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概率(古典高考一轮复习概率、条件概率、离散型随机变量)(理科)


年级 内容标题 编稿老师

高三

学科

数学

概率(古典概率、条件概率、离散型随机变量) (理科) 胡居化

一、学习目标:
1. 了解事件、频率、概率的基本概念.理解古典概率与条件概率的特征、互斥事件与独 立事件的含义、互斥事件与对立事件的区别,并能进行简单的概率计算. 2. 理解随机变量、离散型随机变量的分布列的含义及性质,并能求出离散型随机变量 的分布列及数学期望(均值)与方差. 3. 了解模拟方法(几何概型)及二项分布的内容,超几何分布的特征及其简单应用. 4. 了解正态分布的概念、正态曲线的形状、正态分布中的参数含义.

二、重点、难点:
重点: 1. 概率的计算(古典概率、几何概率、条件概率、互斥事件和独立事件的概率) 2. 求离散型随机变量的分布列、均值、方差. 难点: 1. 互斥事件与对立事件的区别. 2. 古典概型与几何概型的区别.

三、考点分析:
从近几年的新课标的高考命题来看,对古典概率、条件概率、互斥事件的概率、独立事 件的概率、概率的应用、离散型随机变量的分布列的性质等基础知识的考查常以选择、填空 题的形式出现,题目难度小.同时新课标高考中常将对古典概率、条件概率、互斥事件的概 率、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差等内容结合在一起考查,题型 多为解答题.此类问题在新课标高考的考查中属中档题.

一、古典概型与互斥事件 1. 频率与概率:频率是事件发生的概率的估计值. 2. 古典概率计算公式:P(A)= 事件A包含的事件数 ? m , 0 ? P(A) ? 1 . 试验的基本事件总数 n 集合的观点:设试验的基本事件总数构成集合 I,事件 A 包含的事件数构成集合 A,则
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A? I .
3. 古典概型的特征: (1)每次试验的结果只有一个基本事件出现; (2)试验结果具有 有限性; (3)试验结果出现等可能性. 4. 互斥事件概率 (1)互斥事件:在一个随机试验中,一次试验中不可能同时发生的两个事件 A,B 称 为互斥事件. (2)互为事件概率计算公式:若事件 A,B 互斥,则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) (3)对立事件:在一个随机试验中,一次试验中两个事件 A,B 不会同时发生,但必 有一个事件发生,这样的两个事件称为对立事件 . 记作: B ? A ,由对立事件定义知:

P( A) ? 1 ? P( A)
(4)互斥事件与对立事件的关系:对立必互斥,互斥未必对立. 用集合的观点分析对立事件与互斥事件: 设两个互斥事件 A,B 包含的所有结果构成集合 A,B,则 A ? B ? ? (如图 1 所示)

图1 设两个对立事件 A, A 包含的所有结果构成的集合为 A, A 则 A ? A ? ?, 且A ? A ? I (如图 2 所示)

图2 注:若 A1 , A2 , ? An 任意两个事件互斥, 则: P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An ) 二、几何概型 几何概型定义: 向平面有限区域 (集合) G 内投掷点 M,若点 M 落在子区域 G1 ? G 的 概率与 G1 的面积成正比,而与 G 的形状、位置无关,我们就称这种概型为几何概型.

? 几何概型计算公式: P(点M落在G 1内)

G1的面积 G的面积

几何概型的特征: (1)试验的结果有无限个(无限性) ; (2)试验的结果出现等可能性. 注:几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等.

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三、条件概率与独立事件 1. 条件概率的定义:对于任何两个事件 A,B,在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发 生的概率称为事件 B 发生时事件 A 发生的条件概率,记为 P(A|B).类似的还可定义为事 件 A 发生时事件 B 发生的条件概率,记为 P(B|A). 2. 把事件 A, B 同时发生所构成的事件 D, 称为事件 A, B 的交 (或积) , 记为:A ? B =D 或 D=AB. 3. 条 件 概 率 计 算 公 式 :

P( A | B ) ?

P( AB ) , (P( B ) ? 0 ) P( B )



P( B | A) ?

