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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第七章 7.1


数学

北(理)

§7.1 不等关系与一元 二次不等式
第七章 不等式、推理与证明

基础知识·自主学习
要点梳理
1.两个实数比较大小的方法 ?a-b>0?a > b ? 作差法?a-b=0?a = b ?a-b<0?a ? < b (1)若 a>b,b>c,则 a>c; (2)若 a>b,则 a+c>b+c; (3)若 a>b,c>0,则 ac>bc;若 a>b,c<0,则 ac<bc. (a,b∈R).
知识回顾 理清教材

2.初中学习的不等式的重要性质

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.不等式的主要性质总结 (1)若 a>b,c>d,则 a+c>b+d; (2)若 a>b>0,c>d>0,则 ac>bd; (3)若 a>b>0,则 an>bn(n∈N+); n n (4)若 a>b>0,则 a> a(n∈N+).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
4.“三个二次”的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx 有两相异实根 +c=0(a>0)的根 x1,x2(x1<x2) ax2+bx+c>0 (a>0)的 解集 ax2+bx+c<0(a>0)的 解集
基础知识

知识回顾 理清教材

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相等实根 b x1=x2=- 2a

没有实数 根

{x|x<x1或 x>x2}
{x|x1< x<x2}

{x|x≠x1}
?

{x|x∈R}

?

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) √ (4) √(5) × (6) ×

解析

B A
[1,4]

(-5,0)∪(5,+∞)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用

【例 1】 (1)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有正确结论的序号是 A.① B.①② C.②③ (2)(2012· 四川)设 a,b 为正实数.现有下列命题: ①若 a2-b2=1,则 a-b<1; 1 1 ②若b-a=1,则 a-b<1; ③若| a- b|=1,则|a-b|<1; ④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

(

)

D.①②③

题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用

【例 1】 (1)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有正确结论的序号是 A.① B.①② C.②③ (2)(2012· 四川)设 a,b 为正实数.现有下列命题: ①若 a2-b2=1,则 a-b<1; 1 1 ②若b-a=1,则 a-b<1; ( ) D.①②③

思维启迪 ③若 | a- b|=利用不等式的性质进行变形,比较大小时要 1,则|a-b|<1;
3 3 ④若 | a - b |=1,则|a-b|<1. 注意题设条件.

其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用

【例 1】 (1)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 1 1

(1)∵a>b>1,∴a<b. 其中所有正确结论的序号是 c c 又 c<0,∴a>bB ,故结论 A .① .①② ①正确; C.②③

解析

(

)

D.①②③

(2)(2012· 四川 c )设 a,b 为正实数.现有下列命题: 函数 y=x (c<0)为减函数, ①若 a2-b2=1 ,则 a-b<1; c c 又a 1>b, 1 ∴a <b ,故结论②正确; ②若b-a=1,则 a-b<1; 根据对数函数的单调性, logb(a-c)>logb(b-c)>loga(b-c), ③若 | 正确. a- b|=1,则|a-b|<1; 故③ ④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. ∴正确结论的序号是①②③. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用

【例 1】 (1)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 2 2

其中所有正确结论的序号是 ( ) 若 a-b≥1,则必有 a+b>1,不合题意,故①正确. A.① B.①② C.②③ D.①②③ 1 1 a-b (2)(2012· 四川 )设 a,b 为正实数.现有下列命题: ②中,b -a= = ab 1,只需 a-b=ab 即可. ①若 a2-b2=1,则 a-b<1; 2 4 1 1 如取 a=2,b= 满足上式,但 a-b=3>1,故②错. ②若b-a=1,则 3 a-b<1;

(2)①中,a -b =(a+b)(a-b)=1,a,b 为正实数,

③中, a, b 为正实数,所以 ③若 | a- b |= 1,则|a-b|<1; a+ b>| a- b|=1,
④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 且|a-b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b|>1,故③错. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用

【例 1】 (1)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 3 3 2 2 其中所有正确结论的序号是

