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2016-2017学年人教A版必修四 简单的三角恒等变换 课件(47张)


第三章

三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换

[学习目标] 1.体会二倍角公式的变形,能由二倍角 公式得出半角公式(难点). 2.体会利用和角、差角公式 进行变形的方法、技巧,并能运用换元法和方程的思想进 行三角变换(重点). 3.进一步熟悉 asin x+bcos x 的变形 及性质, 并能应用于三角函数式的化简、 求值等问题中(重 点).

[知识提炼· 梳理] 1.半角公式

温馨提示 对于半角公式, 要求会推导, 不要求记忆.

2.辅助角公式 asin x+bcos x=
? a2+b2sin(x+φ)? ?cos φ= ?

a , a2+b2

b ? sin φ= 2 2? ,其中 φ 称为辅助角,它的终边所在象 a +b ? ? 限由点(a,b)决定.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)半角公式适用于任意角.( ) )

(2)半角公式与倍角公式的实质是一样的.( α (3)cos = 2 1+cos α .( 2 )

α (4) 若 α 是 第 一 角 限 角 , 则 tan = 2 1-cos α .( 1+cos α )

答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√

2 α 2.若 cos α= ,α∈(0,π),则 cos 的值为( 3 2 6 A. 6 6 B.- 6 30 C. 6

)

30 D.- 6

α ? π? α 解析:由题意知 ∈?0,2?,所以 cos >0, 2 ? 2 ? α cos = 2 答案:C 1+cos α 30 = . 2 6

?3π ? 3 α 3.已知 cos α= ,α∈? 2 ,2π?,则 sin 等于( 5 2 ? ?

)

5 5 4 2 5 A. B.- C. D. 5 5 5 5 α ?3π ? α α ? ? 解析:由题知 ∈ 4 ,π 所以 sin > 0 , sin = 2 ? 2 2 ? 1-cos α 5 = . 2 5 答案:A

4. cos 105°+cos 15°=________. 解析:cos 105°+cos 15°=-sin 15°+cos 15°=- 2 2 sin(15°-45°)= 2sin 30°= . 2 2 答案: 2

3 5.已知 cos θ=- ,且 180°< θ <270°,则 tan 5 θ =________. 2 θ 解析:因为 180°< θ<270°,所以 90°< <135°, 2 θ θ 即 是第二象限角,所以 tan <θ. 2 2

θ 所以 tan = 2 答案:-2

1-cos θ = 1+cos θ

? 3? 1-?-5? ? ? ? 3?=-2. 1+?-5? ? ?

类型 1 三角函数式的化简求值 5 2 α [典例 1] (1)已知 sin α= , cos α= 5, 则 tan 等 5 5 2 于( ) A.2- 5 C. 5-2 B.2+ 5 D.±( 5-2)

(2) 2+2cos 8+2 1-sin 8的化简结果是________.

2 5 (1)解析:因为 sin α= >0,cos α= 5>0, 5 5 所以 α 的终边落在第一象限, α α 的终边落在第一、三象限.所以 tan >0, 2 2 α 故 tan = 2 1-cos α = 1+cos α 2 5 1- 5 = 5-2. 2 5 1+ 5

(2)解析:原式= 4cos2 4+2 1-2sin 4cos 4 = 2|cos 4|+2 (sin 4-cos 4)2= 2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|. 5π 3π 因为 <4< , 4 2 所以 cos 4<0,sin 4<cos 4<0, 所以 sin 4-cos 4<0.

从而原式=-2cos 4-2sin 4+2cos 4=-2sin 4. 答案:(1)C (2)-2sin 4

归纳升华 对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于 三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于 二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切割 化弦、变量代替、角度归一等方法.

[变式训练] 化简 (-π<α<0). 解析:原式=
? ?2sin2 ?

? α α? (1-sin α-cos α)?sin 2+cos 2? ? ?

2-2cos α

α α α?? α α? -2sin cos ??sin +cos ? 2 2 2 ?? 2 2? = 2 α 2×2sin 2

α?? α α? α? α 2sin ?sin 2-cos 2 ??sin 2+cos 2 ? 2? ?? ? = ? α? 2?sin 2? ? ?
? α? 2 α α 2 α sin ?sin 2-cos 2? -sin cos α 2? 2 ? = ? α? ? α? ?sin ? ?sin ? 2? 2? ? ?

π α 因为-π<α<0,所以- < <0, 2 2

α -sin cos α 2 α 所以 sin <0,所以原式= =cos α. α 2 -sin 2

类型 2 三角恒等式的证明 1+sin θ-cos θ 1+sin θ+cos θ [典例 2] 求证: + = 1+sin θ+cos θ 1+sin θ-cos θ 2 . sin θ
证明:法一: θ 2sin +2sin 2 左边= 2 θ 2cos +2sin 2
2

θ cos 2 θ cos 2

θ 2cos2 2 θ+ 2 2sin 2

θ +2sin 2 θ +2sin 2

θ cos 2 θ cos 2

θ 2 θ 2

= θ sin cos 2 + θ cos sin 2 θ 2 = θ cos 2 1 2 = =右边. θ θ sin θ sin 2 2

所以原式成立.

