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2017北京市高一数学初赛试题及解答


2017 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛 试题参考解答
( 2017 年 4 月 9 日 ) 选择题答案 1 A 填空题答案 1 24 2 8 3 9.5 4 2 5 504 6 7 8 2 A 3 B 4 D 5 C 6 D

(12 ? 4 2)? ? 4 101

4 5

一、选择题 1.集合 A={2, 0, 1, 7},B={x| x2?2?A, x?2?A},则集合 B 的所有元素之积为 (A)36. 答:A. 解:由 x2?2?A,可得 x2=4,2,3,9,即 x=?2,? 2 ,? 3 ,?3. 又因为 x?2?A,所以 x?2,x?3,故 x= ?2,? 2 ,? 3 ,?3. 因此,集合 B={?2, ? 2 , (B)54. (C)72. (D)108.

2 , ? 3,

3 ,?3}.

所以,集合 B 的所有元素的乘积等于(?2)(? 2 )( 2 )(? 3 )( 3 )(?3)=36. 2.已知锐角△ABC 的顶点 A 到它的垂心与外心的距离相等,则 tan(
3 . 3 答:A.
?BAC )= 2

(A)

(B)

2 . 2

(C)1.

(D) 3 .

解:作锐角△ABC 的外接圆,这个圆的圆心 O 在形内,高 AD,CE 相交于点 H, 锐角△ABC 的垂心 H 也在形内. 连接 BO 交⊙O 于 K,BK 为 ? O 的直径. 连接 AK, CK. 因为 AD,CE 是△ABC 的高,∠KAB,∠KCB 是直 径 BK 上的圆周角, 所以∠KAB=∠KCB=90° . 于是 KA//CE, KC//AD,因此 AKCH 是平行四边形. B O E H D C A K

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所以 KC=AH=AO=

1 BK. 2

1 在直角△KCB 中,由 KC= BK,得∠BKC=60° ,所以∠BAC=∠BKC=60° . 2

故 tan(

?BAC 3 )= tan30° = . 2 3

3. 将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, ?}从小到大按第 n 组 2n?1 个数进行分组: {1}, {3, 5, 7},{9, 11, 13, 15, 17},?,数 2017 位于第 k 组中,则 k 为 (A)31. 答:B. 解:数 2017 是数列 an= 2n ?1 的第 1009 项.设 2017 位于第 k 组,则 1+3+5+?+(2k?1)≥1009,且 1+3+5+?+(2k?3)<1009.
?k 2 ? 1009 即 k 是不等式组 ? 的正整数解,解得 k =32,所以 2017 在第 32 组中. 2 ?(k ? 1) ? 1009

(B)32.

(C)33.

(D)34.

4.如图,平面直角坐标系 x-O-y 中,A, B 是函数 y =

1 在 x

y

y= A

第 I 象限的图象上两点, 满足∠OAB=90° 且 AO = AB, 则等腰 直角△OAB 的面积等于 (A)
1 . (B) 2

1 x

2 3 5 . (C) . (D) . 2 2 2

B O x

答:D. 解:依题意,∠OAB=90° 且 AO = AB,∠AOB=∠ABO=45° .过点 A 做 y 轴垂线交 y 轴于点 C,过点 B 做 y 轴平行线,交直线 CA 于点 D. 易见△COA≌△DAB. 1 1 1 设点 A(a, ),则点 B(a + , ?a). a a a 1 1 1 因为点 B 在函数 y = 的图象上, 所以(a + )( ?a)=1, x a a
1 即 2 ?a2=1. a

y

y= A

1 x

C O

D B x

1 1 1 1 因此 S△ABC = OA2= ( 2 + a2) = 2 2 a 2

(

1 5 . ? a 2 )2 ? 4 ? 2 a 2

5.已知 f(x)=x5 +a1x4 +a2x3 +a3x2 +a4x+a5, 且当 m =1, 2, 3, 4 时,f(m)=2017m,则 f(10)?f(?5)= (A)71655. (B)75156. (C)75615. (D)76515. 答:C. 解:因为 当 m =1, 2, 3, 4 时,f(m)=2017m,所以 1, 2, 3, 4 是方程 f(x)?2017x=0 的
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四个实根,由于 5 次多项式 f(x)?2017x 有 5 个根,设第 5 个根为 p,则 f(x)?2017x = (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?p) 即 f(x) = (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?p)+2017x. 所以 f(10)=9× 8× 7× 6(10?p)+2017× 10,f(?5)=?6× 7× 8× 9(5+p)?2017× 5, 因此 f(10)? f(?5)=15(9× 8× 7× 6+2017)=75615. 若存在实数 m,使得关于 x 的方程 f(x)=m 2 ? x ? 4ax ? 2a, x ? a. 有四个不同的实根,则 a 的取值范围是 1 1 1 1 (A) a ? . (B) a ? . (C) a ? . (D) a ? . 7 6 5 4 答:D. 解:要使方程 f (x)=m 有四个不同的实根,必须使得 y=m 的图像与 y=f(x)的图像有 4 个不同的交点.而直线与 y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个,所以 y=m 与函数 y=|x|, x≤a 的图像和 y=x2?4ax+2a, x>a 的图像的交点分别都是 2 个. 而存在实数 m, 使 y=m 与 y=|x|, x≤a 的图像有两个交点, 需要 a>0, 此时 0<m≤a; 又因为 y=x2?4ax+2a, x>a 顶点的纵坐标为 x>a 的图像有两个交点,需要 m>
6.已知函数 f ( x ) ? ?