④中,|a -b |=|(a-b)(a +ab+b )|

(

)

A .① B .①② C.②③ = |a-b|(a2+ab + b2)=1. (2)(2012· 四川)设 a,b 为正实数.现有下列命题:

D.①②③

2 2 ①若 a - b = 1,则 a-b ; 若|a-b|≥ 1,不妨取 a<1 >b >1,则必有 a2+ab+b2>1,不合题 1 1 ②若 = 1,则 a-b<1; 意,故 ④ 正确. b-a

③若| a- b|=1,则|a-b|<1; 答案 (1)D ①④ ④若 |a3- b3|=1,则|a(2) -b |<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用

【例 1】 (1)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有正确结论的序号是 A.①

思维升华

判断多个不等式是否成立, 需要逐一给出推理判断
B.①② C.②③ D.①②③

(

)

或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的 (2)(2012· 四川)设 a,b 为正实数.现有下列命题: 反例构成方式可从以下几个方面思考: ①不等式两边都乘以一 ①若 a2-b2=1,则 a-b<1; 1 1 个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或 0;②不等式 ②若b-a=1,则 a-b<1;
③若| a- b|=1,则|a-b|<1; ④若|a -b |=1,则|a-b|<1.
基础知识

左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一 取倒数后不等号方向不变等.
题型分类

定保持不变; ③不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时 3 3

其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 ln 2 ln 3 ln 5 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( C )

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若a<b<0,则下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a-a>b a+b ab 1 -b;④ln a2>ln b2 中,正确的不等式是 ( ) A.①④ C.①③ D.②④ b 2ln 3 解析 (1)易知 a,b,c 都是正数, = =log89>1, a 3ln 2 a 5ln 2 所以 b>a;c =2ln 5=log2532>1,所以 a>c. 即 c<a<b.故选 C. 1 1 (2)由a<b<0,可知 b<a<0. 1 1 ①中,因为 a+b<0,ab>0,所以 <0, >0. ab a+b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

B.②③

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 ln 2 ln 3 ln 5 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( C )

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若a<b<0,则下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a-a>b a+b ab 1 -b;④ln a2>ln b2 中,正确的不等式是 ( ) A.①④ B.②③ C.①③ 1 1 故有 < ,即①正确; a+b ab ②中,因为 b<a<0,所以-b>-a>0.
故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误; 1 1 ③中,因为 b<a<0,又a<b<0, 1 1 所以 a-a>b-b,故③正确;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

D.②④

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 ln 2 ln 3 ln 5 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( C )

A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若a<b<0,则下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a-a>b a+b ab 1 -b;④ln a2>ln b2 中,正确的不等式是 ( C ) A.①④
可得 b2>a2>0,

B.②③

C.①③

D.②④

④中,因为 b<a<0,根据 y=x2 在(-∞,0)上为减函数,

而 y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数,
所以 ln b2>ln a2,故④错误. 由以上分析,知①③正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】 集:

求下列不等式的解

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】 集:

求下列不等式的解

(1) 可利用求根公式得到方程 -x2+8x-3=0 的解,再求不 等式的解集;
(2) 含参数 a ,要进行分类讨 论.

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华



(1)因为 Δ=82-4×(-1)×

【 例 2】 集:

求下列不等式的解

(-3)=52>0, 所以方程-x2+8x-3=0 有两个不

(1)-x +8x-3>0; (2)ax -(a+1)x+1<0.
2

2

相等的实根 x1 =4 - 13 , x2 =4 + 13.
又二次函数 y=-x2+8x-3 的图像 开口向下,

所以原不等式的解集为 {x|4 - 13 <x<4+ 13}.
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题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

(2)若 a=0,原不等式等价于-x+

【 例 2】 集:

求下列不等式的解

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

1 若 a<0,原不等式等价于(x-a)(x- 1 1)>0,解得 x<a或 x>1. 1 若 a>0,原不等式等价于(x-a)(x-

1<0,解得 x>1.

