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幂函数导学案


高一数学必修 1 幂函数导学案(一)
【学习目标】 【知识与技能】 1. 理解幂函数的概念. 2. 通过具体实例研究幂函数的图象和性质,并初步进行应用. 【过程与方法】 通过对幂函数的学习,使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法. 【情感、态度价值观】 1. 进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法. 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质. 3. 通过引导学生主动参与作图、分析图象,培养学生的探索精神,并在研究函数 变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点. 【重点难点】 重点:通过五个具体的幂函数认识概念,研究性质,体会图象的变化规律. 难点:画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 【学习过程】 请将下列问题中的 y 表示成 x 的函数. 1. 如果张红购买了每千克 1 元的水果 x 千克,那么她需要支付 y= 元; 2. 如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积 y= ; 3. 如果立方体的边长为 x,那么立方体的体积 y= ; 4. 如果一个正方形场地的面积为 x,那么这个正方形场地的边长 y= 5. 如果某人以 x m3/s 的速度向蓄水池注入了体积为 1m3 的水,那么他注水的时间 y= 问题一: (1)这五个函数是指数函数么? (2)指数函数的解析式是_______________ (3)指数函数的特点:底数为_____ 指数为______ 问题二: 这五个函数又有什么共同特征? (1)______是常数 (2)______是变量 (3)xa 系数是____ (4)都是_______的形式

幂函数的定义 : 一般地,形如 y ? x ( x? R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数.
?

问题一: 下列函数中(1) y ? 2 x , y ? 2x , y ? (2) (3)
2

1 x , y ? 2 , 是幂函数的是________. (4) : x

问题二:幂函数经过点(2, 2 ) ,求函数 f(x)的解析式 【合作探究】 1、在同一个坐标系下作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x ; (3) y ? x . (4) y ? x ;
2 3

1 2



(5) y ? x ; 2.通过观察图像,填下列的表格
y?x
y ? x2

?1

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 s. 定点 3、幂函数 y ? x 的主要性质: (1)幂函数 y ? x 在第一象限内的特征: 若 ? ? 1,函数的图象都过定点 数 数 数 (2)幂函数 y ? x 的图象必过第 看
? ? ?

,下凸递增,在区间 ,上凸递增,在区间 ,下凸递减,在区间 象限,必不过第 象限,有可能过第

是 是 是

函 函 函

若 0 ? ? ? 1,函数的图象都过定点 若 ? ? 0 ,函数的图象都过定点

象限,具体

幂函数 y ? x 的奇偶性。 y ? x 是偶函数时,图象还在第 象限,是奇函数时,图 象还在第 象限;也有可能既不是奇函数也不是偶函数,但不可能既是奇函数也是偶 函数. 例 1.已知函数 y=(a2-3a+2) x
a 2 ?5 a ? 5

?

?

(a 为常数).

(1)当 a 为何值时,此函数为幂函数? (2)当 a 为何值时,此函数为正比例函数? (3)当 a 为何值时,此函数为反比例函数? 例 2 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. (1)y=x ; (2)y=x
2 5 ? 3 4

; (3)y=x

-2

例 3 证明幂函数 f(x)= x 在[0,+∞)上是增函数

【我的收获】

【课堂小测】

1 1. 下列函数(1) y ? x ,(2) y ? x ,(3) y ? ,(4) y ? x 2 ,在 ?? ?,0? 上是增函数的是___. x
3 2

3

2. 已知幂函数 f (x) 的图象经过点 2, 2 ,则 f (x) ? 3. 已知幂函数 f (x) 的图象经过点(9, 4.比较下列各组数的大小 (1) 3 2 和3.1
? 5 ? 5 2

?

?

. .

1 ) ,则 f (25) ? 3
1 9
7

(2) ?8 8 和 ? ( ) 8

?

7

(3) (? ) 3 和( ?

2 3

?

2

?
6

)

?

2 3


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