P( AB) , ( P( A) ? 0) P( A)

注: (1)事件 A 在“事件 B 发生的条件下”的概率与没有事件 B 发生时的概率是不同 的. (2)对于两个事件 A,B,如果 P(A|B)=P(A)则表明事件 B 的发生不影响事件 A 发生的概率. 此 时 事 件 = P( A) ? A , B 是 相 互 独 立 的 两 个 事 件 , 即 有 P ( A|B )

P( AB) ? P( AB) ? P( A) P( B) . P( B)

故当两个事件 A,B,若 P(AB)=P(A)P(B) ,则事件 A,B 相互独立,同时 A 与

B, A与B, A与B 也相互独立.
四、二项分布、超几何分布、正态分布 1. 二项分步: (1)n 次独立重复试验的概念:在相同的条件下,重复做 n 次试验,各次试验的结果 相互独立. N 次独立重复试验的特征:①每次试验的条件相同,某一事件发生的概率不变,②各次 试验的结果互不影响,且每次试验只有两个结果发生或不发生. (2)二项分步概率计算公式:一般地,在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次 独 立 重 复 试 验 中 这 个 事 件 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 为

k k Pn (k ) ? Cn p (1 ? p) n?k , (k ? 0,1,2,?, n) ,若随机变量由此式确定,则 X 服从参数 n,p

的二项分布,记作: X ~ B(n, p) . 2. 超几何分布 超几何分布定义:一般地,设有 N 件产品,其中含有 M 件次品( M ? N ) ,从 N 件产 品中任取 n 件产品,用 X 表示取出的 n 件产品中含有的次品的个数,则

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P( X ? k ) ?

k n?k CM CN ?M , (k 为非负整数) ,若随机变量由此式确定,则 X 服从参数 N,M, n CN

k 的超几何分布,记住 X ~ H (n, M , N ) . 注:超几何分布是概率分布的另一种形式,要注意公式中 N,M,k 的含义.随机变量 X 取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商. 3. 正态分布:

(1)正态曲线:函数 简称正态曲线.

f ( x) ?

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

, x ? R 图像为正态分布密度曲线,

(2)若随机变量 X ~ N (? , ? 2 ) ,则 E( X ) ? ?, D( X ) ? ? 2 . 五、离散型随机变量的分布列,期望,方差 1. 离散型随机变量的均值(数学期望) 2. (1)分布列定义:设离散型随机变量 X 的可能取值为: a1 , a2 ,?, ar ,取 a i 的概率 为 pi ( i ? 1,2,3?, r ) 即 X 的分布列为 P( X ? ai ) ? pi (i ? 1,2,?, r ) 则 X 的均值为: a1 P( X ? a1 ) ? a2 P( X ? a2 ) ? ? ? ar P( X ? ar ) = a1 p1 ? a2 p2 ? ? ? ar pr ,记为:EX= a1 p1 ? a2 p2 ? ? ? ar pr . (2)离散型随机变量特征:反映随机变量的平均取值水平,即刻画离散型随机变量取 值的“中心位置”. (3)均值(期望)的性质: ① E (C ) ? C. ② E (a? ? b) ? aE(?) ? b ③ E(?1 ? ? 2 ) ? E(?1 ) ? E(? 2 ) ④若 ?1 , ? 2 相互独立,则 E(?1 ? ? 2 ) ? E(?1 ) ? E(? 2 ) (4)常见的离散型随机变量的数学期望:

X ~ B(n, P) , ①二项分布: 若随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布: 则 EX ? np X ~ H (n, M , N ) , ②超几何分布: 若随机变量 X 服从参数为 N, M, n 的超几何分布:
则 EX ?

nM . N

注:随机变量的均值与样本平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样 本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而不同,且随着样本容量的

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增大,样本平均值会逐渐地接近总体的均值. 3. 离散型随机变量的方差、标准差及方差与均值的关系 (1)离散型随机变量的方差定义:设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1 , x2 ,?, xn , 这些取值的概率为: p1 , p2 ,?, pn , 则 DX ? ( x1 ? EX ) 2 p1 ? ( x2 ? EX ) 2 p2 ? ?( xn ? EX ) 2 pn 就叫做离散型随机变量的 方差. 离散型随机变量的方差的算术平方根是标准差. (2)离散型随机变量方差的特征:反映离散型随机变量的取值相对于数学期望的离散 程度. (3)离散型随机变量( ? )方差的性质: ①设 a,b 是常数,则 D(a? ? b) ? a 2 D(? ) ② D(? ) ? E(? 2 ) ? [ E(? )]2 二项分布中的离散型随机变量的方差: DX ? npq, (q ? 1 ? p) 注: 离散型随机变量的方差与样本方差的关系: 离散型随机变量的方差是总体方差的一 个常数.样本方差是一个随机变量,随样本空间的变化而变化,且随着样本容量的增大,样 本方差会越来越接近总体方差. 4. 求离散型随机变量的均值、方差的步骤: (1)写出离散型随机变量 X 的分布列,在求 X 取值的概率时要联系古典概率、条件概 率、互斥事件和独立事件概率的有关知识求解. (2)由分布列求 EX 和 DX . (3)若离散型随机变量是线型关系或服从二项分布,可直接根据公式计算.

