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湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学试题及答案

武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试 理科数学
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数

5 的共轭复数是( i?2
B. ?2 ? i

) C. ?2 ? i D. 2 ? i )

A. 2 ? i

2.已知集合 M ? {x | x2 ? 1} ,N ? {x | ax ? 1} , 若N ?M , 则实数 a 的取值集合为 ( A. {1} B. {?1,1} C. {1, 0} D. {1, ?1, 0} )

3.执行如图所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2, 2] ,则输出的 S 属于(

A. [?4, 2]

B. [?2, 2]

C. [?2, 4]

D. [?4, 0]

4.某几何体的三视图如图所示, 则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点, 它们之间距离的 最大值为( )

A. 3

B. 6

C. 2 3

D. 2 6

5.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可以从 0

9 中任选一个,某人在银行自动

提款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对 的概率为( A. ) B.

2 5

3 10

C.

1 5

D.

1 10

6.若实数 a ,b 满足 a ? b ? 1 ,m ? loga (loga b) ,n ? (loga b)2 ,l ? loga b2 ,则 m ,n ,

l 的大小关系为(
A. m ? l ? n

) B. l ? n ? m C. n ? l ? m D. l ? m ? n )

7.已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 的右支有两个交点,则 k 的取值范围为(

A. (0,

5 ) 2

B. [1,

5 ] 2

C. (?

5 5 , ) 2 2

D. (1,

5 ) 2

8.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对应边分别为 a , b , c ,条件 p : a ?

b?c ,条件 q : 2

A?

B?C ,那么条件 p 是条件 q 成立的( 2

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. ?24
2

A.充分而不必要条件 C.充要条件 9.在 ( x ? A. 6

1 ? 1) 6 的展开式中,含 x5 项的系数为( x
B. ?6 C. 24
2

10.若 x , y 满足 x ?1 ? 2 y ?1 ? 2 ,则 M ? 2x ? y ? 2x 的最小值为( A. ?2 B.



11.函数 f ( x) ? 2sin( ? x ? 围为( )

?
3

2 11

C. 4

D. ?

4 9

)( ? ? 0) 的图象在 [0,1] 上恰有两个最大值点,则 ? 的取值范

A. [2? , 4? ]

B. [2? ,
2

9? ) 2

C. [

13? 25? , ) 6 6

D. [2? ,

25? ) 6

12.过点 P(2, ?1) 作抛物线 x ? 4 y 的两条切线,切点分别为 A , B , PA , PB 分别交 x 轴 于 E , F 两点, O 为坐标原点,则 ?PEF 与 ?OAB 的面积之比为( A. ) D.

3 2

B.

3 3

C.

1 2

3 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知 sin ? ? 2cos ? ,则 sin ? cos ? ? .

14.已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? 2c ? 0 ,且 a ? 1 , b ? 3 , c ? 2 ,则

a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c ?
15.已知 x ? ( ?



? ?

, ) , y ? f ( x) ? 1 为奇函数, f '( x) ? f ( x) tan x ? 0 ,则不等式 2 2


f ( x) ? cos x 的解集为

16.在四面体 ABCD 中, AD ? DB ? AC ? CB ? 1 ,则四面体体积最大时,它的外接球半 径R ? .

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 23 题为选考题,考 生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分.
17.已知正数数列 {an } 满足: a1 ? 2 , an ? an ?1 ? (1)求 a2 , a3 ; (2)设数列 {bn } 满足 bn ? (an ?1)2 ? n2 ,证明:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通 项 an .

2n ? 1 ? 2 (n ? 2) . an ? an ?1

E , F 分别在棱 AB , CD 上,且 18.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

AE ? CF ? 1 .

(1)已知 M 为棱 DD1 上一点,且 D1M ? 1 ,求证: B1M ? 平面 A 1 EC1 .

(2)求直线 FC1 与平面 A 1 EC1 所成角的正弦值. 19.已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ,过点 P(1,1) 作倾斜角互补的两条不同直线 l1 , l2 ,设 l1 与椭 4 2

圆 ? 交于 A 、 B 两点, l2 与椭圆 ? 交于 C , D 两点. (1)若 P(1,1) 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程; (2)记 ? ?

AB CD

,求 ? 的取值范围.

