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第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题含答案


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第七至十九届中国数学奥林匹克 十九届中国数学奥林匹克竞赛试题 届中国数学奥林匹克

第七届中国数学奥林匹克 (1992 年) 1. 设方程 x +an-1x +an-2x +....+a1x+a0=0 的系数都是实数,且适合条件 0<a0≦a1≦a2 ≦....≦an-1≦1。已知 λ 为方程的复数根且适合条件|λ|>1,试证:λ =1。 2. 设 x1, x2, ... , xn 为非负实数,记 xn+1= x1,a=min{x1, x2, ... , xn},试证:
n+1 n n-1 n-2

n 1+xi_ Σ 1+xi+1 i=1 ≦n+ (1+a)
2

n 1 i=1 Σ (xi-a) ,
2

3. 且等式成立当且仅当 x1 =x2= ...

=xn。

4. 在平面上划上一个 9x9 的方格表,在这上小方格的每一格中都任意填入+1 或-1。下 面一种改变填入数字的方式称为一次变动;对于任意一个小方格有一条公共边的所 有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积,于是每取一个格,就算出一个数,在 所有小格都取遍后,再将这些算出的数放入相应的小方格中。试问是否总可以经过 有限次变动,使得所有方小方格中的数都变为 1? 5. 凸四边形内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,ΔABP 与 ΔCDP 的外接圆相交于 P 和另一点 Q,且 O、P、Q 三点两两不重合。试证∠OQP=90


6. 在有 8 个顶点的简单图中,没有四边形的图的边数的是大值是多少? 7. 已知整数序列{a1, a2, ...... }满足条件: 1. an+1=3an-3an-1+an-2,n=2, 3, .....。 2. 2a1= a0+a2-2。 3. 对任意的自然数 m, 在序列{a1, a2, ...... }中必有相继的 m 项 ak, ak+1, ... , ak+m-1 都为完全平方数。

试证:序列{a1, a2, ...... }的所有项都是完全平方数。

第八届中国数学奥林匹克 第八届中国数学奥林匹克 (1993 年)

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1. 设 n 是奇数,试证明存在 2n 个整数 a1, a2, ... , an;b1, b2, ... , bn,使得对于 任意一个整数 k,0<k<n,下列 3n 个数 ai+ai,ai+bi,bi+ bi+k 其中 i=1, 2, ..., n, =, 0< j<n)被 3n 除时余数互不相同。 2. 给定自然数 k 及实数 a>0,在下列条件 k1+ k2+ ... ≦k 下,求 a + a + ... + a 的最大值。 3. 设圆 K 和 K1 同心,它们的半径分别为 R 和 R1,R1>R。四边形 ABCD 内接于圆 K,四边 形 A1B1C1D1 内接于圆 K1, A1、 1、 1、 1 分别在射线 CD、 点 B C D DA、 AB、 上, BC 求证: A1B1C1D1 S /SABCD≧ R1 /R 。 4. 给定集合 S={z1, z2, ... , z1993},其中 z1, z2, ... , z1993 是非零复数(可看作平面 试的非零向量)。求证可以把 S 中的元素分成若干组,使得 i. ii. iii. S 中每个元素属于且仅属于其中一组; 每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 90 ; 将任意两组中复数分别求和,求得和数之间的夹角大于 90 。
。 。 2 2 k1 k2 kr

+kn=k,ki 为自然数其中 1≦r

5. 10 人到书店买书,已知 i. ii. 每人都买了三种书; 任何两人所买的书,都至少有一种相同。

问购买人数最多的一种书最(至)少有几人购买?说明理由。

6. 设函数 f:(0, +∞)→(0, +∞)满足以下条件:对于任意正实数 x、y,有 f(xy)≦ f(x)f(y)。试证:对任意的正实数 x 及自然数 n,有 f(x )≦f(x)f(x ) ...f(x) 。
n 2 1/2 1/n