知识点一:概率的计算 例 1. 基础题 1. 从长度为 1,3,5,7,9 的五条线段中任取三条线段,使得三条线段构成三角形的 概率是___________. 2. 将一颗骰子投掷两次,记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量

p ? (m, n) , q ? (?2,1) ,则向量 p ? q 的概率是___________________.
3. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员 三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0~9 之间取整数值的随机数,指定:1,2, 3,4 表示投篮命中.5,6,7,8,9,0 表示投篮未命中,再以每三个随机数为一组,代表三
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次投篮的结果.经随机模拟产生了 20 组随机数如下:488

730 113 537 989 907 966

191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556,据此估计该运动 员三次投篮两次命中的概率是_____. 4. ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点, 取到的点到 O 点的距离大于 1 的概率是____________.

思路分析: 1. 从长度为 1,3,5,7,9 的五条线段中任取三条线段有 10 种情形,然后根据三角形 两边之和大于第三边的性质找出可以构成三角形的三条线段的组合情况. 2. 根据 p ? q ? n ? 2m ,即求第二次出现的点数是第一次出现点数的 2 倍的概率. 显然在 36 种结果中只有 3 种: (1,2) , (2,4) (3,6). 3. 观察 20 组随机数,根据规定:三次投篮两次命中的有 5 组随机数. 4. 以 OA=1 为半径画半圆,当点落在阴影部分时满足条件. 解题过程: 1. 从长度为 1,3,5,7,9 的五条线段中任取三条线段有 10 种情况,分别是: [1,3, 5] , [1,3,7] , [1,3,9] , [1,5,7] , [1,5,9] , [3,5,7] [3,5,9] , [5,7,9] [1,7,9] , [3,7,9] ,其中能构成三角形的有: [3,5,7] [5,7,9] [3,7,9]三种 情况. 故所求的概率 P ?

3 ? 0.3 . 10 3 1 ? . 36 12
271 932 812 393 ,故

2. 一颗骰子投掷两次有 36 种结果,第二次出现的点数是第一次出现点数 2 倍的有 3 种情况:即(1,2) (2,4) (3,6) ,故所求的概率是 P ?

3. 20 组随机数中,满足条件的随机数有 5 组: 191 P=

5 ? 0.25. 20
4. 以 OA=1 为半径画半圆,当点落在阴影部分时取到的点到 O 点距离大于 1.

阴影部分面积 故P ? ? 长方形ABCD面积

1 2 ? ? ? 12 ? 2 ? 1? . 2 4

解题后的思考: 对于古典概率求解的方法, 关键是找出基本事件的总数和某一事件包含的结 果数,在基本事件总数较少的情况下,一般采用列举法(枚举法)较为方便.解决几何概型 问题时, 要根据题意判断区域是面积、 体积, 还是长度, 并能根据几何图形作必要的辅助线. 例 2. 中等题 1. 在 0~9 的十个数字中,任取三个数组成没有重复数字的三位数,这个数不能被 3 整

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除的概率是___________. 2. 甲罐中有 5 个红球,2 个白球,3 个黑球.乙罐中有 4 个红球,3 个白球,3 个黑球, 先从甲罐中随机取一球放入乙罐中, 分别以 A1 , A2 , A3 表示由甲罐中取出的球是红球、 白球、 黑球的事件,再从乙罐中取出一球,用 B 表示取出的球是红球的事件.则下列结论正确的是 ( ) (1) P ( B ) ?

2 ; 5
5 ; 11

(2) P ( B | A1 ) ?

