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2018版高中数学第一章三角函数1.3.2第1课时正弦函数余弦函数的图象与性质学案苏教版

第 1 课时
学习目标

正弦函数、余弦函数的图象与性质

1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线

和余弦曲线的步骤和方法, 能用“五点法”作出简单的正弦、 余弦曲线.3.理解正弦曲线与余 弦曲线之间的联系.4.掌握正弦曲线、余弦曲线的性质.

知识点一 正弦函数图象 思考 1 结合课本内容,思考并体会利用正弦线作正弦函数图象的方法. 思考 2 如果有 y=sin x,x∈[0,2π ]图象上的五个点,进行描点、连线,作出图象,那么 哪五个点最关键?

梳理 正弦曲线及作法 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图:

(2)正弦曲线的作法 ①几何法——借助三角函数线. ②描点法——五点法. 用“五点法”画正弦曲线在[0,2π ]上的图象时所取的五个关键点为________,________, ________,________,________. 知识点二 余弦函数图象 思考 1 能否把正弦函数 y=sin x 的图象转化为 y=cos x 的图象?

思考 2 如果用“五点法”作出 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象,五个关键点应为什么?

梳理 余弦曲线及作法 (1)余弦函数的图象叫做余弦曲线.如图:

(2)余弦曲线的画法 π ①要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象向__________平移 个单位长度便可, 2 这是由于 cos x=____________. ②用“五点法”画出余弦曲线 y=cos x 在[0,2π ]上的图象时所取的五个关键点分别为: ________,________,________,________,________. 知识点三 正弦函数、余弦函数的性质 正、余弦函数的性质可从定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最值等方面进行比较. 正弦函数 解析式 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 R [-1,1] 2π 奇函数 在 _________(k∈Z) 上 是 单 调 增 函 单调性 数,在________(k∈Z)上是单调减函 数 最值 R [-1,1] 2π 偶函数 在 ____________(k∈Z) 上 是 单 调 增 函 数,在___________(k∈Z)上是单调减函 数 余弦函数

y=sin x

y=cos x

x=________(k∈Z)时,ymax=1;x= x = _________(k∈Z) 时 , ymax = 1 ; x =
________(k∈Z)时,ymin=-1 _________(k∈Z)时,ymin=-1

类型一 “五点法”作图的应用 例 1 利用“五点法”作出函数 y=1-sin x(0≤x≤2π )的简图.

反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作图.“五点”即 y=sin x 或 y= cos x 的图象在[0,2π ]内的最高点、最低点和与 x 轴的交点.“五点法”是作简图的常用方

法. 跟踪训练 1 用“五点法”作出函数 y=1-cos x(0≤x≤2π )的简图.

类型二 求正弦、余弦函数的单调区间 例 2 求下列函数的单调区间.

? π? (1)y=2sin?x- ?; 3? ?
(2)y=cos 2x.

反思与感悟 用整体替换法求函数 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的单调区间时, 如 果式子中 x 的系数为负数,先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区 间时,需将最终结果写成区间形式.

?π ? 跟踪训练 2 求函数 y=2sin? -x?的单调增区间. ?4 ?

类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题

? π 2π ? 例 3 (1)已知函数 f(x)=2asin x+b 的定义域为?- , ?,函数的最大值为 1,最小值 3 ? ? 3
为-5,求 a 和 b 的值; (2)求函数 y=sin x-cos x 的值域.
2

反思与感悟 (1)求形如 y=asin x(或 y=acos x)的函数的最值要注意对 a 的讨论. (2)将函数式转化为 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的形式. (3)换元后配方,利用二次函数求最值. 跟踪训练 3 (1)若 y=asin x+b 的最大值为 3,最小值为 1,则 ab=________. π? ? ? π π? (2)求函数 y=3-4cos?2x+ ?,x∈?- , ?的最大、最小值及相应的 x 值. 3 ? ? ? 3 6?

(3)求函数 y=3-4sin x-4cos x 的值域.

2

1.用“五点法”作 y=2sin 2x 的图象时,首先描出的五个点的横坐标是________.

? π ? 2.函数 f(x)=-2sin x+1,x∈?- ,π ?的值域是________. ? 2 ?
1 3.函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=- 的交点有________个. 2 4.函数 y= 2sin x-1的定义域为________. π? 1 ? 5.请用“五点法”画出函数 y= sin?2x- ?的图象. 6? 2 ?