?| x |, x ? a,

4 ? 2a ? (4a) 2 , 所以, 要 y=m 与 y=x2?4ax+2a, 4

4 ? 2a ? (4a ) 2 . 4 因此 y=m 的图像与 y=f(x)的图像有 4 个不同的交点需要满足:
0<m≤a 且 m> 解得 a ?
1 . 4

4 ? 2a ? (4a ) 2 , 4

二、填空题 1. 用[x]表示不超过 x 的最大整数, 设 S ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? ? ? [ 99] , 求 [ S ] 的值. 答:24. 解:因为 12≤1, 2, 3<22,所以 1≤ 1 ,
2,

3 <2,因此

[ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? 1 ,共 3 个 1;

同理,22≤4, 5, 6, 7, 8<32,因此,[ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] ? 2 ,共 5 个 2; 又 32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15<42,因此 [ 9] ? [ 10] ? ?=[ 15] ? 3 ,共 7 个 3; 依次类推, [ 16] ? [ 17] ? ? ? [ 23] ? [ 24] ? 4 ,共 9 个 4;
[ 25] ? [ 26] ? ? ? [ 34] ? [ 35] ? 5 ,共 11 个 5; [ 36] ? [ 37] ? ? ? [ 47] ? [ 48] ? 6 ,共 13 个 6;
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[ 49] ? [ 50] ? ? ? [ 62] ? [ 63] ? 7 ,共 15 个 7; [ 64] ? [ 65] ? ? ? [ 79] ? [ 80] ? 8 ,共 17 个 8; [ 81] ? [ 82] ? ? ? [ 98] ? [ 99] ? 9 ,共 19 个 9.

S=( [ 1] ? [ 2] ? [ 3] )+( [ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] )+?+( [ 81] ? ? ? [ 99] ) =1× 3+2× 5+3× 7+4× 9+5× 11+6× 13+7× 15+8× 17+9× 19=615. 因为 242=576<615=S<625=252,即 24< S <25,所以,[ S ]=24. 2.确定(2017 答:8. 解:原式=(2017 log2017 2 × 2017 log2017 4 × 2017 log2017 8 × 2017 log2017 16 × 2017 log2017 32 ) 5 =(2× 4× 8× 16× 32) 5 = (21× 22× 23× 24× 25) 5 =(21+2+3+4+5) 5
1 1 1 1 1

1 log2 2017

× 2017

1 log4 2017

× 2017

1 log8 2017

× 2017

1 log16 2017

× 2017

1 log32 2017

) 的值.

1 5

=(215) 5

=23=8.

3. 已知△ABC 的边 AB= 29 厘米, BC= 13 厘米, CA= 34 厘米, 求△ABC 的面积. 答:9.5 平方厘米. 解:注意到 13=3 +2 ,29=5 +2 ,34=5 +3 ,作边长为 5 厘 米的正方形 AMNP, 分成 25 个 1 平方厘米的正方形网格, 如图. 根 据勾股定理,可知,AB= 29 厘米,BC= 13 厘米,CA= 34 厘 M 米,因此△ABC 的面积可求. 1 1 1 △ABC 的面积=5× 5? × 3× 5? × 2× 5? × 2× 3=9.5(平方厘米) . 2 2 2 4. 设函数 f ( x) ? 的值. 答:2. 解:由已知得 f ( x ) ? 1 ? 因为
ln( x 2 ? 1 ? x ) ? ln( ( ? x ) 2 ? 1 ? ( ? x )) ? ln[( ( ? x ) 2 ? 1 ? ( ? x ))( ( ? x ) 2 ? 1 ? ( ? x ))]
2 2 2 2 2 2

A

P C B N

( x ? 1)2 ? ln( x 2 ? 1 ? x) 的最大值为 M, 最小值为 N, 试确定 M+N x2 ? 1

2 x ? ln( x 2 ? 1 ? x) x2 ? 1

= ln((? x)2 ? 1 ? (? x)2 ) ? ln1 ? 0 , 所以 ln( ( ? x ) 2 ? 1 ? ( ? x )) ? ? ln( x 2 ? 1 ? x ) , 因此, ln( x2 ? 1 ? x) 是奇函数.