(3)事件 B 与事件 A1 相互独立; (4) A1 , A2 , A3 是两两互斥事件; (5)P(B)的取值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中究竟哪一个事件发生有关. 3. 设 a ? {1,2,3,4}, b ? {2,4,8,12} ,则函数 f ( x) ? x ? ax ? b 在区间[1,2]上有零
3

点的概率是_____. 思路分析: 1. 设事件 A:表示能被 3 整除的三位数.则不能被 3 整除的概率 P ? 1 ? P( A) ,共有
1 2 C9 A9 ? 648个无重复数字的三位数,能被 3 整除的无重复数字的三位数有两种情形:一是

含有数字 0,二是不含有数字 0.(当各位数字之和能被 3 整除时,此三位数才能被 3 整除) 利用排列组合知识分别求出能被 3 整除的无重复数字的三位数的个数即可. 2. 注意:从甲罐中随机取球,取出的球是否是红球影响到事件 B 的发生.显然事件

A1 , A2 , A3 两两互斥.根据互斥事件、独立事件概率、条件概率的内容计算验证所给结论的
正确性. 3. 根据函数 f(x)有零点的条件建立关于 a,b 的不等关系式,然后根据 a 的取值范围 再分类讨论. 解题过程: 1. 设事件 A:表示能被 3 整除的三位数.则不能被 3 整除的概率 P ? 1 ? P( A) .
1 2 无重复数字的三位数有 C9 A9 ? 648个,把 0~9 的十个数字分为三类:

(I)能被 3 整除的有 0,3,6,9; (II)被 3 除余 1 的有:1,4,7; (III)被 3 除余 2 的有:2,5,8. (1)当三个数字中不含有 0 时,从(I) , (II) , (III)类的数字中分别取一个数字或在 (I)类数字中取三个数字,从(II)类数字中取 3 个数字,从(III)类数字中取 3 个数字, 然后排列,此时构成的三位数是 (C3C3C3 ? C3 ? C3 ? C3 ) ? A3 ? 180个.
1 1 1 3 3 3 3

(2)当三个数字中含有 0 时,为保证三个数字的和能被 3 整除,可以从(II)类数字
1 1 中取一个数字从(III)类数字中取一个数字.此时有 C3 C3 种取法,或者从(I)类数字中除

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2 0 外 的 三 个 数 字 中 取 两 个 , 此 时 有 C3 种取法,然后排列得到三位数是 1 1 2 1 2 (C3 C3 ? C3 )C2 A2 ? 48 个,故 P= 1 ? P( A) ? 1 ?

228 19 35 ? 1? ? 648 54 54

2. 由于从甲罐中随机取球,取出的球是否是红球影响到事件 B 的发生.故事件 B 与 A1 不相互独立.显然事件 A1 , A2 , A3 两两互斥,故(1) (3)错误, (4)正确. 当事件 A1 发生时, B1 表示从乙罐中取出球是红球;当事件 A2 发生时, B2 表示从乙罐 中取出球是红球; 当 事 件 A3 发 生 时 , B3 表 示 从 乙 罐 中 取 出 球 是 红 球 . 此 时 B ? B1 ? B2 ? B3 , 且

B1 , B2 , B3 互斥
? P( B) ? 5 5 2 4 3 4 9 ? ? ? ? ? ? 故(5)错 10 11 10 11 10 11 22

5 5 ? P( BA1 ) 10 11 5 根据条件概率公式计算: P( B | A1 ) ? ? ? ,故(2)正确. 5 P( A1 ) 11 10
3. ? f ' ( x) ? 3x 2 ? a ,当 x ? [1,2] 时, f ' ( x) ? 0 ,此时函数在区间[1,2]上递增. 要使函数在区间[1,2]上有零点,则 ?

? f (1) ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ?? ? f (2) ? 0 ?2a ? b ? 8 ? 0

当 a=1 时, 2 ? b ? 10 ,此时 b=2,4,8 有 3 种情况. 当 a=2 时, 3 ? b ? 12 ,此时 b=4,8,12 有 3 种情况. 当 a=3 时, 4 ? b ? 14 ,此时 b=4,8,12 有 3 种情况. 当 a=4 时, 5 ? b ? 16 ,此时 b=8,12 有 2 种情况. 基本事件的总数是 16 种,故所求的概率 P=

11 . 16

解题后的思考:对于求较复杂的互斥事件的概率有两种方法:一是直接法,即把一个复杂的 事件分解为几个彼此互斥的事件, 再运用概率加法公式求解, 也可与独立事件联系在一起求 解,如本例第二题.二是间接法,即先求此事件的对立事件的概率,再用公式 (正难则反)的思想进行求解, P( A) ? 1 ? P( A) 求解,这样做实际是运用了“逆向思维” 特别是至多、至少型的概率计算,常使用间接法. 例 3. 综合与创新题 把一枚骰子投掷两次,记第一次出现的点数是 a, 第二次出现的点数是 b, 则有关于 a, b 的方程组 ?