第九届中国数学奥林匹克 (1994 年) 1. 设 ABCD 是一个梯形(AB//CD),E 是线段 AB 试一点,F 是线段 CD 上一点,线段 CE 与 BF 相交于点 H,线段 ED 与 AF 相交于点 G,求证:SEHFG≦SABCD/4。如果 ABCD 是一个 任意的凸圆边形,同样结论是否成立?请说明理由。 2. n(n≧4)个盘子里放有总数不少于 4 的糖块,从任意的两个盘子各取一块糖,放入另 一个盘子中,称为一次操作,问能可经过有限次操作,将所有的糖块集中列一个盘 子里去?证明你的结论。

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3. 求适合以下条件的所有函数 f:[0, +∞)→[0, +∞), i. ii. f(2x)≦2(x+1); f(x+1) = [ f(x) -1]/x。
n n-1 n-2 2

4. 已知 f(z)=C0z +C1z +C2z +....+Cn-1z+Cn 是一个 n 次复系数多项式, 求证: 一定存在 一个复数 z0,|z0|≦1,满足 |f(z0)|≧|C0|+|Cn|。

5. 对任何自然数 n,求证: 其中 0C0=1,[(n-k)/2]表示(n-k)/2 的整数部份。



6. 设 M 为平面试坐标为(Px1994,7Px1994)的点,其中 P 是素数,求满足下述条件的直 角三角形的个数: i. ii. 三角形的三个顶点都是整点,面且 M 是直角顶点; 三角形的内心是坐标原点。

第十届中国数学奥林匹克 (1995 年) 1. 设 2n 个实数 a1, a2, ... , an;b1, b2, ... , bn(n≧3)满足 i. ii. iii. a1+ a2+ ... +an=b1+ b2+ ... +bn;

0<a1= a2,ai+ ai+1= ai+2 (i=1, 2, ..., n-2); 0<b1≦b2,bi+ bi+1≦ bi+2 (i=1, 2, ..., n-2)。

求证:an-1+ an≦bn-1+bn。

2. 设 N 为自然数集合,f:N→N 适合条件:f(1)=1,对于任何自然数 n 都有
o o

3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) ); f(2n) < 6 f(n)。

试求方程 f(k) +f(l)=293,其中 k<l 的所有解。

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3. 试求

的最小值,其中 x 和 y 是任意整数。 4. 空间有四个球,它们的半径分别为 2、2、3、3,每个球都与其余 3 个球外切,另有 一个小球与那圆球都外切,求该小球的半径。 5. 设 a1, a2, ... , a10 是 10 个两两不同的自然数,它们的和为 1995,试求 a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1 的最小值。 6. 设 n 是大于 1 的奇数,已给

。设

,i=1, 2, .... , n 其中

。记 正整数 m 满足 ,求证:m 是 n 的倍数。

,k=1, 2, ...。若

第十一届中国数学奥林匹克 (1996 年) 1. 设 H 是锐角△ABC 的垂心,由 A 向 BC 为直径的圆作切线 AP、AQ,切点分别为 P、Q。 求证:P、H、Q 三点共线。 2. 设 S={1, 2, ... , 50},求最小自然数 k,使 S 的任一 k 元素中,都存在两个不同 的数 a 和 b,满足(a+b)整除 ab。 3. 设 R 为实数集合, 函数 f: R→R 适合条件 f( x +y )=(x+y)( f(x) -f(x)f(y) +f(y) ), x、y 为实数。试证:对一切实数 x,都有 f( 1996 x ) = 1996 f(x)。
3 3 2 2

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4. 8 位歌手参加艺术会,准备为他们安排 m 次演出,每次由其中 4 位登台表演。要求 8 位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多,请设计一种方案,使得演出的次数 m 最少。

5. 设 n 为自然数, 求证:

,且



。 6. 在△ABC 中,∠C=90 ,∠A=30 ,BC=1,求△ABC 的内接三角形(三顶点分别在三边上 的三角形)的最长边的最小值。
。 。

第 12 届中国数学奥林匹克 (1997 年) 一、 设实数 x1,x2,…,x1997 满足如下两个条件:

(1)

1 3

≤ x1 ≤ 3 (i = 1,2, ,1997);

