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高中数学必修1第2章第一节指数函数教案:指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质教学设计
(第 1 课时)
一.教学目标:
1、知识与技能:了解指数函数的定义,掌握指数函数的性质,并会用性质解决简单问题。 2、过程与方法:通过绘出函数图象、总结函数性质等教学过程,培养观察、总结,并综
合运用数形结合思想解决问题的能力,并逐步形成善于与他人合作探究的团队意识。 3、情感、态度与价值观:通过观察、探究、讨论等思维活动,激发学习数学的兴趣,形
成学数学、爱数学、用数学的良好习惯 二.重、难点
. 教学重点:指数函数的图象和性质 教学难点:利用探究方式得出函数性质 三.学法与教具:
①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体.
[教学设想]
1. 情境设计 师:同学们先看两个问题(用幻灯分两屏放映) 问题 1、在 2000 年,专家预测,未来 20 年,我国 GDP(国内生产总值)年平均增长率可望 达到 7.3%,那么,在 2001~2020 年,各年的 GDP 可望为 2000 年的多少倍? 如果把我国 2000 年 GDP 看成是 1 个单位,2001 年为第一年,那么: 1 年后(即 2001 年),我国的 GDP 可望为 2000 年的_______倍。 2 年后呢?,……,x 年后呢? 问题 2、一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年,剩留的质量约是原来的 84%, 求出这种物质的剩留量 y 随时间 x(单位:年)变化的函数关系。 师:请同学们朗读例题,并给出答案。
生 1:经过 x 年后,GDP 可望为 2000 年的 (1 ? 7.3%) x 倍。
生 2:物质的剩留量 y 随时间 x 变化的函数关系是: y ? 0.84 x
师:我们看到,例题中的两个函数是一种新的函数,函数的形式是指数幂的形式,它的底数 是常数,而未知数 x 却出现在指数位置,我们称这样的函数为指数函数。 从今天开始,我们来研究指数函数(板书:指数函数) 师:那么,指数函数是怎样定义的呢?
(板书指数函数定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,
函数的定义域是 R 。

2.探究底数 a

若a

?

0,

??当x ???当x

? ?

0时,ax等于0 0时,a x无意义



a

<0,如

y

?

(?2)x

,

先时,对于x=

1 6

,

x

?

1 8

等等,在实数范围内的函数值不存在.

若 a =1, y ? 1x ? 1, 是一个常量,没有研究的意义;

只有满足 y ? ax (a ? 0, 且a ? 1) 的形式才能称为指数函数。

小结:一般地,函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定
义域为 R.
判断:下列函数中哪些是指数函数?

y ? 4x

y ? x4

y ? ?4x

y ? 4x?1

判断一个函数是否为指数函数的依据: 是否是形如 y ? ax (a ? 0,且a ? 1) 的函数,其中系数 为 1,底数满足 a ? 0且a ? 1,指数位置上是自变量 x.

3.探究性质 ①我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研 究. 下面我们通过列表、描点、连线的步骤,用描点法画出函数 y ? 2x 和 y ? (1 )x 的图象
2 x ?3.00 ?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

y ? 2x

1

1

1

1

2

4

8

4

2

y

y=2x

-
-

-

0

x

-

-

x
y ? (1)x 2

?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00 1.00 1.50 2.00 2.50

4

2

11

1

2

4

y ? (1)x

y

2

-

0

x

-

-

-
-

我们看出 y ? 2x与y ? (1)x的图象有什么关系? 2

通过图象看出 y ? 2x与y ? (1)x的图象关于y轴对称, 实质是 y ? 2x 上的点(-x, y) 2

与y=(

1 2

)x上点(-x,

y)关于y轴对称.

②利用电脑软件画出 y ? 5x , y ? 3x , y ? (1)x , y ? (1)x 的函数图象.

3

5

问题 1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

从图上看 y ? ax ( a >1)与 y ? ax (0< a <1)两函数图象的特征.

问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶 性.

问题 3:指数函数 y ? ax ( a >0 且 a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.

图象特征

a >1

0< a <1

向 x 轴正负方向无限延伸

图象关于原点和 y 轴不对称

函数图象都在 x 轴上方

函数图象都过定点(0,1)

自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的
图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的
图 象纵坐标都小于 1

自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的
图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的
图 象纵坐标都大于 1

函数性质

a >1

0< a <1

函数的定义域为 R

非奇非偶函数

函数的值域为 R+

a0 =1

增函数

减函数

x >0, a x >1

x >0, a x <1

x <0, a x <1

x <0, a x >1

4.例题
例1
已知指数函数 f (x) ? a x (a ? 0,且a ? 1) 的图象经过点(3,?),
求 f (0), f (1), f (?3) 的值.