?ax ? by ? 3 ,试解答下列问题: ?x ? 2 y ? 2

(1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正数解的概率. 思路分析:

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(1)探求事件(a,b)的基本事件的总数是 36 个,根据方程组只有一解探求 a,b 满 足关系式. 找出 36 个基本事件中能使关于 a,b 的关系式成立的事件数. (2)根据方程组有正数解求出 a,b 的取值范围,再从 36 个基本事件中,求出满足 a, b 取值范围的事件数. 解题过程: ( 1 ) 事 件 ( a , b ) 的 基 本 事 件 的 总 数 是 36 个 , 由 方 程 组 ?

?ax ? by ? 3 得: ?x ? 2 y ? 2

?(2a ? b) x ? 6 ? 2b .要使方程组只有一个解,需满足 2a ? b ? 0 ? b ? 2a ,问题转化为: ? ?(2a ? b) y ? 2a ? 3
求 使 b ? 2a 成 立 的 事 件 的 概 率 : 设 事 件 A 表 示 b ? 2a , 则 A 表 示 b=2a , 故 (1,2) (2,4) (3,6)共 3 P( A) ? 1 ? P( A) ,在 36 个基本事件中,使 b=2a 成立的有: 个,故 P( A) ? 1 ? P( A) = 1 ?

3 11 ? . 36 12

6 ? 2b ? x? ?0 ? ? 2a ? b (2)若使方程组有正数解,需满足 2a ? b ? 0且x ? 0, y ? 0,即? 成 ? y ? 2a ? 3 ? 0 ? 2a ? b ?
立.

?2a ? b ?2a ? b ? 3 ? 3 ? ? 即 ?a ? 或?a ? ,满足此条件的事件有: (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 2 ? ? ?b ? 3 ?b ? 3 ? ?
(2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,4) (1,5) (1,6)共 13 个,故所求事件的概 率是 P ?

13 . 36

解题后的思考:在解决概率问题时应注意分类讨论、等价转化、数形结合等数学思想方法的 应用. 知识点二:离散型随机变量的分布列、均值、方差 例 4. 基础题 1. 离散型随机变量 X 的分布列如下表所示. 若 EX=0,DX=1 则 a=_________,b=_________.

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2. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏, 一个袋子中装有 10 个红球和 20 个白球, 这些球除颜色外其余没有任何差别,一次从袋子中摸出 5 个球,至少摸到 3 个红球就中奖, 则中奖的概率是 ________ .(精确到 0.01) 3. 某种种子发芽的概率都是 0.9,现播种 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需要再 补种 2 粒,补种的种子数设为 X,则 EX=__________. 思路分析: 1. 根据分布列的性质及 EX=0,DX=1 建立关于 a,b,c 的三元一次方程组. 2. 本题是超几何分布概率的计算问题.设摸出红球的个数是 X,由题意知 X 服从超几 何分布,找出对应的参数 N,M,n,代入公式计算. 3. 本题是二项分布问题,设 ? 表示不发芽的种子数,则 X=2 ? ,由已知种子不发芽的

) ,求出 E ? ,然后再求 EX. 概率是 1-0.9=0.1,故 ? 服从二项分布,及 ? ~ (0.1, 1000
解题过程:

1 ? ?a ? b ? c ? 12 ? 1 5 ? ? a? ? 1 ? ? 12 ?0?? 1. 由分布列的性质及 EX=0,DX=1 得:?( ?1) ? a ? 0 ? b ? 1 ? c ? 2 ? 12 ? ?b ? 1 ? 1 ? 4 ? ?a ? c ? 3 ? 1 ?
2. 设摸出红球的个数是 X,则 X 服从超几何分布.其中 N=30,M=10,n=5 故中奖的概率 P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5)
3 2 4 1 5 0 C10 C20 C10 C20 C10 C20 则 P= ? ? ? 0.91 5 5 5 C30 C30 C30

3. 设 ? 表示不发芽的种子数,则 X=2 ? ,由已知种子不发芽的概率为 1-0.9=0.1

) ,? E? ? 0.1? 1000? 100即 EX ? E (2? ) ? 2E? ? 200. 故 ? ~ (0.1, 1000
解题后的思考: 有关已知分布列求参数的问题是新课标高考的常见题型, 解题的关键是掌握 分布列的性质.对于离散型随机变量是否服从二项分布或超几何分布,关键是要根据二项分 布、超几何分布的特征进行判断. 例 5. 中等题 1. 已知随机变量 ? 的分步列为:

