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高中数学选修2-1新教学案:1.4.3含有一个量词的命题的否定


选修 2—1

1.4.3 含有一个量词的命题的否定 (学案)

【知识要点】 全称命题和特称命题的否定. 【学习要求】 1.能正确地对含有一个量词的命题进行否定; 2.熟悉用符号语言表达全称命题和特称命题; 3.通过对命题及其否定的形式变化,知道全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定 是全称命题.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 24 页~第 25 页) 1.全称命题的否定: 全称命题“ ?x ? M , p( x) ”的否定是 命题“ ”.

这个法则很容易理解:要否定全称命题“ ?x ? M , p( x)成立 ” ,只需在 M 中找到一个 ;证明一个全称命题是一个假命题时, x ,使得 p( x) 不成立,亦即“ ?x ? M , ?p( x) 成立” 只需举一个反例就可以. 2.特称命题的否定: 特称命题“ ?x0 ? M , p( x0 ) ”的否定是 命题“ ”.

这个法则也很容易理解:要否定特称命题 ?x0 ? M , p( x0 )成立 ” “ ,需要验证对 M 中的 每一个 x ,均有 p ( x) 不成立,这就是命题“ ?x ? M , ?p( x) 成立”. 3.在写一个命题的否定时, 要分清这个命题是全称命题还是特称命题.特别要注意的是, 有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不能将它们当成单称命题而将否定写错.例如: 质数是奇数.这是一个全称命题:所有质数都是奇数.所以它的否定是:有些质数不是奇数.如 果写成“质数不是奇数”就错了.再如:命题“负数的平方是正数”.如果将命题的否定写成 “负数的平方不是正数”也错了.应写成 . 【基础练习】 1.写出下列命题的否定: (1) ?n ? Z, n?Q; (2) 任意素数都是奇数; (3) 每个指数函数都是单调函数. 2. 写出下列命题的否定: (1) 有些三角形是直角三角形; (2) 有些梯形是等腰梯形;

1

(3) 存在一个实数,它的绝对值不是正数. 【典型例题】 例 1 写出下列全称命题的否定,并判断其真假: (1) p : 所有能被 3 整除的整数都是奇数; (2) p : 每一个四边形的四个顶点共圆;
2 (3) p : 对任意 x?Z, x 的个位数字不等于 3;

(4) p : 任意的两个实数都能比较大小; (5) p : 直线 l ? 平面 ? ,则对任意 l ' ? ? , l ? l ' ; (6) p : ?x ? 1,log2 x ? 0 . 变式 1:写出下列命题的否定,并判断其真假: (1) p : 实数的平方是正数; (2) p : 梯形的四条边不全相等; (3) p : 负数的绝对值是正数. 例 2 写出下列特称命题的否定,并判断它们的真假:
2 (1) p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ;

(2) p : 有的三角形是等边三角形; (3) p : 有一个素数含三个正因数; (4) p : 任意两个等边三角形都是相似的;
2 (5) p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 .

变式 2:写出下列命题的否定,并判断其真假: (1) p : 有一个素数是偶数;
* (2) p : 91 ? ? A ? B ? 其中全集U ? N , A ? x x是质数 ,B ? x x是正奇数

?

?

?

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2 (3) p : ?x ? 1, 使x ? 2x ? 3 ? 0 .

1. “ ?x ? M , p( x) ”的否定是( (A) ?x ? M , ?p( x) (C) ?x ? M , ?p( x) 2. “ ?x ? M , ?p( x) ”的否定是

). (B) ?x ? M , p( x) (D) ?x ? M , p( x) .

3.下列命题的否定说法错误的是( ). (A) p : 能被 3 整除的数是奇数; ?p : 存在一个能被 3 整除的数不是奇数 (B) p : 每个四边形的四个顶点共圆; ?p : 存在一个四边形的四个顶点不共圆 (C) p : 有的三角形为正三角形; ?p : 所有的三角形不都是正三角形

2

2 2 (D) p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ; ?p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0

4.命题“对任意的 x ?R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是(
3 2

).
3 2

(A)不存在 x ?R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

(B) 存在 x ?R, x ? x ? 1 ? 0 (D) 对任意的 x ?R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

(C) 存在 x ?R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

5. 已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则( (A) ?p : ?x ? R, sin x ? 1 (C) ?p : ?x ? R, sin x ? 1 6.写出下列命题的否定,并判断真假:
2 2 (1) ?x ? N, x ? x ;

). (B) ?p : ?x ? R, sin x ? 1 (D) ?p : ?x ? R, sin x ? 1

(2) 所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0;
2 (3) ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ;

(4) 存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 7.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1) 每条直线在 y 轴上都有截距; (2) 每个二次函数的图象都与 x 轴相交; 0 (3) 存在一个三角形,它的内角和小于 180 . 8.命题“两直线平行,同位角相等”的否命题

.

