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有趣的悖论数学组孟方明


有趣的悖论
数学组 孟方明 一 罗素悖论 一天, 萨维尔村理发师挂出了一块招牌:村里所有不自己理发的男人都由我 给他们理发.于是有人问他:“您的头发谁给理呢?”理发师顿时哑口无言. 1874 年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支, 成为它们的基础.到十九世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基础上了.就 在这时,集合论接连出现了一系列自相矛盾的结果.特别是 1902 年罗素提出理 发师故事反映的悖论,它极为简单、明确、通俗.于是,数学的基础被动摇了, 这就是所谓的第三次“数学危机”.此后,为了克服这些悖论,数学家们做了大量 研究工作,由此产生了大批新成果,也带来了数学观念的革命. 二 说谎者悖论 “我正在说的这句话是慌话. ”公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这 个悖论,至今还在困扰着数学家和逻辑学家.这就是著名的说慌者悖论.类似的 悖论最早是在公元前六世纪出现的, 当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说过: “所 有的克里特岛人都说慌.”在中国古代《墨经》中,也有一句十分相似的话:“以 言为尽悖,悖,说在其言.”意思是:以为所有的话都是错的,这是错的,因为 这本身就是一句话. 说慌者悖论有多种变化形式,例如,在同一张纸上写出下列两句话: 下一句话是慌话. 上一句话是真话. 更有趣的是下面的对话. 甲对乙说: “你下面要讲的是?不?, 对不对?请用?是? 或?不?来回答!” 还有一个例子. 有个虔诚的教徒, 他在演说中口口声声说上帝是无所不能的, 什么事都做得到.一位过路人问了一句话:“上帝能创造一块他自己也举不起来 的石头吗?” 三 芝诺悖论 阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人.一天他正在散步,忽然发现在他前面 一百米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬.乌龟说:“阿基里斯,谁说你 跑得最快?你连我都追不上! ”阿基里斯说: “胡说! 我的速度比你快何止上百倍!

就算刚好是你的十倍,我也马上就可以超过你!”乌龟说:“就照你说的,咱们来 试一试吧!当你跑到我现在这个地方,我已经向前跑了十米.当你向前跑过十米 时,我又爬到前面去了.每次你追到我刚刚爬过的地方,我都又向前爬了一段距 离.你只能离我越来越近,却永远也追不上我!”阿基里斯说:“哎呀,我明明知 道能追上你,可是你说的好像也有道理.这到底是怎么回事呢?” 这个有趣的悖论, 是公元前五世纪古希腊哲学家芝诺提出来的.在两千多年 的时间里, 它使数学家和哲学家伤透了脑筋. 芝诺悖论关键是使用了两种不同的 时间测度.原来,我们用来测定时间的任何一种“钟”,都是依靠一种周期性的过 程作标准的.如太阳每天东升西落,月亮的圆缺变化,一年四季的推移,钟摆的 运动等等.人们正是利用循环或重复运动的次数作为时间的测量标准的. 芝诺悖论中除了普通的钟以外,还有另一种很特别的“钟”,这就是用阿基里 斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环. 用这种重复性过程测得的时间称 为芝诺时.例如,当阿基里斯第 N 次到达乌龟在第 N 次的起点时,芝诺时记为 N,这样,在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟的后面.但是在我们 的钟表上, 假如阿基里斯跑完一百米用了一分钟,那么他到达第二次乌龟的起点 要六秒钟,下一次要 0.6 秒,实际上,他只需要分钟就可以追上乌龟了.因此, 芝诺时的产生原因,是在于“芝诺时”不可能测量阿基里斯追上乌龟后的现象.在 芝诺时达到无限后,正常计时仍可以进行,只不过芝诺的“钟”已经无法测量它们 了. 这个悖论实际上是反映了时空并不是无限可分的,运动也不是连续的.即朴 素的量子论. 悖论反映了严密的数学并不是铁板一块,它的数学概念,原理之中也存在许多矛 盾.数学就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的.悖论的存在,还告诉我们,在 学习与研究数学时,必须牢记古希腊数学家的名言:要怀疑一切,只有这样才能 有所发现.


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