? ? xi
P(? ? xi )

-2

-1

0

1

2

3

1 12

1 4

1 3

1 12

1 6

1 12

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求随机变量? ? ? 2 的分布列 2. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有非空子集中,等可能的任取一个. (1)记性质 r:集合中的所有元素之和为 10,求取出的非空子集满足性质 r 的概率. (2)记所取出的非空子集的元素个数是 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 思路分析: 1. 对于已知随机变量 ? 的分布列, 求?=f (? ) 的问题, 首先要弄清? 的取值, 其次求? 的取值对应的概率,此时要把? 取相同值的对应的概率相加. 2. (1) 此问为古典概率问题, 首先确定集合 {1,2,3,4,5} 的非空子集共有 2 ? 1 ? 31个,
5

即基本事件的总数是 31 个 设 事 件 A 为 : 所 取 的 集 合 中 的 所 有 元 素 之 和 是 10 , 包 含 的 结 果 数 有

{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4} 3 个,故可求事件 A 的概率.
(2)确定 ? 的取值为 ? =1,2,3,4,5,分别求出含有 1 个元素的集合个数,含有 2 个元素的集合的个数, 含有 3 个元素的集合个数, 含有 4 个元素的集合个数和含有 5 个元素 的集合个数. 解题过程: 1. 由 ? ? ? 知:当?=-2,- 1,0, 1, 2, 3时,?=0, 1 , 4, 9
2

1 P(? ? 0) ? P(? ? 0) ? , 3

P(? ? 1) ? P(? ? 1) ? P(? ? ?1) ? 1 4
1

1 3 1 12

P(? ? 4) ? P(? ? 2) ? P(? ? ?2) ?
故所求的随机变量? 的分布列如下:

P(? ? 9) ? P(? ? 3) ?

?
P

0

4

9

1 3
1 2 3 4

1 3
5 5

1 4

1 12

2. 记“所取的非空子集满足性质 r 的事件是 A”, 基本事件的总数是 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 2 ? 1 ? 31个. 事件 A 包含的基本事件是: {1,4,5}, {2,3,5}, {1,2,3,4} 共有 3 个,故 P ? 随机变量 ? 的取值为 ? =1,2,3,4,5.

3 . 31

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故 P(? ? 1) ?

1 C5 5 ? , 31 31

P(? ? 2) ?

C52 10 ? , 31 31

P(? ? 3) ?

3 C5 10 ? , 31 31

P(? ? 4) ?

C54 C5 5 1 ? , P(? ? 5) ? 5 ? . 31 31 31 31

故随机变量 ? 的分布列是:

数学期望是: E? ? 1 ?

5 10 10 5 1 80 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? . 31 31 31 31 31 31

解题后的思考: 对于已知随机变量 ?的分布列求 要注意? 的取 ? ? f (? )的分布列的问题, 值及其对应的取值概率的计算方法,即对 ? 取相同值的对应的概率相加 . 易错点:认为

P(? ) ? P(? ) .
例 6. 综合与创新题 某投资公司计划在 2011 年初将 1000 万元投资到 “低碳” 项目上.现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.根据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30%,也可能亏损 15%,且这两种情况发生的概率分别是

7 2 , .项目二:通信设备.据市场调查,投资到该项 9 9

目上,到年底可能获利 50%,也可能亏损 30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概 率分别为 , ,

3 1 1 . 5 3 15

(1)针对以上两个项目,请你为该公司选择一个合理的投资项目,并说明理由. (2)若市场的预期不变该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金 继续用作投资) ,问大约在哪一年年底总资产(利润+本金)可以翻一番?

, lg 3 ? 0.4771) (参考数据: lg 2 ? 0.3010
思路分析: 1. 要保证选择的投资项目合理, 首先应计算出两个项目投资获利的均值, 若均值相同, 再计算其方差,从而判断获利的稳定性,最后确定选择比较稳妥的项目. 2. 设 n 年后总产值可以翻一番.根据选择的项目获利的均值计算增长率, 再根据已知条 件求 n. 解题过程: (1)若投资项目一:设获利 ? 1 万元,则 ?1 的分布列是:

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E?1 ? 300 ?