20.在某市高中某学科竞赛中,某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示.

(1)求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 x (同一组中数据用该组区间中点作代表) ; (2)由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服正态分布 N (?, ? ) ,其中 ? , ? 分别取考生的平
2
2

均成绩 x 和考生成绩的方差 s ,那么该区 4000 名考生成绩超过 84.41 分(含 84.81 分)的 人数估计有多少人? (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考 生中随机抽取 4 名考生,记成绩不超过 ...84.81 分的考生人数为 ? ,求 P(? ? 3) .(精确到

2

0.001 )
2 附:① s ? 204.75 , 204.75 ? 14.31 ;

②z

则 P( ? ? ? ? z ? ? ? ?) ? 0 6 .8 2 6 N (?, ? 2 ) ,

,P(? ? 2? ? z ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ;

4 ③ 0.8413 ? 0.501.

21.已知函数 f ( x) ? xe ? a(ln x ? x) , a ? R .
x

(1)当 a ? e 时,求 f ( x ) 的单调区间;

(2)若 f ( x ) 有两个零点,求实数 a 的取值范围.

(二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按 所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,l 的极 坐标方程为 ? (cos? ? 2sin ? ) ? 10 , C 的参数方程为 ? (1)写出 l 和 C 的普通方程; (2)在 C 上求点 M ,使点 M 到 l 的距离最小,并求出最小值. 23.[选修 4-5:不等式选讲] 已知 f ( x) ? ax ? 2 ? x ? 2 . (1)在 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 1 ; (2)若关于 x 的不等式 ?4 ? f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

? x ? 3cos ? ( ? 为参数, ? ? R ). ? y ? 2sin ?

武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试 理科数学参考答案 一、选择题
1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12:CC

二、填空题
13.

2 5

14. ?13

15. (0,

?
2

)

16.

15 6

三、解答题
17.(1)由已知 a2 ? a1 ?

3 ? 2 ,而 a1 ? 2 , a2 ? a1

∴ a22 ? 22 ? 3 ? 2(a2 ? 2) ,即 a22 ? 2a2 ? 3 ? 0 . 而 a2 ? 0 ,则 a2 ? 3 . 又由 a3 ? a2 ?

5 ? 2 , a2 ? 3 , a3 ? a2

∴ a32 ? 9 ? 5 ? 2(a3 ? 3) ,即 a32 ? 2a3 ? 8 ? 0 . 而 a3 ? 0 ,则 a3 ? 4 . ∴ a2 ? 3 , a3 ? 4 .
2 2 (2)由已知条件可知: an ? an ?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2n ? 1,

∴ (an ?1)2 ? (an?1 ?1)2 ? n2 ? (n ?1)2 , 则 (an ?1)2 ? n2 ? (an?1 ?1)2 ? (n ?1)2

? ??? ? (a3 ?1)2 ? 22 ? (a2 ?1)2 ?12
? 0,
而 bn ? (an ?1)2 ? n2 , ∴ bn ? 0 ,数列 {bn } 为等差数列. ∴ (an ?1)2 ? n2 .而 an ? 0 , 故 an ? n ? 1 . 18.解: (1)过 M 作 MT ? AA1 于点 T ,连 B1T ,则 AT 1 ? 1. 易证: ?AA 1E ? ?A 1BT 1 ,于是 ?AA 1E ? ?A 1BT 1 . 由 ?A 1BT 1 ? ?ATB 1 1 ? 90 ,知 ?AA 1E ? ?ATB 1 1 ? 90 , ∴ A1E ? B1T . 显然 MT ? 面 AA 1 E ? 面 AA 1B 1B ,而 A 1B 1B , ∴ MT ? A1E ,又 B1T

MT ? T ,

∴ A1E ? 面 MTB ,∴ A 1 E ? MB 1. 连 B1D1 ,则 B1D1 ? AC 1 1. 又 D1M ? AC 1D 1 1 1, B

D1M ? D1 ,

∴ A1C1 ? 面 MD1B1 , ∴ AC 1 1 ? MB 1. 由A 1 E ? MB 1 , AC 1 1 ? MB 1, A 1E ∴ B1M ? 面 A 1 EC1 . (2)在 D1C1 上取一点 N ,使 ND1 ? 1 ,连接 EF . 易知 A 1E / /FN . ∴ VA1 ?EFC1 ? VN ?EFC1 ? VE ? NFC1

AC 1 1 ? A 1,

1 1 1 ? ? S?NFC1 ? 3 ? ( ? 2 ? 3) ? 3 ? 3 . 3 3 2
对于 ?A1EC1 , AC 1 1 ?3 2 , A 1 E ? 10 , 而 EC1 ? 22 , 由余弦定理可知 cos ?EA1C1 ?

