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【名师原创 全国通用】2014-2015学年高三寒假作业 数学(三)Word版含答案

【原创】高三数学寒假作业(三) 一、选择题,每小题只有一项是正确的。 1. 集合 A ? ?1,2,3,4,5?, B ? ?1,2,3?, C ? ?z | z ? xy, x ? A且y ? B? ,则集合 C 中的元素个数为 A.3 B.4 C.11 D.12 ) D. ? ?1, 0? 2.设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? ?x | x2 ? x? ,则 M ? N ? ( A. ?0,1? B. ? ?1,1? x C. ? ?1,1? 3.若命题 p : ?x ? R, log2 x ? 0 ,命题 q : ?x0 ? R,2 0 ? 0 ,则下列命题为真命题的是 ( ) B. p ? q C. (?p) ? q D. p ? (?q ) ). A. p ? q 4.下列各组函数中,表示相等函数的是( A.y= 5 x5 与 y= x2 B.y=ln e 与 y=e x ln x C. D.y=x 与 y= 0 与 y=x+3 1 x0 ) B.函数 [f (x) ] 是奇函数 D.函数 f (x)+x 是奇函数 2 2 5.若函数 f (x) (x∈R)是奇函数,则( A.函数 f (x )是奇函数 C.函数 f (x) ? x 是奇函数 2 2 6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于. A.13 B.35 C.49 D.63 ) 7.已知 sin x ? cos x ? 18 A. 25 3 2 ,则 sin 2 x ? ( 5 7 7 ? B. 25 C. 25 16 D. 25 ? x2 y 2 8.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1的直线,该直线与双曲线的两条 a b 渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 B. 3 2 ??? ? ? 1 ??? BC ,则双曲线的离心率是( 2 C. 5 D. 10 ) 9.已知函数 y ? loga (? x ? log2 a x) 对任意 x ? (0, 2 ) 时都有意义,则实数 a 的范围是( ) A. 1 1 1 ?a? 32 2 B. 0 ? a ? 1 D. a ? 1 C. 1 ? a ?1 2 二、填空题 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 10.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为 ?x ? 0 ? 11.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为__ ___. 2 2 12.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 a ? c ? 3b ,且 sin B ? 8 cos A sin C , 则边 b 等于 . 13.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的中点, AE 与 BD 交于点 F ,则 uuu r uuu r FD ? DE ? ________. A F E D B C 三、计算题 14.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? 15. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A= 2 AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的中点. (1)证明:EF∥平面 ABC; (2)证明:C1E⊥平面 BDE. ? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ? 16.(本题满分 12 分) 如图,椭圆 C : x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点、上顶点分别为点 A 、 B ,且 a 2 b2 | AB |? 5 | BF | . 2 (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ,且 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点, OP ? OQ .求直线 l 的方 程及椭圆 C 的方程. y B x O F A 【原创】高三数学寒假作业(三)参考答案 一、选择题 1~5 CADDC 二、填空题 10.10 6~9 CCCA 11. 2 3 12.4 13. ? 3 2 三、计算题 14. (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2 x , ∴函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ? ? 6 ?x? ? 2 ?? ? 3 ? 2 x ? ? ,∴ ? 3 ? sin 2 x ? 1 , 2 ∴ f ( x) 在区间 ? ? 15. 3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2? 证明(1)如图,取 BC 的中点 G,连结 AG,FG. 因为 F 为 C1B 的中点,所以 FG // 1 C1C. 2 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A // C1C,且 E 为 A1A 的中点, 所以 FG // EA. 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF∥AG. ………………………… 4 分 因为 EF?平面 ABC,AG?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. ………………………… 6 分 (2)因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,BD?平面 ABC, 所以 A1A⊥BD. 因为 D 为 AC 的中点,BA=BC,所以 BD⊥AC. 因为 A1A∩AC=A,A1A?平面 A1ACC1,AC?平面 A1ACC1,所以 BD⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E?平面 A1ACC1,所以 BD⊥C1E. 根据题意,可得 EB=C1E= 2 2 2

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