的近似值(误差为 0.01). 解 由表中 f(1.5625)=0.003,f(1.5562)=-0.029. ∴f(1.5625)· f(1.5562)<0. 又|1.5625-1.5562|=0.0063<0.01, ∴一个零点近似值为 1.5625(不唯一). 二、能力提升 8.在用“二分法”求函数 f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的 区间可能是( ) A.[1,4] 5? C.? ?-2,2? 答案 D 解析 由于第一次所取的区间为[-2,4], ∴第二次所取区间为[-2,1]或[1,4], 第三次所取区间为 B.[-2,1] 1 ? D.? ?-2,1?

?-2,-1?,?-1,1?,?1,5?或?5,4?. 2? ? 2 ? ? 2? ?2 ? ?
9.下面关于二分法的叙述,正确的是( ) A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 C.二分法无规律可循 D.只有在求函数零点时才用二分法 答案 B 解析 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法求 函数的零点的近似值,故 A 错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故 C 错;求方

程的近似解也可以用二分法,故 D 错. 10. 已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点, 如果用二分法求这个零点(误 差为 0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________. 答案 4 0.1 解析 设等分的最少次数为 n,则由 n <0.01,得 2n>10,∴n 的最小值为 4. 2 11.画出函数 f(x)=x2-x-1 的图象,并利用二分法说明方程 x2-x-1=0 在[0,2]内的根的情 况. 解 图象如图所示,

因为 f(0)=-1<0,f(2)=1>0, 所以方程 x2-x-1=0 在(0,2)内有根 x0; 取(0,2)的中点 1, 因为 f(1)=-1<0, 所以 f(1)· f(2)<0,根 x0 在区间(1,2)内; 再取(1,2)的中点 1.5,f(1.5)=-0.25<0, 所以 f(1.5)· f(2)<0,根 x0 在区间(1.5,2)内; 取(1.5,2)的中点 1.75,f(1.75)=0.3125>0, 所以 f(1.5)· f(1.75)<0,根 x0 在区间(1.5,1.75)内.这样继续下去,可以得到满足一定精确度的 方程的近似根. 三、探究与创新 12.求方程 lnx+x-3=0 在(2,3)内的近似解.(误差为 0.1) 解 令 f(x)=lnx+x-3,求函数 f(x)=0 在(2,3)内的零点. ∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下: 区间 (2,3) (2,2.5) (2,2.25) (2.125,2.25) ∵2.25-2.1875=0.0625<0.1, ∴在区间(2.1875,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值,即方程的近似解可取为 2.25. 中点的值 2.5 2.25 2.125 2.1875 中点函数近似值 0.416 0.061 -0.121 -0.030

13.用二分法求 5的近似值(误差为 0.1). 解 设 x= 5,则 x2=5,即 x2-5=0, 令 f(x)=x2-5. 因为 f(2.2)=-0.16<0.f(2.4)=0.76>0, 所以 f(2.2)· f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0, 取区间(2.2,2.4)的中点 x1=2.3,则 f(2.3)=0.29. 因为 f(2.2)· f(2.3)<0,∴x0∈(2.2,2.3), 再取区间(2.2,2.3)的中点 x2=2.25, f(2.25)=0.0625. 因为 f(2,2)· f(2.25)<0, 所以 x0∈(2.2,2.25). 由于|2.25-2.2|=0.05<0.1, 所以 5的近似值可取为 2.25.


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