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高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.4.2计算函数零点的二分法练习湘教版必修1

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2.4.2
[学习目标] 法,体会“逐步逼近”的思想.

计算函数零点的二分法

1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方

[知识链接] 现有一款三星手机,目前知道它的价格在 500~1 000 元之间,你能在最短的时间内猜出与它 最近的价格吗?(误差不超过 20 元),猜价格方案:(1)随机;(2)每次增加 20 元;(3)每次取 价格范围内的中间价,采取哪一种方案好呢? [预习导引] 用二分法求函数零点的一般步骤 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个零点 x0 的近似值 x,使它与零点的误 差不超过正数 ε ,即使得|x-x0|≤ε .用二分法求函数零点的一般步骤如下: (1)在 D 内取一个闭区间[a0,b0]? D,使 f(a0)与 f(b0)异号,即 f(a0)·f(b0)<0,零点位于 区间[a0,b0]中. (2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标为 x0= 计算 f(x0)和 f(a0).并判断: ①如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止; ②如果 f(a0)·f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]中,令 a1=a0,b1=x0; ③如果 f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令 a1=x0,b1=b0. (3)对区间[a1,b1],按(2)中的方法,可以得到区间[a2,b2],且它的长度是区间[a1,b1]长 度的一半. 如此反复地二分下去,可以得到一系列有限区间[a0,b0],[a1,b1],[a2,b2],[a3,b3],…, 其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半. 继续实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an,bn]上,当|an-bn|<2ε 时,区间[an,bn]

a0+b0
2

.

1 的中点 xn= (an+bn)就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零 2 点与真正零点的误差不超过 ε .

要点一 二分法概念的理解 例 1 下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )
1

答案 A 解析 按定义,f(x)在[a,b]上是连续的,且 f(a)·f(b)<0,才能不断地把函数零点所在 的区间一分为二,进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项 B、C、D 满足条 件, 而选项 A 不满足, 在 A 中, 图象经过零点 x0 时, 函数值不变号, 因此不能用二分法求解. 故 选 A. 规律方法 1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断 地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的 精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2. “二分法”与判定函数零点的定义密切相关, 只有满足函数图象在零点附近连续且在该零 点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 跟踪演练 1 (1)下列函数中,能用二分法求零点的为( )

(2)用二分法求函数 f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是( ①f(x)在区间[a,b]内连续不断;②f(a)·f(b)<0; ③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b)≥0. A.①② C.①④ 答案 (1)B (2)A B.①③ D.①②③

)

解析 (1)函数图象连续不断, 函数零点附近的函数值异号, 这样的函数零点才能使用二分法 求解,观察四个函数图象,只有 B 选项符合. (2)由二分法的意义,知选 A.

2

要点二 用二分法求方程的近似解 例 2 用二分法求方程 x -10=0 在区间[3.1,3.2]上的近似解(误差不超过 0.001,即 ε = 0.001). 解 设 f(x)=x -10,则 f(3.1)=-0.39,
2 2

f(3.2)=0.24.
取 a0=3.1,b0=3.2,有 f(a0)·f(b0)<0.列表计算:

n
0 1 2 3 4 5 6

an
3.100 0 3.150 0 3.150 0 3.150 0 3.156 3 3.159 4 3.161 0

bn
3.200 0 3.200 0 3.175 0 3.162 5 3.162 5 3.162 5 3.162 5

bn-an
0.100 0 0.050 0 0.025 0 0.012 5 0.006 2 0.003 1 0.001 5

f(an)
-0.390 0 -0.077 5 -0.077 5 -0.077 5 -0.037 8 -0.018 2 -0.008 1

f(bn)
0.240 0 0.240 0 0.080 6 0.001 4 0.001 4 0.001 4 0.001 4

an+bn xn=
2 3.150 0 3.175 0 3.162 5 3.156 3 3.159 4 3.161 0 3.161 8

由于 b6 - a6 = 0.001 5 < 0.002 = 2ε ,计算停止,取 x = x6 = 75≈3.162 为方程的近似解. 规律方法 给定 ε ,用二分法求 f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(a)·f(c)>0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)).

