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2019届【课堂坐标】高中数学北师大版必修三学业分层测评:第1章 4.1 平均数、中位数、众数、极差

2019 届 北师大版数学精品资料 学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列说法正确的是( )

A.在两组数据中,平均值较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均值的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高 【解析】 平均值的大小与方差的大小无任何联系,故 A 错,由方差的公

1 式 s2=n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]知 C 错.对于 D,方差大的表示其 射击环数比较分散,而非射击水平高,故 D 错. 【答案】 B

2.一个样本数据按从小到大的顺序排列为 13,14,19,x,23,27,28,31,其中位 数为 22,则 x 为 ( A.21 C.20 【解析】 【答案】 ) B.22 D.23 x+23 由中位数的概念知 2 =22,所以 x=21. A

3.(2016· 长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况,对他的 6 次数学 测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图 143 所示,则下列关于该 同学数学成绩的说法正确的是( )

图 143 A.中位数为 83 C.平均数为 85 【解析】 均数为 85. 【答案】 C B.众数为 85 D.方差为 19

易知该同学的 6 次数学测试成绩的中位数为 84,众数为 83,平

4.为了了解我国 13 岁男孩的平均身高,从北方抽取了 300 个男孩,平均身 高为 1.60 m;从南方抽取了 200 个男孩,平均身高为 1.50 m.由此可推断我国 13 岁男孩的平均身高为( A.1.54 m C.1.56 m 【解析】 【答案】 x= C ) B.1.55 m D.1.57 m 300×1.60+200×1.50 300+200 =1.56(m).

5.为了普及环保知识,增强环境意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保 知识测试,得分(10 分制)如图 144 所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 m0,平均值为 x ,则( )

图 144 A.me=m0= x B.me=m0< x C.me<m0< x D.m0<me< x 【解析】 由图知 30 名学生的得分情况依次为 2 个人得 3 分,3 个人得 4

分、10 个人得 5 分、6 个人得 6 分、3 个人得 7 分,2 个人得 8 分、2 个人得 9 5+6 分、2 个人得 10 分,中位数为第 15、16 个数的平均数,即 me= 2 =5.5,5 出 1 现次数最多,故 m0=5. x =30(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9 +2×10)≈5.97. 于是 m0<me< x . 【答案】 二、填空题 6.某年级举行校园歌曲演唱比赛,七位评委为学生甲打出的演唱分数的茎 叶图如右图 145 所示,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和 方差分别为________. D

图 145 【解析】 由茎叶图可知,学生甲的演唱分数分别为 79,83,84,86,84,88,93,

去掉一个最高分和一个最低分后,得分如下:83,84,84,86,88,则平均数为 85, 1 方差为 s2=5×[(-2)2+(-1)2+(-1)2+12+32]=3.2. 【答案】 85,3.2

7.一组数据的方差为 s2,将这一组数据中的每个数都乘 2,所得到的一组 新数据的方差为________. 【解析】 每个数都乘以 2,则 x =2 x ,

1 S=n[(2x1-2 x )2+…+(2xn-2 x )2] 4 =n[(x1- x )2+…+(xn- x )2]=4s2. 【答案】 4s2

8.由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4 其平均数和中位数都是 2,且标

准差等于 1,则这组数据为________(从小到大排列). 【解析】 不妨设 x1≤x2≤x3≤x4 且 x1,x2,x3,x4 为正整数.
1 2 3 4

x +x ?x +x + =2, 4 由条件知? x +x ? 2 =2,
2 3

? ?x1+x2+x3+x4=8, 即? ? ?x2+x3=4, 又 x1、x2、x3、x4 为正整数, ∴x1=x2=x3=x4=2 或 x1=1,x2=x3=2,x4=3 或 x1=x2=1,x3=x4=3. ∵s= 1 ?x -2?2+?x2-2?2+?x3-2?2+?x4-2?2 =1, 4 1

[

]

∴x1=x2=1,x3=x4=3. 由此可得 4 个数分别为 1,1,3,3. 【答案】 三、解答题 9.为了了解市民的环保意识,某校高一(1)班 50 名学生在 6 月 5 日(世界环 境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况,有关数据如下表: 每户丢弃旧塑料袋个数 户数 2 6 3 16 4 15 5 13 1,1,3,3

(1)求这 50 户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数; (2)求这 50 户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差. 【解】 1 185 (1)平均数 x =50×(2×6+3×16+4×15+5×13)= 50 =3.7.