7 2 ? (?150 ) ? =200 万元. 9 9
万元,则 的分布列是:

若投资项目二:设获利



3 1 1 E? 2 ? 500 ? ? (?300 ) ? ? 0 ? ? 200 万元, 5 3 15 7 2 D?1 ? (300 ? 200 ) 2 ? ? (?150 ? 200 ) 2 ? ? 35000 万元, 9 9 3 1 1 D? 2 ? (500 ? 200 ) 2 ? ? (?300 ? 200 ) 2 ? ? (0 ? 200 ) 2 ? ? 140000 万元, 5 3 15

故 E?1 ? E? 2 , D?1 ? D? 2 ,从而说明:虽然两个项目获利相等,但投资项目一更稳妥. (2)设 n 年后总产值可以翻一番,投资 1000 万,增长率为 由题意得:

200 ? 0.2 , 1000

1000 (1 ? 0.2) n ? 2 ? 1000? 1.2 n ? 2 ? n ? ? 0.3010 ? 3.8053 2 ? 0.3010? 0.4771? 1

lg 2 2 lg 2 ? lg 3 ? 1

故大约 4 年后即在 2014 年底总资产可以翻一番. 解题后的思考: 利用随机变量的均值、 方差等知识分析实际问题是近几年新课标高考的命题 趋势, 重在考查学生应用数学知识解决实际问题的能力, 解决此类问题的关键是找出随机变 量的取值及取值的概率,由均值分析盈利或亏损等情况,利用方差考查稳定性,这也是解决 此类问题的通性通法.

概率和离散型随机变量知识是新课标高考的重点内容之一, 重点考查古典概率、 几何概 率、离散型随机变量的分布列及性质等内容,对于基础知识考查以选择题、填空题为主.考 查的内容相对简单,即掌握住基础知识就能解决此类问题.对于综合性知识的考查主要是把 概率、随机变量的分布列性质、离散型随机变量的均值、方差等内容综合在一起解决实际问 题,多以大题的形式出现.题目的难度在中等以上水平,解决此类问题的关键是正确理解离

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散型随机变量的取值及其特征(即是否符合特殊的一些分布,如二项分布、超几何分布等) , 便于求出分布列,进而求出均值与方差.利用均值、方差的含义去分析问题,这也是新课标 高考命题的方向.

(答题时间:45 分钟)
一、选择题 1. 从甲乙丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是( A. ) D. 1

1 2

B.

1 3

C.

2 3

2. 将一个骰子连续投掷三次,其中一次落地后面向上的点数正好是另两次落地后面向 上的点数之和的概率是( A. ) B.

7 36

4 25

C.

2 9
的值位于 0 到

D.

1 4


3. 在区间 [-1, 1] 上随机取一个实数 x,cos A.

?x
2
C.

1 3

B.

2 ?

1 2

1 之间的概率是 ( 2 2 D. 3

4. 一名篮球运动员,投篮一次得 3 分的概率是 a,得 2 分的概率是 b,不得分的概率是 c,其中 a, b, c ? (0,1) .已知他投篮一次得分的数学期望是 1, (不计其他得分情况) ,则 ab 的最大值是( A. ) B.

1 48

1 24

C.

1 12

D.

1 6

5. 位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向 是向上或向右,且向上或向右移动的概率都是 率是( )

1 ,则质点移动 5 次后位于点(2,3)的概 2

A. ? ?

?1? ?2?

5

2 B. C 5 ? ?

?1? ?2?

5

3 C. C 5 ? ?

?1? ? 2?

3

2 3 D. C 5 C5 ? ?

?1? ? 2?

5

6. 袋子中有 5 个球(2 黑 3 白) ,现从袋子中每次取一球,不放回的抽取两次,在第一 次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( A. )

3 4

B.

3 5

C.

1 2

D.

3 10

7. 国庆节假期,甲去北京旅游的概率是

1 1 1 ,乙、丙去北京旅游的概率分别是 , ,三 3 4 5


人之间的行动相互没有影响,则这段时间内至少有一人去北京旅游的概率是( A.

59 60

B.

3 5

C.

1 2

D.