3.161 0+3.162 5 = 3.161 2

(4)重复第(3)步,可得到一系列有限区间,其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一 半,当所在区间值小于 2ε 时,区间中点就是函数 f(x)的近似零点. 跟踪演练 2 若函数 f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定 f(x)的零点所 在的区间为______.(只填序号) ①(-∞,1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6,+∞)

x f(x)

1 136.123

2 15.542

3 -3.930

4 10.678

5 -50.667

6 -305.678

3

答案 ③④⑤

1.用二分法求函数 f(x)=x +5 的零点可以取的初始区间是( A.[-2,1] C.[0,1] 答案 A 解析 ∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0, B.[-1,0] D.[1,2]

3

)

f(-2)·f(1)<0,故可取[-2,1]作为初始区间,用二分法逐次计算.
2.定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数 f(x)在区间(a,b)上有一个 零点 x0, 且 f(a)·f(b)<0, 用二分法求 x0 时, 当 f? A.(a,b)外的点 B.x=

?a+b?=0 时, 则函数 f(x)的零点是( ? ? 2 ?

)

a+b
2

C.区间?a,

? ?

a+b? ?a+b ? ,b

?或? 2 ? ? 2

?内的任意一个实数 ?

D.x=a 或 x=b 答案 B 解析 由二分法的思想, 采用二分法得到的零点可能是准确值, 也可能是近似值. 由 f? =0,知选 B. 3.函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程 f(x)=0 在(1,2)内近似解的过程 中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为( A.(1.25,1.5) C.(1.5,2) 答案 A 解析 由于 f(1.25)f(1.5)<0,则方程的解所在区间为(1.25,1.5). 4.函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间( ) B.(1,1.25) D.不能确定 )

?a+b? ? ? 2 ?

?1 1? A.? , ? ?8 4? ?1 ? C.? ,1? ?2 ?
答案 C

?1 1? B.? , ? ?4 2?
D.(1,2)

4

15 ?1? 解析 f? ?=- <0, 4 ?8?

f? ?=- <0, 4 f? ?=-1<0, 2 f(1)=1>0,f(2)=4>0,

?1? ? ? ?1? ? ?

5 2

?1 ? ∴函数零点落在区间? ,1?上. ?2 ?
5.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间(2,3)内的实根,取区间中点为 x0=2.5,那么下一 个有根的区间是________. 答案 (2,2.5) 解析 f(2)=2 -2×2-5=-1<0,
3 3

f(2.5)=2.53-2×2.5-5=5.625>0,
∴下一个有根的区间是(2,2.5).

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到 零点附近足够小的区间,根据所要求的误差,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足: (1)在区间[a,b]上连续不断; (2)f(a)·f(b)<0. 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.

一、基础达标 1.已知函数 f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )

A.4,4 答案 D

B.3,4

C.5,4

D.4,3

解析 由图象知函数 f(x)与 x 轴有 4 个交点,因此零点个数为 4,从左往右数第 4 个交点两 侧不满足 f(a)·f(b)<0,因此不能用二分法求零点,而其余 3 个均可使用二分法求零点.

5

2.为了求函数 f(x)=2 -x 的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量 x 和函数值 f(x) 的部分对应值[f(x)的值精确到 0.01]如下表如示:

x

2

x f(x)

0.6 1.16

1.0 1.00

1.4 0.68 )

1.8 0.24

2.2 -0.25

2.6 -0.70

3.0 -1.00

则函数 f(x)的一个零点所在的区间是( A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2) 答案 C

B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0)

解析 ∵f(1.8)·f(2.2)=0.24×(-0.25)<0, ∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选 C. 3.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可 得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________,以上横线上应填的内容为( A.(0,0.5),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) 答案 A 解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算. 由 f(0)<0, f(0.5)>0 知 x0∈(0,0.5). 再 计算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值,以判断 x0 的更准确位置. 4.设方程 2x+2 =10 的根为 β ,则 β ∈( A.(0,1) C.(2,3) 答案 C 解析 设 f(x)=2x+2 -10,则 f(x)在 R 上为单调增函数,故只有一个零点.f(0)=-9,
x x
3

)

B.(0,1),f(0.25) D.(0,0.5),f(0.125)

)

B.(1,2) D.(3,4)

f(1)=-6, f(2)=-2,f(3)=4,∴f(2)·f(3)<0.∴β ∈(2,3).