众数是 3,中位数是 4. (2)这 50 户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为

1 1 s2 = 50 ×[6× (2 - 3.7)2 + 16× (3 - 3.7)2 + 15× (4 - 3.7)2 + 13× (5 - 3.7)2] = 50 ×48.5=0.97. 所以标准差 s≈0.985. 10.(2014· 广东高考)某车间 20 名工人年龄数据如下表:

(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差. 【解】 40-19=21. (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图如下: (1)这 20 名工人年龄的众数为:30;这 20 名工人年龄的极差为:

(3) 这 20 名工人年龄的平均数为: (19 + 28×3 + 29×3 + 30×5 + 31×4 + 32×3+40)÷ 20=30;

所以这 20 名工人年龄的方差为: 1 3 3 5 4 3 2 2 2 2 2 (30 - 19) + (30 - 28) + (30 - 29) + (30 - 30) + (30 - 31) + 20 20 20 20 20 20(30 1 -32)2+20(30-40)2=12.6. [能力提升] 1.(2015· 山东高考)为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月 中的 5 天, 将这 5 天中 14 时的气温数据(单位: ℃)制成如图 145 所示的茎叶图. 考 虑以下结论:

图 145 ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为( A.①③ C.②③ 【解析】 B.①④ D.②④ 甲地该月 14 时的气温数据分布在 26 和 31 之间,且数据波动较 )

大,而乙地该月 14 时的气温数据分布在 28 和 32 之间,且数据波动较小,可以 判断结论①④正确,故选 B. 【答案】 B

2.对“小康县”的经济评价标准:①年人均收入不小于 7 000 元;②年人 均食品支出不大于收入的 35%.某县有 40 万人口,年人均收入如下表所示,年人 均食品支出如图 146 所示.则该县( 年人均 收入(元) 0 2 000 4 000 6 000 ) 8 000 10 000 12 000 16 000

人数 (万人)

6

3

5

5

6

7

5

3

图 146 A.是小康县 B.达到标准①,未达到标准②,不是小康县 C.达到标准②,未达到标准①,不是小康县 D.两个标准都未达到,不是小康县 【解析】 由图表可知年人均收入为 (2 000×3 + 4 000×5 + 6 000×5 +8

000×6+10 000×7+12 000×5+16 000×3)÷ 40=7 050(元)>7 000 元,达到了标 准①;年人均食品支出为 (1 400×3 + 2 000×5 + 2 400×13 + 3 000×10 + 3 600×9)÷ 40=2 695(元), 则年人均食品支出占收入的 未达到标准②.所以不是小康县. 【答案】 B 2 695 ×100%≈38.2%>35%, 7 050

3.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数为 10,方差为 4,则 xy=________. 【解析】 由题意得

9+10+11+x+y ? =10, 5 ? ?1 5[?9-10? +?10-10? +?11-10? +?x-10? ? ?+?y-10? ]=4.
2 2 2 2

2

化简得 x+y=20,



(x-10)2+(y-10)2=18, ② 由①得 x2+y2+2xy=400, ③

代入②化简得 xy=91. 【答案】 91

4.某校甲班、乙班各有 49 名学生,两班在一次数学测验中的成绩(满分 100 分)统计如下表: 班级 甲班 乙班 平均分 79 79 众数 70 70 中位数 87 79 标准差 19.8 5.2

(1)请你对下面的一段话给予简要分析: 甲班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均 79 分,得 70 分的 人最多,我得了 85 分,在班里算是上游了!” (2)请你根据表中数据,对这两个班的测验情况进行简要分析,并提出教学 建议. 【解】 (1)由中位数可知,85 分排在第 25 名之后,从名次上讲,85 分不

算是上游.但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏,小刚得了 85 分,说明他 对本阶段的学习内容掌握较好. (2)甲班学生成绩的中位数为 87 分,说明高于或等于 87 分的学生占一半以 上,而平均分为 79 分,标准差很大,说明低分也多,两极分化严重,建议对学 习有困难的同学多给一些帮助; 乙班学生成绩的中位数和平均分均为 79 分,标准差小,说明学生成绩之间 差别较小,成绩很差的学生少,但成绩优异的学生也很少,建议采取措施提高优 秀率.


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