1. 写出下列命题的否命题: (1) 正方形的四边相等; (2) 平方和为 0 的两个实数都为 0; (3) 若三角形是锐角三角形,则三角形的任何一个内角是锐角; (4) 若 abc ? 0 ,则 a、b、c 中至少一个为 0; (5) 若 ? x ?1?? x ? 2? ? 0 ,则 x ? 1 且 x ? 2 . 2.已知直线在平面内的定义为: a ? ? ? ?A ? a, 有A ?? .仿照此例写出直线在平面 外的定义.

3

选修 2—1

1.4.3 含有一个量词的命题的否定 (教案)

【教学目标】 :在理解全称命题和特称命题概念的基础上,能正确地对含有一个量词的命题进 行否定.并能够判别命题及命题的否定的真假. 【重点】: 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.并能够判别命题及命题的否定的真假. 【难点】 :写出含有一个量词的命题的否定

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 24 页~第 25 页) 1.全称命题的否定: 全称命题“ ?x ? M , p( x) ”的否定是 特称 命题“ ?x0 ? M , ?p( x0 ) ”. 这个法则很容易理解:要否定全称命题“ ?x ? M , p( x)成立 ” ,只需在 M 中找到一个 ;证明一个全称命题是一个假命题时, x ,使得 p( x) 不成立,亦即“ ?x ? M , ?p( x) 成立” 只需举一个反例就可以. 2.特称命题的否定: 特称命题“ ?x0 ? M , p( x0 ) ”的否定是 全称 命题“ ?x ? M , ?p( x) ”. 这个法则也很容易理解:要否定特称命题 ?x0 ? M , p( x0 )成立 ” “ ,需要验证对 M 中的 每一个 x ,均有 p ( x) 不成立,这就是命题“ ?x ? M , ?p( x) 成立”. 3.在写一个命题的否定时, 要分清这个命题是全称命题还是特称命题.特别要注意的是, 有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不能将它们当成单称命题而将否定写错.例如: 质数是奇数.这是一个全称命题:所有质数都是奇数.所以它的否定是:有些质数不是奇数.如 果写成“质数不是奇数”就错了.再如:命题“负数的平方都是正数”.如果将命题的否定写 成“负数的平方不都是正数”也错了.应写成 存在一个负数,它的平方不是正数 . 【基础练习】 1.写出下列命题的否定: (1) ?n ? Z, n?Q; (2) 任意素数都是奇数; (3) 每个指数函数都是单调函数. 解: (1) ?n0 ?Z, n0 ? Q;
4

(2)存在一个素数,它不是奇数; (3)存在一个指数函数,它不是单调函数. 2. 写出下列命题的否定: (1) 有些三角形是直角三角形; (2) 有些梯形是等腰梯形; (3) 存在一个实数,它的绝对值不是正数. 解: (1) 所有三角形都不是直角三角形; (2) 每个梯形都不是等腰梯形; (3) 所有实数的绝对值都是正数. 【典型例题】 例 1 写出下列全称命题的否定,并判断其真假: (1) p : 所有能被 3 整除的整数都是奇数; (2) p : 每一个四边形的四个顶点共圆;
2 (3) p : 对任意 x?Z, x 的个位数字不等于 3;

(4) p : 任意的两个实数都能比较大小; (5) p : 直线 l ? 平面 ? ,则对任意 l ' ? ? , l ? l ' ; (6) p : ?x ? 1,log2 x ? 0 . 【审题要津】根据全称命题的否定是特称命题的事实,尽量用简洁、自然的语言表述一 个含有量词的命题的否定. 解: (1) ?p : 存在一个能被 3 整除的整数不是奇数;真 (2) ?p : 存在一个四边形它的四个顶点不共圆;真
2 (3) ?p : ?x0 ? Z, x0 的个位数字等于 3;假

(4) ?p : 存在两个实数不能比较大小;假
' ' (5) ?p : 直线 l ? 平面 ? ,则 ?l ? ? , l与l 不垂直;假

(6) ?p : ?x ? 1,log2 x ? 0 .假 【方法总结】要正确的地对含有一个量词的全称命题进行否定,一方面要充分理解量词 的含义,另一方面要充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系. 变式 1:写出下列命题的否定,并判断其真假: (1) p : 实数的平方是正数; (2) p : 梯形的四条边不全相等; (3) p : 负数的绝对值是正数. 解: (1) ?p : 存在一个实数,它的平方不是正数;真 (2) ?p : 有些梯形的四条边全相等;假 (3) ?p : 有些负数的绝对值不是正数.假 例 2 写出下列特称命题的否定,并判断它们的真假:
2 (1) p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 ;

(2) p : 有的三角形是等边三角形;

5

(3) p : 有一个素数含三个正因数; (4) p : 任意两个等边三角形都是相似的;
2 (5) p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 .