1)<0.
1 1 ①当 a=1 时,a=1,(x-a)(x-1)<0 无解;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】 集:

求下列不等式的解

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

1 1 ②当 a>1 时, 解(x-a)(x-1)<0 a<1, 1 得a<x<1; 1 1 ③当 0<a<1 时,a>1,解(x-a)(x- 1 1)<0 得 1<x<a. 1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x<a

或 x>1};
当 a=0 时,解集为{x|x>1};
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】 集:

求下列不等式的解

1 当 0<a<1 时,解集为{x|1<x<a}; 当 a=1 时,解集为?;

(1)-x +8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

2

1 当 a>1 时,解集为{x| <x<1}. a

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】 集:

求下列不等式的解

含有参数的不等式的求解, 往往 需要对参数进行分类讨论.

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

(1)若二次项系数为常数, 首先确 定二次项系数是否为正数, 再考 虑分解因式, 对参数进行分类讨 论,若不易分解因式,则可依据 判别式符号进行分类讨论;

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】 集:

求下列不等式的解

(2)若二次项系数为参数, 则应先 考虑二次项系数是否为零, 确定

(1)-x +8x-3>0; (2)ax -(a+1)x+1<0.
2

2

不等式是否是二次不等式, 然后 再讨论二次项系数不为零的情 形,以便确定解集的形式;

(3)对方程的根进行讨论, 比较大 小,以便写出解集.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 1 1 (1)若不等式 ax2+bx+2>0 的解为- <x< ,则不等式 2 3

(-2,3) . 2x2+bx+a<0 的解集是________ 1 x-1 (-2,1]. (2)不等式 ≤0 的解集为________ 2x+1 1 1 解析 (1)由题意,知-2和3是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的两根
且 a<0, b ? 1 1 ? ?-2+3=-a ?a=-12 所以? ,解得? . ? 1 1 2 b =- 2 ? ?- × = ? 2 3 a 则不等式 2x2+bx+a<0 即 2x2-2x-12<0,其解集为{x|-2<x<3}.
? ??x-1??2x+1?≤0 (2)原不等式等价于? ? ?2x+1≠0

(*)

1 由(*)解得-2<x≤1.
练出高分

基础知识

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思想方法

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
2

【 例 3】 mx-1.

设函数 f(x)=mx -

思维启迪

解析

思维升华

(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3], f(x)<-m +5 恒成立,求 m 的取值范 围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
2

【 例 3】 mx-1.

设函数 f(x)=mx -

思维启迪

解析

思维升华

(1)分 m=0 和 m≠0 讨论,m≠0 可结合图像看 Δ 的条件;

(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3], f(x)<-m +5 恒成立,求 m 的取值范 围.

(2)可分离参数 m,利用函数最值 求 m 的范围.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
2

【 例 3】 mx-1.

设函数 f(x)=mx -

思维启迪

解析

思维升华



(1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立,

(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3], f(x)<-m +5 恒成立,求 m 的取值范 围.

若 m=0,显然-1<0; ? ?m<0, 若 m≠0,则? ? 2 ? Δ = m + 4 m <0 ?
-4<m<0.

所以-4<m≤0.

(2)要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3] 上恒 成立,即
? 1?2 3 m?x-2? +4m-6<0 ? ?

在 x∈[1,3] 上恒

成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
2

【 例 3】 mx-1.

设函数 f(x)=mx -

思维启迪

解析

思维升华

有以下两种方法:

方法一



(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3], f(x)<-m +5 恒成立,求 m 的取值范 围.

? 1? 2 3 g(x) = m ?x-2? + 4 m - ? ?

6,x∈[1,3] .

当 m>0 时,g(x)在[1,3] 上是增函数,
所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3] 上是减函数,

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
2

【 例 3】 mx-1.

设函数 f(x)=mx -

思维启迪

解析

思维升华

所以 g(x)max=g(1)?m-6<0, 所以 m<6,所以 m<0.

(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3], f(x)<-m +5 恒成立,求 m 的取值范 围.