10 ? 18 ? 22 1 ? . 2 ? 10 ? 3 2 20

∴ ?A1EC1 的面积 S ?

1 1 19 3 A1C1 ? A1 E sin ?EA1C ? ? 3 2 ? 10 ? ? 19 . 2 2 20 2

h 由等体积法可知 F 到平面 A 1 EC1 之距离 满足

6 1 1 3 S?A1EC1 ? h ? VA1 ? EFC1 ,则 ? 19 ? h ? 3 ,∴ h ? , 3 3 2 19
又 FC1 ? 10 ,设 FC1 与平面 AEC1 所成角为 ? , ∴ sin ? ?

6 19 6 3 190 . ? ? 95 10 190

2 2 19.解: (1) 设直线 AB 的斜率为 k ? tan ? , 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , 代入 x ? 2 y ? 4 中,

∴ x ? 2[kx ? (k ?1)] ? 4 ? 0 .
2 2

∴ (1 ? 2k ) x ? 4k (k ?1) x ? 2(k ?1) ? 4 ? 0 .
2 2 2

判别式 ? ? [4(k ?1)k ] ? 4(2k ? 1)[2(k ?1) ? 4] ? 8(3k ? 2k ? 1) .
2 2 2 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

4k (k ? 1) ? x1 ? x2 ? ? ? 2k 2 ? 1 . ? 2 ? x x ? 2(k ? 1) ? 4 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
∵ AB 中点为 (1,1) ,

1 2k (k ? 1) 1 ( x1 ? x2 ) ? ? 1 ,则 k ? . 2 2 2k ? 1 2 1 ∴直线的 AB 方程为 y ? 1 ? ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2
∴ (2)由(1)知 AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

?

1 ? k 2 ? 8(3k 2 ? 2k ? 1) . 2k 2 ? 1

设直线的 CD 方程为 y ? 1 ? ?k ( x ? 1)(k ? 0) .

同理可得 CD ?

1 ? k 2 ? 8(3k 2 ? 2k ? 1) . 2k 2 ? 1
3k 2 ? 2k ? 1 (k ? 0) . 3k 2 ? 2k ? 1

∴? ?

AB CD

?

2 ∴ ? ? 1?

4k ? 1? 3k ? 1 ? 2k
2

4 . 1 3k ? ? 2 k

1 , k 4 则 g (t ) ? 1 ? , t ? (??, ?2 3] [2 3, ??) . t ?2
令 t ? 3k ?

g (t ) 在 (??, ?2 3] , [2 3, ??) 分别单调递减,
∴ 2 ? 3 ? g (t ) ? 1 或 1 ? g (t ) ? 2 ? 3 . 故 2 ? 3 ? ? ? 1或1 ? ? ? 2 ? 3 .
2 2

即 ? ?[

6? 2 6? 2 ,1) (1, ]. 2 2

20.解: (1)由题意知:

中间值 概率

45

55

65

75

85

95

0.1

0.15

0.2

0.3

0.15

0.1

∴ x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.2 ? 75 ? 0.3 ?85 ? 0.15 ? 95 ? 0.1 ? 70.5 , ∴ 4000 名考生的竞赛平均成绩 x 为 70.5 分. (2)依题意 z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,其中 ? ? x ? 70.5 ,

? 2 ? D? ? 204.75 , ? ? 14.31 ,
∴ z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ? N (70.5,14.312 ) , 而 P(? ? ? ? z ? ? ? ? ) ? P(56.19 ? z ? 84.81) ? 0.6826 , ∴ P( z ? 84.81) ?