(2) x1 + x 2 + + x1997 = 318 3.
12 12 试求:x1 + x12 + + x1997的最大值,并说明理由. 2

二、 点 P 是凸四边形内一点, P 到各顶点的连线与四边形过该点的两条边的夹角均为 且 锐角.递推定义 Ak、Bk、Ck 和 Dk 分别为 P 关于直线 Ak-1Bk-1、Bk-1Ck-1、Ck-1Dk-1、和 Dk-1Ak-1 的 对称点(k=2,3, ……). 考察 AjBjCjDj(j=1,2, ……).试问: (1) 前 12 个四边形中,哪些必定与第 1997 个相似,哪些未必; (2) 假设第 1997 个是圆内接四边形,那么在前 12 个四边形中,哪些必定是圆内 接四边形,哪些未必. 三、求证存在无穷多个正整数 n,使得可将 1,2,…,3n 列成数表 a1 a2 … an b1 b2 … bn c1 c2 … cn 满足如下两个条件: (1) a1+b1+c1=a2+b2+c2=…=an+bn+cn 且为 6 的倍数; (2) a1+a2+…+an=b1+b2+…bn=c1+c2+…+cn 且为 6 的倍数. 四、四边形 ABCD 内接于圆,其边 AB 与 DC 的延长线交于点 P,AD 与 BC 的延长线交于点 Q, 过 Q 作该圆的两条切线 QE 和 QF,切点分别为 E、F. 求证:P、E、F 三点共线. 五、设 A={1,2,3,…,17},对于映射 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 5

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f : A → A, 记f [1] ( x) = f ( x), f [ k +1] ( x) = f ( f k ( x))(k ∈ N ) .设从 A 到 A 的一一映射
f 满足条件存在自然数 M,使得:

(1)当m < M ,1 ≤ i ≤ 16时,有 f [ m ] (i + 1) f [ m ] (i ) ≡ ± 1(mod 17), f [ m ] (1) f [ m ] (17) ≡ ± 1(mod 17). / / (2)当1 ≤ i ≤ 16时,有 f [ M ] (i + 1) + f [ M ] (i ) ≡ 1或 (mod 17), f [ M ] (1) f [ M ] (17) ≡ 1或 (mod 17). 1 1
试对满足上述条件的一切 f,求所对应的 M 的最大可能值,并证明你的结论. 六、设非负数列 a1,a2, ……满足条件 a m + n ≤ a n + a m , m, n ∈ N . 求证:对任意 n ≥ m均有a n ≤ ma1 + (

n 1)a m . m

第十三届中国数学奥林匹克 (1998 年) 1. 在一个非钝角△ABC 中,AB>AC,∠B=45 ,O 和 I 分别是△ABC 的外它和内心,且√2 OI =AB - AC,求 sin∠A。 2. 对于给定的大于的正整数 n,是否存在 2n 个两两不周的正整数,同时满足以下两个 条件: 1. a1+a2+....+an =b1+b2+....+bn ;


2.



请说明理由。

3. 设 S={1, 2, .... , 98},求最小自然数 n,使得 S 的任一 n 元子集中都可以选出 10 个数,无论怎样将这 10 个数均分成两组,总有一组中存在一个数与另外 4 个数 都互质,而另一组总有一个数与另外 4 个数都不互质。 4. 求所有大于 3 的自然数 n,使得得 1+nC1+nC2+nC3 整除 2 5. 设 D 为锐角三角形 ABC 内部一点,且满足条件: DAxDBxAB + DBxDCxBC + DCxDAxCA=ABxBCxCA。 试确定 D 点的几何位置,并证明你的结论
2000



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6. 设 n≧2,x1, x2, ...., xn 为实数,且 个固定的自然数 k (1≦k≦n),求| xk |的最大值。

。对于每一

第十四届中国数学奥林匹克 (1999 年) 1. 在锐角△ABC 中,∠C >∠B,点 D 是边 BC 上一点,使得∠ADB 是钝角,H 是△ABD 的垂心,点 F 在△ABC 内部且在△ABD 的外接圆周上。求证点 F 是△ABC 垂心的充份 必要条件是:HD 平行于 CF 且 H 在△ABC 的外接圆周上。 2. 给定实数 a,设实数多项式序列{ fn(x) }满足 f0(x)=1,fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax),其 中 n=0, 1, ...。 1. 求证:fn(x)=x fn(1/x),其中 n=0, 1, ...。 2. 求证:fn(x)的明显表达式。 3. MO 太空城由 99 个空间站组成,全两空间站之间有管形通道相联。规定其中 99 条通 道为双向通行的主干道,其余通道严格单向通行,如果某四个空间站可以通过它们 之间的通道从其中任一站到达另外任一站, 则称这四个站的集合为一个互通四站组。 试为 MO 太空城设计一个方案,使得互通四站组的数目最大(请具体算出该最大数, 并证明你的结论)。 4. 设 m 是给定的整数,求证:存在整数 a、b 和 k,其中 a、b 均不能被 2 整除,k≧0, 使得 2m=a +b +k × 2
19 99 1999 n