6 综上所述: m 的取值范围是{m|m< }. 7
方法二 因为 x2-x+1 ? 1?2 3 =?x-2? +4>0, ? ?

又因为 m(x2-x+1)-6<0, 6 所以 m< 2 . x -x+1
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题
2

【 例 3】 mx-1.

设函数 f(x)=mx -

思维启迪

解析

思维升华

因 为 函 数

y =

6 = 2 x -x+1

(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3], f(x)<-m +5 恒成立,求 m 的取值范 围.

6 在 [1,3] 上 的 最 小 值 为 ? 1 ?2 3 ?x- ? + 2? 4 ? 6 6 ,所以只需 m< 即可. 7 7

所以,m

? 6? ? ? ? 的取值范围是 m|m<7?. ? ? ? ?

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 不等式恒成立问题

【 例 3】 mx-1.

设函数 f(x)=mx2-

思维启迪

解析

思维升华

(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3], f(x)<-m +5 恒成立,求 m 的取值范 围.

(1) 对于一元二次不等式恒成立问 题,恒大于 0 就是相应的二次函数 的图像在给定的区间上全部在 x 轴 上方,恒小于 0 就是相应的二次函 数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方.另外常转化为求二次函数 的最值或用分离参数法求最值. (2) 解决恒成立问题一定要搞清谁
是主元,谁是参数,一般地,知道 谁的范围,谁就是主元,求谁的范 围,谁就是参数.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
x2+2x+a 跟踪训练 3 已知函数 f(x)= , 若对任意 x∈[1, +∞), x f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.
x2+2x+a 解 因为 x∈[1,+∞)时,f(x)= >0 恒成立, x 即 x2+2x+a>0 恒成立.
即当 x≥1 时,a>-(x2+2x)=g(x)恒成立. 而 g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上单调递减, 所以 g(x)max=g(1)=-3,故 a>-3. 所以,实数 a 的取值范围是{a|a>-3}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分)(1)(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)的值域为[0, +∞), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为_________. (2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为 ______________.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分)(1)(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)的值域为[0, +∞), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为_________. (2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为 ______________.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)考虑函数 f(x)、方程 f(x)=0 和不等式的关系;

(2)可把不等式看作关于 a 的一次不等式.

基础知识

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题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分)(1)(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)的值域为[0, +∞), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为_________. (2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为 ______________.

思 维 启 迪
(1)由题意知

规 范 解 答

温 馨 提 醒

2 ? ? a a f(x)=x2+ax+b=?x+2?2+b- . 4 ? ?

a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即 b= . 4 4 ? a?2 ? a?2 ? ∴f(x)= x+2? . 又∵f(x)<c.∴?x+2? <c, ? ? ? ? a a 即-2- c<x<-2+ c.

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题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分)(1)(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)的值域为[0, +∞),

9 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为_________ .
(2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为 {x|x<1 或 x>3} . ______________

思 维 启 迪 ? a ?-2- c=m, ∴? ?-a+ c=m+6. ? 2
②-①,得 2 c=6,∴c=9.

规 范 解 答
① ②

温 馨 提 醒

(2)把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),
则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[ -1,1] 恒成立, 易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0, 且 f(1)=x2-3x+2>0 即可,联立方程解得 x<1 或 x>3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列10 转化与化归思想在不等式中的应用
典例: (10 分)(1)(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)的值域为[0, +∞),

9 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为_________ .
(2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为 {x|x<1 或 x>3} . ______________

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

本题解法中利用了转化与化归思想.
(1)中利用“三个二次”之间的联系,将不等式、函数、方程之间相互 转化; (2)中将已知不等式看作关于 a 的一次不等式,体现了主元与次元的转 化.利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化 原则、正难则反原则.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质 和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件

方 法 与 技 巧

限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.

2.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等 式证明的主要方法之一,比较法的主要步骤为 作差——变形——判断正负.
3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论 基础; 一般可把 a<0 的情况转化为 a>0 时的情形.
4.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二 次不等式的解法进行求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.不等式的性质应用要准确,尤其在不等式两边同乘 以或同除以一个数时,一定要搞清符号.