1 60

二、填空题
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5 , 则P(Y ? 1) ? ______ . 9 9. 已 知 平 面 区 域 U ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0}, A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0 ,
8. 设 X ~ B(2, p ), Y ~ (4, p ),已知 P( X ? 1) ?

x ? 2 y ? 0} 若向区域 U 内投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率是_________________.
10. 在某次测量中测量结果 X 服从正态分布 N (2, ? 2 ) ( ? ? 0) ,若 X 在(0,2)内 取值的概率是 0.4,则 X 在( ? ?,4) 内取值的概率是_______________. 三、计算题 11. 某校举行知识竞赛,第一轮选拔共有 A,B,C,D 四个问题,规则如下: (1)每位参加者的计分器的初始值均为 10 分,答对问题 A,B,C,D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分.答错任意一题减 2 分. (2)每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,参加者 淘汰出局.当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,参加者进入下一轮.当答完 4 题,累 计分数仍不足 14 分时,答题结束,参加者淘汰出局. (3)每位参加者按问题 A,B,C,D 的顺序作答,直至答题结束.假设甲同学对问题 A,B,C,D 回答正确的概率是

3 1 1 1 , , , ,且各题回答正确之间没有影响. 4 2 3 4

(I)求甲同学能进入下一轮的概率. (II)用 ? 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ? 的分布列及数学期望.

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一、选择题 1. (C) 解析:从甲乙丙三人中任选 2 人有 3 种情形,甲被选中有 2 种情形.故选(C) 2. (B) 解析:抛掷的结果有 6 ? 6 ? 6 ? 216 种情况.满足条件的有两种 (i)其中有两次点数相同,则满足条件的点数有 3 组:1,1,2;2,2,4;3,3,6, 每组对应三种抛掷方法共有 3 ? 3 ? 9 种掷法.(ii)三次点数不同:满足条件的点数有 6 组: 1,2,3;1,3,4;1,4,5;1,5,6;2,3,5;2,4,6,每组对应六种掷法共有 36 种. 故满足条件的抛掷方法有 45 种,故 P ?

45 5 ? . 216 24

3. (A)解析:在区间[-1,1]内随机取一个实数, cos 若使 cos

?x
2

的值位于[0,1]区间,

?x
2

的值位于 [ 0, ] 区间.取到的实数 x 应在区间 [ ?1,? ] ? [ ,1] 内, 由几何概型计

1 2

2 3

2 3

算公式得: P ?

2?

1 3 ? 1. 2 3

4. (B)解析:由已知: 3a ? 2b ? 0 ? c ? 1 ? 3a ? 2b ? 1 ,

? ab ?

1 1 3a ? 2b 2 1 ? 3a ? 2b ? ( ) ? . 6 6 2 24

5. ( B ) 解 析 : 质 点 从 原 点 移 到 点 ( 2 , 3 ) 需 右 移 2 次 上 移 3 次 , 故 有

1 1 1 P ? C52 ( ) 2 ( ) 3 ? C52 ( ) 5 . 2 2 2
6. (C) ,解析:设事件 A=第一次取到白球,B=第二次取到白球,则 AB=两次取到都 是白球,

3 3 2 3 , P( AB ) ? ? ? 故在第一次取到白球的情形下,第二次取 5 5 4 10 P( AB) 1 ? . 到白球的概率 P( B | A) = P( A) 2
由题意得: P( A) ? 7. (B)解析:由已知:甲乙丙三人不去北京旅游的概率分别是 人去北京旅游的概率为 P ? 1 ? 二、填空题 8.

2 3 4 , , ,故至少有 1 3 4 5

2 3 4 3 ? ? ? . 3 4 5 5

65 81
1 2 2

解析: P( X ? 1) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? C 2 p (1 ? p) ? C 2 p ?

5 1 ?P? , 9 3

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1 65 0 ? P(Y ? 1) ? 1 ? P(Y ? 0) ? 1 ? C 4 (1 ? ) 4 ? . 3 81 2 1 9. 解析:作出区域 U 如图所示,面积 S ? ? 6 ? 6 ? 18 , 9 2 区域 A 的面积是图中的阴影部分 S ? 4 ,
故所求的概率 P ?

2 . 9

10. 0.9 三、计算题

解析:由对称性知: P( X ? 4) ? P( X ? 2) ? P(2 ? X ? 4) ? 0.9 .

11. 解: (I)甲同学进入下一轮与被淘汰出局是对立事件. 而甲同学被淘汰出局的概率是:

(2)设 ? =2,3,4

1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 3 1 1 3 3 1 2 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 4 2 3 4 4 2 3 4 4 3 1 故甲同学能进入下一轮的概率是 1 ? ? . 4 4 P1 ? P(? ? 2) ? 1 1 1 3 1 2 3 1 1 3 ? ? , P(? ? 3) ? ? ? ? ? ? ? . 4 2 8 4 2 3 4 2 3 8 1 3 1 P(? ? 4) ? 1 ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 1 ? ? ? . 8 8 2
故 ? 的分布列是:

1 3 1 27 ? 的数学期望是 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 8 2 8

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