2 x ? ln( x 2 ? 1 ? x) 进而可判定,函数 g ( x ) ? 为奇函数. x2 ? 1

2017 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第 4 页共 6 页

则 g(x)的最大值 M1 和最小值 N1 满足 M1+N1= 0. 因为 M =M1+1,N = N1+1,所以 M + N = 2. 5.设 A 是数集{1, 2, ?, 2017}的 n 元子集,且 A 中的任意两个数既不互质,又不 存在整除关系,确定 n 的最大值. 答:504. 解:在数集{1, 2, ?, 2017}中选取子集,使得子集中任意两个数不互质,最大的子 集是偶数集{2, 4, ?, 2016}共 1008 个元素, 但其中, 有的元素满足整除关系, 由于 1010 的 2 倍是 2020,所以集合 A={1010, 1012, 1014, ?, 2016}中,任意两个数既不互质, 又不存在整除关系,A 中恰有 504 个元素. 事实上 504 是 n 的最大值. 因为若从{1009, 1011, ?, 2017}中任取一个奇数, 会与 A 中的与它相邻的偶数互质; 若从{1, 2, 3, ?, 1008}中任取一数,则它的 2 倍在 A 中,存在整除关系. 6.如图,以长为 4 厘米的线段 AB 的中点 O 为圆 心、2 厘米为半径画圆,交 AB 的中垂线于点 E 和 F. 再 分别以 A、B 为圆心,4 厘米为半径画圆弧交射线 AE 于 点 C, 交射线 BE 于点 D. 再以 E 为圆心 DE 为半径画圆 ? ,求这 4 条实曲线弧连接成的“卵形” AFBCDA ? 弧 DC 的面积. (圆周率用 π 表示,不取近似值) 答:(12?4 2 )π?4 平方厘米. 1 解:半圆(O, 2)的面积= π× 22=2π. 2 B F O E C A D

因为 AO=OB=2,所以 AB=AC=BD=4,AE=BE=2 2 ,ED=EC=4?2 2 . 又∠AEB=∠CED=90° ,∠EAB =∠EBA=45° , 1 1 因此, 扇形 BAD 的面积=扇形 ACB 的面积= π× 42=2π, △AEB 的面积= × 4× 2=4, 8 2 ? 的面积= 1 π(4?2 2 )2= 6π?4 2 π, 直角扇形 EDC 4 卵形 ? AFBCDA 的面积 = 半圆(O, 2)的面积+扇形 BAD 的面积+扇形 ACB 的面积

? 的面积 ?△AEB 的面积+直角扇形 EDC
= 2π+2× 2π?4+6π?4 2 π = (12?4 2 )π?4(平方厘米) . 7. 已知 f ( x ) ? 答:101. 解:设 g(x) = x2?100x+5000,则 g(100?x) = (100?x)2?100(100?x)+5000=1002?200x+x2?1002+100x+5000
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x2 ,求 f(1)+f (2)+?+f(100)的值. x 2 ? 100 x ? 5000

= x2?100x+5000= g(x), 即 g(k) = g(100?k). 所以 f(k) + f(100?k) = 又 f(50) =
k2 (100 ? k )2 k 2 ? (100 ? k )2 = =2, ? g (k ) g (100 ? k ) g (k )

502 1002 =1 , = =2. f (100) 502 ? 100 ? 50 ? 5000 1002 ? 100 ? 100 ? 5000 所以, f(1)+ f(2)+?+ f(100)
= (f(1)+ f(99))+ (f(2)+ f(98))+?+ (f(49)+ f(51))+ f(50)+ f(100) = 2× 49+1+2=101. 8.如图,在锐角△ABC 中,AC = BC = 10,D 是边 AB 上一点,△ACD 的内切圆 和△BCD 的与 BD 边相切的旁切圆的半径都等于 2,求 AB 的长. 答: 4 5 . 解:线段 AB 被两圆与 AB 的切点及点 D 分成四段,由于 两圆半径相等,再根据切线长定理,可知中间两段相等,于 是可将这四段线段长度分别记为 a, b, b, c,由于圆 O2 的切线 长 CE=CG,所以 BC+a = CD+b = (AC?c+b)+b,而 AC = BC, 所以 a+c = 2b. E B a· O2 b DG b · O1 c C 所以 F A C 由等角关系可得△ AO1F ∽△ O2BE ,得
2 a ? ,由此推出 ac = 4. c 2

B D A
O1 F BE ,即 ? AF O2 E

分别计算△BCD 和△ACD 的面积:

S?BCD ?

1 1 ? 2( BC ? CD ? BD), S ?ACD ? ? 2( AC ? CD ? AD) 2 2

S?ACD ? S?BCD ? AD ? BD ? AB ? a ? c ? 2b ? 4b . ①
又设由 C 引向 AB 的高为 h,可得 1 1 S?ACD ? S?BCD ? (c ? a)h ? (c ? a) 2 ? 4ac ? 102 ? (2b) 2 ② 2 2 由①、②两式可得
4b ? 1 (c ? a) 2 ? 4ac ? 102 ? (2b) 2 2

将 a+c = 2b,ac = 4 代入,化简得 b4 ? 25b2 ? 100 ? 0 解得 b2=5 或 b2=20,即 b = 5 或 b = 2 5 , (负根舍) . 于是,AB = a+c+2b = 4b = 4 5 ,或 AB = 8 5 . 若 AB = 8 5 ,△ABC 为钝角三角形,不合题设△ABC 是锐角三角形的要求. 所以 AB 的长为 4 5 .
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