3 2

5. 求最大的实数 λ, 使得当实系数多项式 f(x)=x +ax +bx+c 的所有根都是非负实数时, 只要 x≧0,就有 f(x)≧λ(x - a) 。并问上式中等号何时成立? 6. 设 4x4x4 的大正方体由 64 个单位正方体组成。选取其中的 16 个单位正方体涂成红 色,使得大正方体中每个由 4 个单位正方体椭成的 1x1x4 的小长方体中,都恰有 1 个红正方体。问 16 个红正方体共有多少种不同取法?说明理由。
3

届中国数学奥林匹克( 第 15 届中国数学奥林匹克(2000 年) 一、设 a,b,c 为△ABC 的三条边,a≤b≤c,R 和 r 分别为△ABC 的外接圆半径和内接圆半径。 令 f=a+b-2R-2r,试用 C 的大小来判定 f 的符号. 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 7

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二、数列{an}定义如下: a1 = 0, a 2 = 1, a n =
1 2

1 1 n na n 1 + n(n 1)a n 2 + (1) n (1 ), n ≥ 3. 2 2 2
n2 n + nc n 1 a1 的最简表达式.

试求 f n = a n + 2c n a n 1 + 3c n a n 2 + + ( n 1)c n

三、某乒乓俱乐部组织交流活动,安排符合以下规则的双打赛程表,规则为: (1) (2) (3) 每个参赛者至多属于两个对子; 任意两个不同对子之间至多进行一次双打; 凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇.

统计各人参加的双打次数,约定将所有不同的次数组成的集合为“赛次集”. 给定由不同的正整数组成的集合 A={a1,a2,…, k},其中每个数都能被 6 整除.试问至少 a 必须有多少人参加活动,才可以安排符合上述规则的赛程表,使得相应的赛次集恰为 A,请 证明你的结论. 四、 设 n≥2.对 n 元有序实数组 A=(a1,a2, …,an), 令

max bk = 1 ≤ i ≤ k ai , (k = 1,2, , n) .

称 B=(b1,b2, …,bn)为 A 的“创新数组” ;称 B 中的不同元素个数为 A 的“创新阶数”. 考察 1,2,…,n 的所有排列(将每种排列都视为一个有序数组) ,对其中创新阶数为 2 的所有排列,求它们的第一项的算术平均值. 五、若对正整数 n,存在 k,使得 n=n1n2…nk= 的整数,则称 n 具有性质 P. 求具有性质 P 的所有数 n . 六、其次考试有 5 道选择题,每题都有 4 个不同答案供选择,每人每题恰选 1 个答案,在 2000 份答卷中发现存在一个 n, 使得任何 n 份答卷中都存在 4 份, 其中每两份的答案都至多 3 道相同.求 n 的最小可能值. 第十六届中国数学奥林匹克 (2001 年) -1,其中 n1,…,nk 都是大于 3

1. 给定 a,

。 内接于单位圆 ABCD 的凸四边形适合以下条件:

1. 圆心在这凸四边形内部; 2. 最大边长是 a , 最小边长是 。

过点 A、B、C、D 依次作圆 Γ 的四条切线 LA、LB、LC、LD。已知 LA 与 LB、LB 与 LC、 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 8

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LC 与 LD、LD 与 LA 分别相交于 A' 、B' 、C' 、D' 四点。 求面积之比 SA'B'C'D' /SABCD 的
最大值与最小值。