解:因为 f (x) ? ax 的图象经过点 (3,?) ,所以
f (3) ? ?,
1
即 a3 ? ? ,解得 a ? ? 3 于是
x
f (x) ? ? 3,

1
所以, f (0) ? ? 0 ? 1, f (1) ? ? 3 ? 3 ?,
例2

f (?3) ? ? ?1 ? 1 . ?

求下列函数的定义域
(1) y ? 3 x?2 ;
1
(2) y ? ?? 1 ?? x . ?2?
解:(1)由 x ? 2 有意义,得 x-2≥0 即 x ≥2,
∴原函数定义域为{x | x ≥2 }

(2)由 有意义,得 x≠0,

∴原函数定义域为{x | x ∈R 且 x≠0}.

练习

1. 在同一坐标系内画出下列四个指数函数的图像。

(1)y=2x

(2)y3x

(3)y=(1/2)x (4)y=(1/3)x

2.根据指数函数的性质,利用不等号填空:

(1)4/5)3__0

(2) 5-1__0

(3) 70__0 (4) (3/100)-3__0

(5) (2/3)2__1 (6) (7/9)-4__1
小结:1.本节课学了哪些知识? (1) 指数函数的定义, (2) 指数函数的图象和性质

(7)10-1/2__1 (8) 63__1

2.记住两个基本图形:

y ? (1)x 2

y
y ? 2x

1

Y=1

作业 1.P58 练习 1 2.P59 第 5 题

o

x

y ? 2x

第二课时指数函数性质的应用

学习目标;1.理解指数函数的单调性与底数 a 的关系,能运用指数函数的单调性解 决一些问题。
2.理解指数函数的底数 a 对函数图象的影响

教学过程

复习上节课的知识

指数函数定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函

基本性质:

数的定义域是 R 。

图象特征

a >1

0< a <1

向 x 轴正负方向无限延伸

函数性质

a >1

0< a <1

函数的定义域为 R

图象关于原点和 y 轴不对称

函数图象都在 x 轴上方

函数图象都过定点(0,1)

自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的
图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的
图 象纵坐标都小于 1

自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的
图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的
图 象纵坐标都大于 1

非奇非偶函数 函数的值域为 R+
a0 =1

增函数

减函数

x >0, a x >1

x >0, a x <1

x <0, a x <1

x <0, a x >1

例 1(P66 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.73
( 2 ) 0.8?0.1 与 0.8?0.2 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
生:在(1)中,考察函数 y ? 1.7 x ,它是增函数,因为 2.5 ? 3, 所以1.72.5 ? 1.73。

生:在(2)中考察函数 y ? 0.8x ,它是减函数,因为-0.1>-0.2,所以 0.8?0.1 ? 0.8?0.2 . 生:在(3)中,两个函数底数不同,所以我想寻找第三变量做中间变量,但我没有想好. 生:我觉得中间变量选 1 应该是合适的.因为1.70.3 ? 1,并且 0.93.1 ? 1,所以1.70.3 ? 0.93.1

生:我觉得中间变量选 0.90.3 也应该可以吧.
师:我们来看屏幕,为了验证同学们说的是否正确?我们在坐标系中找到几个相关点,请同 学们观察,你能从中发现什么结论吗?(演示课件)
生:我发现,当 a>1 时,若 x>0,则 y>1;若 x<0,则 0<y<1. 当 0<a<1 时,若 x>0,则 0<y<1;若 x<0,
则 y>1,由此可得,1.70.3 ? 1,而 0.93.1 ? 1,所以1.70.3 ? 0.93.1 。
生:我发现,若 x 值不变,在 x>0 时,则函数值 y 随着底数 a 的增大而增大;在 x<0 时,y 随着 x
的增大而减小。由此可得,1.70.3 ? 0.90.3 ,而 0.90.3 ? 0.93.1 ,所以有1.70.3 ? 0.93.1 。
师:同学们总结的非常好,同学们观察与归纳的结果,极大地丰富了指数函数的性质,又一次 开阔了我们的视野。

练习 1 已知下列不等式 , 比较 m, n 的大小 :

2、观察指数函数

的图象,比较 a, b, c, d,的大小。

归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y ? ax 的图象,
作业 1、练习 B 组第 2 题;习题 3-1A 组第 3 题


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