失 误 与 防 范

2.对于不等式 ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论 a =0 时的情形.

3.当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集是 R 还是?, 要注意区别.

基础知识

题型分类

思想方法

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

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思想方法

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 ( A ) A.a>b+1 C.a2>b2 B.a>b-1 D.a3>b3

解析 由 a>b+1,得 a>b+1>b,即 a>b, 而由 a>b 不能得出 a>b+1, 因此,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 a>b+1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.(2013· 陕西)设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x, y有 A.[-x]=-[x] C.[x+y]≤[x]+[y]
解析

( D ) B.[2x]=2[x] D.[x-y]≤[x]-[y]

特殊值法.令 x=1.5,∵[ -1.5] =-2,-[1.5] =-1,

故 A 错;

[ 2× 1.5] =3,2[ 1.5] =2,故 B 错; 令 x=1.5,y=0.5,[ x+y] =2,[ x] +[ y] =1+0=1,故 C 错.
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
x2 ?2

6

7

8

9

10

1 ?1? 3.已知 p=a+ ,q= ? ? a-2 ?2? 大小关系是 A.p≥q B.p>q

,其中 a>2,x∈R,则 p,q 的 ( A ) C.p<q D.p≤q

1 1 解析 p=a+ =a-2+ +2≥2+2=4,当且仅当 a-2 a-2 a=3 时取等号.
?1? 因为 x -2≥-2,所以 q= ? ? ?2?
2
x2 ?2

?1?- ≤?2? 2=4, ? ?

当且仅当 x=0 时取等号.所以 p≥q.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4 . (2013· 安 徽 ) 已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x)<0 的 解 集 为 ? 1? ? ? ?x|x<-1或x> ?,则 f(10x)>0 的解集为 ( D ) 2? ? ? ? A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2}
1 解析 由已知条件 0<10 < , 2 1 解得 x<lg =-lg 2. 2
x

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5. 若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?, 则实数 a 的取值范围是( D ) A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

解析 由题意知 a=0 时,满足条件.
a≠0
? ?a>0 时,由? 2 ? Δ = a -4a≤0 ?

得 0<a≤4,所以 0≤a≤4.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6 .已知 a<0 ,- 1<b<0 ,那么 a , ab , ab2 的大小关系是
2 ab > ab >a .(用“>”连接) __________

解析 由-1<b<0,可得 b<b2<1. 又 a<0,∴ab>ab2>a.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

-∞,-4]∪[3,+∞) 7.函数 y= x2+x-12的定义域是( ____________________ .

解析 由 x2+x-12≥0 得(x-3)(x+4)≥0,
∴x≤-4 或 x≥3.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.已知不等式 x2-2x+k2-1>0 对一切实数 x 恒成立,则

(-∞,- 2)∪( 2,+∞) . 实数 k 的取值范围为__________________________

解析 由题意,知 Δ=4-4×1×(k2-1)<0, 即 k2>2,∴k> 2或 k<- 2.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2
2

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 9.若不等式 ax +5x-2>0 的解集是{x| <x<2}. 2 (1)求实数 a 的值; (2)求不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集.

1 解 (1)由题意知 a<0,且方程 ax +5x-2=0 的两个根为 , 2
2

2,代入解得 a=-2.
(2)由(1)知不等式为-2x2-5x+3>0, 1 2 即 2x +5x-3<0,解得-3<x<2,
2 2

1 即不等式 ax -5x+a -1>0 的解集为(-3, ). 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a, b, x, y∈(0, +∞)且a>b, x>y, 求证: > . x+a y+b

(1)解 方法一 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[ x2+y2-(x+y)2] =-2xy(x-y), ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 方法二 ∵x<y<0,∴x-y<0,x2>y2,x+y<0.

∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a, b, x, y∈(0, +∞)且a>b, x>y, 求证: > . x+a y+b ?x2+y2??x-y? x2+y2 ∴0< 2 2 = <1, ?x -y ??x+y? x2+y2+2xy ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). bx-ay x y (2)证明 - = . x+a y+b ?x+a??y+b? 1 1 ∵a>b且 a,b∈(0,+∞),∴b>a>0, 又∵x>y>0,∴bx>ay>0, bx-ay x y ∴ >0,∴ > . ?x+a??y+b? x+a y+b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4

5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4

5

1.若 a<0,则关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0 的解集是( B ) A.(-∞,-a)∪(5a,+∞) B.(-∞,5a)∪(-a,+∞) C.(5a,-a) D.(a,-5a)

解析 由 x2-4ax-5a2>0 得(x-5a)(x+a)>0, ∵a<0,∴x<5a 或 x>-a.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组
2

专项能力提升
3 4

5

3 x 2.设函数 f(x)=x -1,对任意 x∈[ ,+∞),f(m)-4m2· f(x)≤f(x 2 -1)+4f(m)恒成立,则实数 m 的取值范围是 _____________________.

x2 解析 依据题意得 2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1). m 3 在 x∈[2,+∞)上恒成立, 1 3 2 3 2 即m2-4m ≤-x2-x+1 在 x∈[2,+∞)上恒成立. 3 3 2 5 当 x=2时函数 y=-x2-x +1 取得最小值-3,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
2

专项能力提升
3 4

5

3 x 2.设函数 f(x)=x -1,对任意 x∈[ ,+∞),f(m)-4m2· f(x)≤f(x 2 -1)+4f(m)恒成立,则实数 m 的取值范围是 3 3 {m|m≤- 2 或 m≥ 2 } _____________________ .

1 5 2 所以 2-4m ≤- ,即(3m2+1)(4m2-3)≥0, m 3
3 3 解得 m≤- 2 或 m≥ 2 .

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4

5

3. 设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, 若 f(1)>1, f(2)C 2 2a-3 (-1,3) . = ,则实数 a 的取值范围是________ a+1

解析 ∵f(x+3)=f(x),
∴f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1. 2a-3 3a-2 ∴ <-1? <0?(3a-2)(a+1)<0, a+1 a+1 2 ∴-1<a<3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4

5

4.求使不等式 x2+(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1 恒成立的 x 的取值 范围.
解 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x-3)a+x2 -6x+9>0. 令 f(a)=(x-3)a+x2-6x+9. 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立,所以 (1)若 x=3,则 f(a)=0,不符合题意,应舍去. ? ?f?-1?>0 (2)若 x≠3,则由一次函数的单调性,可得? , ? ?f?1?>0
2 ? ?x -7x+12>0 即? 2 ? ?x -5x+6>0

,解得 x<2 或 x>4.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4

5

5.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售 的统计规律:每生产产品 x(百台),其总成本为 G(x)万元,其 中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万 元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入 R(x)满足 R(x) 2 ? ?0≤x≤5? ?-0.4x +4.2x-0.8 =? , ? ?10.2 ?x>5? 假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价 为多少?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4

5



依题意得 G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),
2 ? ?-0.4x +3.2x-2.8 f(x)=? ? ?8.2-x ?x>5?

则 f(x)=R(x)-G(x), 所以 ?0≤x≤5? .

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0, 因为
? ?0≤x≤5 f(x)>0?? 2 ? - 0.4 x +3.2x-2.8>0 ? ? ?x>5 或? ? ?8.2-x>0

? ?0≤x≤5 ?? 2 ? ?x -8x+7<0



? ?0≤x≤5 5<x<8.2?? ? ?1<x<7

或 5<x<8.2?1<x≤5 或 5<x<8.2?1<x<8.2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4

5

所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内.

(2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2. 所以当工厂生产 400 台产品时,盈利最大,
R?4? 此时只需求 x=4 时, 4 =2.4(万元/百台)=240(元/台).
所以工厂生产 400 台产品时盈利最大, 此时每台产品的售价 为 240 元.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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