【审题要津】根据特称命题的否定是全称命题的事实,尽量用简洁、自然的语言表述一 个含有量词的命题的否定.
2 解: (1) ?p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ;真

(2) ?p : 所有的三角形都不是等边三角形;假 (3) ?p : 每一个素数都不含三个正因数;真 (4) ?p : 存在两个等边三角形,它们不相似;假
2 (5) ?p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ;真

【方法总结】要正确的地对含有一个量词的全称命题进行否定,一方面要充分理解量词 的含义,另一方面要充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系. 变式 2:写出下列命题的否定,并判断其真假: (1) p : 有一个素数是偶数;
* (2) p : 91 ? ? A ? B ? 其中全集U ? N , A ? x x是质数 ,B ? x x是正奇数

?

?

?

?

?? ;

(3) p : ?x ? 1, 使x2 ? 2x ? 3 ? 0 . 解: (1) ?p : 所有的素数都不是偶数;假 (2) ?p : 91? A, 或91? B ;真
2 (3) ?p : ?x ? 1, x ? 2 x ? 3 ? 0 .假

1. “ ?x ? M , p( x) ”的否定是( C (A) ?x ? M , ?p( x) (C) ?x ? M , ?p( x)

). (B) ?x ? M , p( x) (D) ?x ? M , p( x)

2. “ ?x ? M , ?p( x) ”的否定是 ?x ? M , p( x) . 3.下列命题的否定说法错误的是( C ). (A) p : 能被 3 整除的数是奇数; ?p : 存在一个能被 3 整除的数不是奇数 (B) p : 每个四边形的四个顶点共圆; ?p : 存在一个四边形的四个顶点不共圆 (C) p : 有的三角形为正三角形; ?p : 所有的三角形不都是正三角形
2 2 (D) p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ; ?p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0

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4.命题“对任意的 x ?R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( C ).
3 2

(A)不存在 x ?R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

(B) 存在 x ?R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

(C) 存在 x ?R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

(D) 对任意的 x ?R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

5. 已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则( C ). (A) ?p : ?x ? R, sin x ? 1 (C) ?p : ?x ? R, sin x ? 1 6.写出下列命题的否定,并判断真假:
3 2 (1) ?x ? N, x ? x ;

(B) ?p : ?x ? R, sin x ? 1 (D) ?p : ?x ? R, sin x ? 1

(2) 所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0;
2 (3) ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ;

(4) 存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
3 2 解: (1) ?x0 ? N, x0 ? x0 ;真

(2) 存在一个可以被 5 整除的整数,末位数字不是 0;真
2 (3) ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;假

(4) 所有四边形的对角线不互相垂直.假 7.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1) 每条直线在 y 轴上都有截距; (2) 每个二次函数的图象都与 x 轴相交; (3) 存在一个三角形,它的内角和小于 180 . 解: (1) 假命题.存在一条直线,它在 y 轴上没有截距; (2) 假命题.存在一个二次函数,它的图象与 x 轴不相交; (3) 假命题.每个三角的内角和不小于 180 . 8.命题“两直线平行,同位角相等”的否命题 两条直线不平行,同位角不相等 .
? ?

1. 写出下列命题的否命题: (1) 正方形的四边相等; (2) 平方和为 0 的两个实数都为 0; (3) 若三角形是锐角三角形,则三角形的任何一个内角是锐角;

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(4) 若 abc ? 0 ,则 a、b、c 中至少一个为 0; (5) 若 ? x ?1?? x ? 2? ? 0 ,则 x ? 1 且 x ? 2 . 解: (1) 存在一个正方形的四边不相等; (2) 平方和为 0 的两个实数不都为 0; (3) 若 ?ABC 是锐角三角形,则 ?ABC 某个内角不是锐角; (4) 若abc ? 0, 则a, b, c中都不为0 ; (5) 若? x ?1?? x ? 2? ? 0, 则x ? 1或x ? 2 . 2.已知直线在平面内的定义为: a ? ? ? ?A ? a, 有A ?? .仿照此例写出直线在平面 外的定义. 解: 直线在平面外的定义为: a ? ? ? ?A ? a, 有A ?? .

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