2. 设 X={1,2,3, … 2001}, 求最小的正整数 m,适合要求:对 X 的任何一个 m 元子集 W, 都存在 u、v ( u 和 v 允许相同 ),使得 u+v 是 2 的方幂。 3. 在正 n 边形的每个顶点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓, 众喜鹊都飞去。 一段时间 后, 它们又都回到这些顶点上, 仍是每个顶点上一只, 但未必都回到原来的顶点。 求 所有正整数 n,使得一定存在 3 只喜鹊,以它们前后所在的顶点分别形成的三角形 或同为锐角三角形,或同为直角三角形,或同为钝角三角形 4. 设 a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c 是 7 个两两不同的质数, 且 a, b, c 中 有两数之和是 800。设 d 是这 7 个质数中最大数与最小数之差。求 d 的最大可能值。 5. 将周长为 24 的圆周等分成 24 段。 从 24 个分点中选取 8 个点,使得其中任何两点 间所夹的弧长都不等于 3 和 8。问满足要求的 8 点组的不同取法共有多少种?说明 理由。 6. 记 a=2001。设 A 是适合下列条件的正整数对(m,n)所组成的集合: 1. m < 2a; 2. 2n | (2am-m +n ); 3. n -m +2mn≦2a(n-m)。
2 2 2 2



, 求





第十七届中国数学奥林匹克 (2002 年) 上海 1 月 27 日-28 日早上 8:00-12:30,每题 21 分。 1. 三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c,b<c,AD 是角 A 的内角平分线,点 D 在边 BC 上。 1. 求在线段 AB、AC 内分别存在点 E、F(不是顶点)满足 BC=CF 和∠BDE=∠CDF 的充份必要条件(用角 A、B、C 表示); 2. 在点 E 和 F 存在的情况下,用 a、b、c 表示 BE 的长。

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2. 设多项式序列{ Pn(x) }满足:P1(x)=x -1,P2(x)=2x(x -1),且 Pn+1(x)Pn-1(x)=( Pn(x) ) -(x -1) ,n=2, 3, ....。 设 Sn 为 Pn(x)各项系数的绝对值之和,对于任意正整数 n,求非负整数 kn 使得 2 nSn 为奇数。 3. 18 支足球队进行单循环赛,即每轮将 18 支球队分成 9 组,每组的两队赛一场,下 一轮重新分组进行比赛,共赛 17 轮,使得每队都与另外 17 支队各赛一场。按任意 可行的程序比赛了 n 轮之后,总存在 4 支球队,它们之间总共只赛了 1 场。求 n 的 最大可能值。
-k 2 2 2 2 2

4. 对于平面上任意四个不同点 P1、P2、P2、P4,求

的最小值。

5. 平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点。证明平面上的全体有理点可以分为三 个两两不相交的集合,满足条件: 1. 在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含这三个集个中每个集合的点。 2. 在任意一条直线上不可能有三个点分别属于这三个集合。 6. 给定实数 c,1/2<c<1,求最小的常数 M,使得对任意整数 n≧2,及实数 0<a1≦ a2

≦ ....≦ an,只要满足 其中 m 不超过 cn 的最大整数。

,总有



2003 年第十八届中国数学奥林匹克(长沙) 第一天(2003-01-15) 一、设点 I、H 分别为锐角△ABC 的内心和垂心,点 B 1 、C 1 分别为边 AC、AB 的中点.已知射 线 B 1 I 交边 AB 于 B 2 (B 2 ≠B) ,射线 C 1 I 交 AC 的延长线于点 C 2 ,B 2 C 2 与 BC 相交于 K,A 1 为△BHC 外心.试证:A、I、A 1 三点共线的充分必要条件是△BKB 2 和△CKC 2 的面 积相等. 二、求出同时满足如下条件的集合 S 的元素的个数的最大值: (1) S 中的每个元素都是不超过 100 的正整数; (2) 对于 S 中的任意两个不同的元素 a、b,都存在 S 中的元素 c,使得 a 与 c 的最 大公约数等于 1,并且 b 与 c 的最大公约数也等于 1; (3) 对于 S 中的两个不同元素 a、b,都存在 S 中异于 a、b 的元素 d,使得 a 与 d 的最大公约数大于 1,并且 b 与 d 的最大公约数也大于 1. 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 10