1.对“五点法”画正弦函数图象的理解 (1)与前面学习函数图象的画法类似, 在用描点法探究函数图象特征的前提下, 若要求精度不 高, 只要描出函数图象的“关键点”, 就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图. (2)图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与 x 轴的交点. 2.作函数 y=asin x+b 的图象的步骤:

3.用“五点法”画函数 y=asin x+b 在一个周期[0,2π ]内的图象,如果要画出在其他区间 上的图象,可依据图象的变化趋势和周期性画出.

答案精析 问题导学 知识点一 π 3π 思考 2 (0,0),( ,1),(π ,0),( ,-1),(2π ,0). 2 2 π 3π 梳理 (2)②(0,0) ( ,1) (π ,0) ( ,-1) (2π ,0) 2 2 知识点二 π 思考 1 能.把 y=sin x 的图象向左平移 个单位即可. 2 π 3π 思考 2 (0,1),( ,0),(π ,-1),( ,0),(2π ,1). 2 2 π π 3π 梳理 (2)①左 sin(x+ ) ②(0,1) ( ,0) (π ,-1) ( ,0) 2 2 2 知识点三 π π [- +2kπ , +2kπ ] 2 2 π 3π [ +2kπ , +2kπ ] 2 2 [-π +2kπ ,2kπ ] [2kπ ,π +2kπ ] π +2kπ 2 题型探究 例 1 解 取值列表: π - +2kπ 2 2kπ π +2kπ (2π ,1)

x
sin x 1-sin x

0 0 1

π 2 1 0

π 0 1

3π 2 -1 2

2π 0 1

描点连线,如图所示.

跟踪训练 1 解 列表如下:

x
cos x 1-cos x

0 1 0

π 2 0 1

π -1 2

3π 2 0 1

2π 1 0

描点并用光滑的曲线连结起来,如图.

π 例 2 解 (1)令 z=x- ,则 y=2sin z. 3 π ∵z=x- 是单调增函数,∴y=2sin z 的单调增(减)区间即为原函数的单调增(减)区间, 3 π π? ? y=2sin z 在?2kπ - ,2kπ + ?上是单调增函数,∴原函数的单调增区间应满足

?

2

2?

π π? π ? x- ∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z), 3

?

2

2?

π 5π ? ? 即 x∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 6 6 ? ? π 5π ? ? π? ? 故函数 y=2sin?x- ?的单调增区间为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z), 3? 6 6 ? ? ? 5π 11π ? ? π? ? 同理可求函数 y=2sin?x- ?的单调减区间为?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 3? 6 6 ? ? ? (2)由题意,令 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z, π 得 kπ - ≤x≤kπ ,k∈Z, 2 π ? ? 故 y=cos 2x 的单调增区间为?kπ - ,kπ ?(k∈Z). 2 ? ? 令 2kπ ≤2x≤π +2kπ ,k∈Z, π 得 kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 2 π ? ? 故 y=cos 2x 的单调减区间为?kπ , +kπ ?(k∈Z). 2 ? ? 3π 7π ? ? 跟踪训练 2 ?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 4 4 ? ? π 2π 例 3 解 (1)∵- ≤x≤ , 3 3

∴-

3 ≤sin x≤1. 2

?2a+b=1, 若 a>0,则? ?- 3a+b=-5.
解得?

?a=12-6 3, ?b=-23+12 3.

?2a+b=-5, 若 a<0,则? ?- 3a+b=1.
解得?

?a=-12+6 3, ?b=19-12 3.

1 2 5 2 2 (2)y=sin x-cos x=-cos x-cos x+1=-(cos x+ ) + . 2 4 ∵cos x∈[-1,1], 1 5 ∴当 cos x=- 时,ymax= ; 2 4 当 cos x=1 时,ymin=-1. 5? ? 2 ∴函数 y=sin x-cos x 的值域为?-1, ?. 4 ? ? 跟踪训练 3 (1)±2 π (2)当 x=- 时,ymin=-1 6 π 当 x= 时,ymax=5 6 (3)[-2,7] 当堂训练 π π 3π 1.0, , , ,π 4 2 4 2.[-1,3] 3.2 π 5π 4.[ +2kπ , +2kπ ],k∈Z 6 6 π 5.解 令 X=2x- ,则 x 变化时,y 的值如下表: 6

X x

0 π 12

π 2 π 3

π 7π 12

3π 2 5π 6

2π 13π 12

y

0

1 2

0



1 2

0

描点画图:

?π 13π ?上的图象向左、向右平移即得 y=1sin?2x-π ?的图象. 将函数在? , ? ? ? 6? 2 ? ?12 12 ?


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