1 ? 0.6826 ? 0.1587 . 2

∴竞赛成绩超过 84.81 分的人数估计为 0.1587 ? 4000 ? 634.8 人 ? 634 人. (3)全市竞赛考生成绩不超过 84.81 分的概率 1 ? 0.1587 ? 0.8413 . 而?

B(4,0.8413) ,

4 ∴ P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 4) ? 1 ? C4 ? 0.84134 ? 1 ? 0.501 ? 0.499 .

21.解: (1)定义域为: (0, ??) , 当 a ? e 时, f '( x) ?

(1 ? x)( xe x ? e) . x

∴ f ( x ) 在 (0,1) 时为减函数;在 (1, ??) 时为增函数. (2)记 t ? ln x ? x ,则 t ? ln x ? x 在 (0, ??) 上单增,且 t ? R . ∴ f ( x) ? xe x ? a(ln x ? x) ? et ? at ? g (t ) . ∴ f ( x ) 在 x ? 0 上有两个零点等价于 g (t ) ? e ? at 在 t ? R 上有两个零点.
t t ①在 a ? 0 时, g (t ) ? e 在 R 上单增,且 g (t ) ? 0 ,故 g (t ) 无零点;

②在 a ? 0 时, g '(t ) ? e ? a 在 R 上单增,又 g (0) ? 1 ? 0 ,
t
1 1 g ( ) ? e a ? 1 ? 0 ,故 g (t ) 在 R 上只有一个零点; a

③在 a ? 0 时,由 g '(t ) ? et ? a ? 0 可知 g (t ) 在 t ? ln a 时有唯一的一个极小值

g (ln a) ? a(1 ? ln a) .
若 0 ? a ? e , g最小 ? a(1 ? ln a) ? 0 , g (t ) 无零点; 若 a ? e , g最小 ? 0 , g (t ) 只有一个零点; 若 a ? e 时, g最小 ? a(1 ? ln a) ? 0 ,而 g (0) ? 1 ? 0 , 由于 f ( x) ?

ln x 在 x ? e 时为减函数,可知: a ? e 时, ea ? a e ? a 2 . x

从而 g (a) ? ea ? a 2 ? 0 , ∴ g ( x) 在 (0,ln a) 和 (ln a, ??) 上各有一个零点. 综上讨论可知: a ? e 时 f ( x ) 有两个零点,即所求 a 的取值范围是 (e, ??) . 22.解: (1)由 l : ? cos ? ? ? sin ? ? 10 ? 0 ,及 x ? ? cos? , y ? ? sin ? . ∴ l 的方程为 x ? 2 y ? 10 ? 0 . 由 x ? 3cos ? , y ? 2sin ? ,消去 ? 得

x2 y 2 ? ? 1. 9 4

(2)在 C 上取点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,则

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

1 ? 5cos(? ? ?0 ) ? 10 . 5

3 ? cos ?0 ? ? ? 5 其中 ? , ?sin ? ? 4 0 ? 5 ?
当 ? ? ?0 时, d 取最小值 5 . 此时 3sin ? ? 3cos ?0 ?

9 8 9 8 , 2sin ?0 ? 2 cos ?0 ? , M ( , ) . 5 5 5 5

23.解: (1)在 a ? 2 时, 2x ? 2 ? x ? 2 ? 1 . 在 x ? 1 时, (2 x ? 2) ? ( x ? 2) ? 1 ,∴ 1 ? x ? 5 ; 在 x ? ?2 时, ?(2 x ? 2) ? ( x ? 2) ? 1, x ? 3 ,∴ x 无解;

在 ?2 ? x ? 1 时, ?(2 x ? 2) ? ( x ? 2) ? 1 , x ? ? ,∴ ? 综上可知:不等式 f ( x) ? 1 的解集为 {x | ? (2)∵ x ? 2 ? ax ? 2 ? 4 恒成立, 而 x ? 2 ? ax ? 2 ? (1 ? a ) x , 或 x ? 2 ? ax ? 2 ? (1 ? a ) x ? 4 , 故只需 (1 ? a) x ? 4 恒成立,或 (1 ? a) x ? 4 ? 4 恒成立, ∴ a ? ?1 或 a ? 1 . ∴ a 的取值为 1 或 ?1 .

1 3

1 ? x ? 1. 3

1 ? x ? 5} . 3


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