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三、给定实数 n,求最小的正数 λ ,使得对于任何 θ i ∈ (0,
n

π
2

) (i=1,2,…,n) ,只要

tan θ1 tan θ 2 …tan θ n =2 2 ,就有 cos θ1 +cos θ 2 +…+cos θ n 不大于 λ . 第二天(2003-01-16) 四、求所有满足 a≥2,m≥2 的三元正整数组(a,m,n),使得 a n +203 是 a m +1 的倍数. 五、某公司需要录用一名秘书,共有 10 人报名,公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面 试,前 3 个人面试后一定不录用.自第 4 个人开始将他与前面所有已面试过的人相比较,如 果他的能力超过了前面所有已经面试过的人,就录用他,否则就不录用,继续面试下一个. 如果前 9 个人都不录用,那么就录用最后一个面试的人. 假定这 10 个人能力个不相同,可以按能力由强到弱排为第 1,第 2,……,第 10,显 然该公司到底录用哪一个人,与这 10 个人的报名顺序有关.大家知道,这样的排列有 10! 种.我们以 A k 表示能力第 k 个人能够被录用的不同的报名顺序的数目, 以 的可能性. 证明:在该公司经理的方针之下,有 (1) A 1 >A 2 >…>A 8 =A 9 =A 10 ; (2) 该公司有超过 70%的可能性录取到能力最强的 3 个人之一,而只有不超过 10% 的可能性录用到能力最弱的 3 个人之一. 六、设 a、b、c、d 为正实数,满足 ab+cd=1,点 P i (x i ,y i )(i=1,2,3,4)是以原点为圆 心的单位圆周上的 4 个点.求证: (ay 1 +by 2 +cy 3 +dy 4 ) 2 +(ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx 1 ) 2 ≤2(

Ak 表示他被录用 10!

a 2 + b2 c2 + d 2 + ). ab cd

2004 年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题 (第一天) (2004 年 1 月 8 日上午 8:00~12:30 澳门)

1. 凸四边形 EFGH 的顶点 E,F,G,H 分别在凸四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上,满足

AE BF CG DH 而点 A,B,C,D 分别在凸四边形 E1F1G1H1 的边 E1F1, F1G1, G1H1, H1E1 =1, EB FC GD HA
上,满足 E1F1∥EF,F1G1∥FG,G1H1∥GH,H1E1∥HE.已知

E1 A FC = λ ,求 1 的值. AH1 CG1

2. 已知正整数 c,设数列 x1 , x2 , 满足:

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2x ( n + 2) x1 = c ,且 xn = xn 1 + n 1 + 1 ( n = 2,3,) , n
其中[x]表示不大于 x 的最大整数. 求数列 { xn } 的通项公式.

3. 设 M 是平面上 n 个点组成的集合,满足: (1)M 中存在 7 个点,是一个凸七边形的 7 个顶点; (2)M 中任意 5 个点,若这 5 个点是一个凸五边形的 5 个顶点,则此凸五边形内部至少含 有 M 中的一个点. 求 n 的最小值.

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2004 年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题 (第二天) (2004 年 1 月 9 日上午 8:00~12:30 澳门)

4. 给定实数 a 和正整数 n,求证: (1)存在唯一的实数数列 x0 , x1 , , xn +1 满足:

x0 = xn +1 = 0 ; 1 3 3 2 ( xi +1 + xi 1 ) = xi + xi a ( i = 1 , 2 , , n )
(2) (1)中的数列 x0 , x1 , , xn +1 满足 xi ≤ a

( i = 0 , 1 , , n + 1) .

5. 给定正整数 n≥2,设正整数 ai

( i = 1 , 2 , , n ) 满足:
n i =1

a1 < a2 < < an 以及 ∑
2

1 ≤1. ai

n 1 1 1 ≤ 求证:对任意实数 x,有 ∑ 2 . 2 a +x 2 a1 (a1 1) + x 2 i =1 i

6. 证明:除了有限个正整数外,其他的正整数 n 均可表示为 2004 个正整数之和

n = a1 + a2 + + a2004 ,且满足:

1 ≤ a1 < a2 < < a2004 , ai | ai +1 ( i = 1 , 2 , , 2003)

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