?1?x 5.函数 y=? ? 与函数 y=lg x 的图象的交点的横坐标约是( ?2?
A.1.5 C.1.7 答案 D B.1.6 D.1.8

)

?1?x 解析 设 f(x)=lg x-? ? , ?2?
1 1 经计算 f(1)=- <0,f(2)=lg 2- >0, 2 4

?1?x 所以方程 lg x-? ? =0 在(1,2)内有解. ?2?
6

应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间,可知选项 D 符合要求. 3 6.用二分法求方程 ln x-2+x=0 在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点 c= ,则下 2 一个含根的区间是________.

? 3? 答案 ?1, ? 2 ? ?
解析 令 f(x)=ln x-2+x, ∵f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,

f? ?=ln - >0, 2

?3? ? ?

3 1 2 2

? 3? ∴下一个含根的区间是?1, ?. ? 2?
7.用二分法求函数 f(x)=3 -x-4 的一个零点,其参考数据如下:
x

f(1.600 0)=0.200 f(1.562 5)=0.003
x

f(1.587 5)=0.133 f(1.556 2)=-0.029

f(1.575 0)=0.067 f(1.550 0)=-0.060

据此数据,求 f(x)=3 -x-4 的一个零点的近似值(误差为 0.01). 解 由表中 f(1.562 5)=0.003,f(1.556 2)=-0.029. ∴f(1.562 5)·f(1.556 2)<0. 又|1.562 5-1.556 2|=0.006 3<0.01, ∴一个零点近似值为 1.562 5(不唯一). 二、能力提升 8.在用“二分法”求函数 f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取 的区间可能是( A.[1,4] 5? ? C.?-2, ? 2? ? 答案 D 解析 由于第一次所取的区间为[-2,4], ∴第二次所取区间为[-2,1]或[1,4], 第三次所取区间为 ) B.[-2,1]

? 1 ? D.?- ,1? ? 2 ?

?-2,-1?,?-1,1?,?1,5?或?5,4?. ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2 ? ? 2? ?2 ?
9.下面关于二分法的叙述,正确的是( A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 C.二分法无规律可循
7

)

D.只有在求函数零点时才用二分法 答案 B 解析 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法 求函数的零点的近似值,故 A 错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故 C 错;求 方程的近似解也可以用二分法,故 D 错. 10.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这个零 点(误差为 0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________. 答案 4 0.1 n 解析 设等分的最少次数为 n,则由 n <0.01,得 2 >10,∴n 的最小值为 4. 2 11.画出函数 f(x)=x -x-1 的图象,并利用二分法说明方程 x -x-1=0 在[0,2]内的根 的情况. 解 图象如图所示,
2 2

因为 f(0)=-1<0,f(2)=1>0, 所以方程 x -x-1=0 在(0,2)内有根 x0; 取(0,2)的中点 1, 因为 f(1)=-1<0, 所以 f(1)·f(2)<0,根 x0 在区间(1,2)内; 再取(1,2)的中点 1.5,f(1.5)=-0.25<0, 所以 f(1.5)·f(2)<0,根 x0 在区间(1.5,2)内; 取(1.5,2)的中点 1.75,f(1.75)=0.312 5>0, 所以 f(1.5)·f(1.75)<0,根 x0 在区间(1.5,1.75)内.这样继续下去,可以得到满足一定精 确度的方程的近似根. 三、探究与创新 12.求方程 ln x+x-3=0 在(2,3)内的近似解.(误差为 0.1) 解 令 f(x)=ln x+x-3,求函数 f(x)=0 在(2,3)内的零点. ∵f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下: 区间 (2,3) (2,2.5) 中点的值 2.5 2.25 中点函数近似值 0.416 0.061
8
2

(2,2.25) (2.125,2.25) ∵2.25-2.187 5=0.062 5<0.1,

2.125 2.187 5

-0.121 -0.030

∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值, 即方程的近似解可取为 2.25. 13.用二分法求 5的近似值(误差为 0.1). 解 设 x= 5,则 x =5,即 x -5=0, 令 f(x)=x -5. 因为 f(2.2)=-0.16<0.f(2.4)=0.76>0, 所以 f(2.2)·f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0, 取区间(2.2,2.4)的中点 x1=2.3,则 f(2.3)=0.29. 因为 f(2.2)·f(2.3)<0,∴x0∈(2.2,2.3), 再取区间(2.2,2.3)的中点 x2=2.25,
2 2 2

f(2.25)=0.062 5.
因为 f(2,2)·f(2.25)<0, 所以 x0∈(2.2,2.25). 由于|2.25-2.2|=0.05<0.1, 所以 5的近似值可取为 2.25.

9


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