法二: (1+sin θ-cos θ)2+(1+sin θ+cos θ)2 左边= (1+sin θ+cos θ)(1+sin θ-cos θ) 2 = = = = 2 2 2 sin θ (1+sin θ) -cos θ 2sin θ+2sin θ 右边. 所以原式成立. 2(1+sin θ)2+2cos2 θ 4+4sin θ

归纳升华 三角恒等式证明的常用方法 1.执因索果法:证明的形式一般化繁为简. 2.左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子. 3.比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/ 右边=1”.

4.分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等 式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以 判定原等式成立.

3x x 2sin x [变式训练] 求证:tan -tan = . 2 2 cos x+cos 2x 2sin x 证明:右边= = cos x+cos 2x
?3x x? 2sin ? 2 -2? ? ? ?3x x? ?3x x?= cos? 2 -2?+cos? 2 +2? ? ? ? ?

3x x 3x x sin cos -cos sin 2 2 2 2 = 3x x cos cos 2 2
3x sin sin 2 - 3x cos cos 2 x 2 3x x =tan -tan =左边. x 2 2 2

所以原式成立.

类型 3 关于三角函数性质的综合问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) =4cos
? π? ωx·sin?ωx+4?(ω>0)的最小正周期为 π. ? ?

(1)求 ω 的值;
? π? (2)讨论 f(x)在区间?0,2?上的单调性. ? ?

审题指导:先利用两角和的正弦公式,再利用倍角公 式“降次”,进而利用辅助角公式,化为一个角的一种三 角函数的形式求解.

[正确解答]

? π? (1)f(x)=4cos ωx·sin?ωx+4?= ? ?

2 2sin ωx·cos ωx+2 2cos2 ωx= 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2=
? π? 2sin?2ωx+4? ? ?

+ 2(4 分)

失分警示:若求错此式,扣 4 分.

因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有 =π,故 ω=1.(6 分) 2ω
? π? (2)由(1)知,f(x)=2sin?2x+4?+ ? ?

2.

π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ .(7 分) 4 4 4 4 π 失分警示:若忽视对 2x+ 范围的判断,扣 1 分. 4

π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ ,f(x)单调递增;(9 分) 4 4 2 8 π π 5π π π 当 <2x+ ≤ ,即 <x≤ 时,f(x)单调递减.(11 2 4 4 8 2 分)
? π? 综上可知, f(x) 在区间 ?0,8? 上单调递增,在区间 ? ? ?π π? ? , ?上单调递减.(12 分) ?8 2 ?

归纳升华 研究三角函数的性质,如单调性和最值问题,通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换, 转化为一种简单 的三角函数,再研究转化后函数的性质.在这个过程中通 常利用辅助角公式, 将 y=asin x+bcos x 转化为 y=Asin(x +φ)或 y=Acos(x+φ)的形式,以便研究函数的性质.

[ 类题尝试 ] (2015· 天津卷 ) 已知函数 f(x) = sin2x - sin
2

? π? ?x- ?,x∈R. 6? ?

(1)求 f(x)的最小正周期;
? π π? (2)求 f(x)在区间?-3,4?上的最大值和最小值. ? ?

1-cos 2x 解: (1)由已知, 有 f(x)= - 2
? 1 1? 3 ?1 ? - cos 2x= cos 2 x + sin 2 x ? 2? 2 ?2 ? 2

? π? 1-cos?2x-3? ? ?

2



π? 3 1 1 ? sin 2x- cos 2x= sin?2x-6?. 4 4 2 ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 (2) 因为
? π π? f(x) 在区间 ?-3,-6? 上是减函数,在区间 ? ?

? π π? ?- , ?上是增函数, ? 6 4?

? π? 1 ? π? 1 ?π? 且 f?-3?=- ,f?-6?=- ,f?4?= 4 ? ? 2 ? ? ? ?

3 , 4 3 ,最小值为 4

? π π? 所以 f(x)在区间?-3,4?上的最大值为 ? ?

1 - . 2

类型 4 三角恒等变换的实际应用 [典例 4] 如图所示,ABCD 是一块边长为 100 m 的 正方形地皮,其中 AST 是半径为 90 m 的扇形小山,其余部分都是平地.一开 发商想在平地上建一个矩形停车场,使 矩形的一个顶点 P 在 ST 上,相邻两边 CQ,CR 正好落在正方形的边 BC,CD 上,求矩形停车 场 PQCR 面积的最大值和最小值.

解:如图所示,连接 AP,设∠PAB=
? π? θ?0≤θ≤2?, ? ?

延长 RP 交 AB 于 M, 则 AM=90cos θ,MP=90sin θ. 所以 PQ=MB=100-90cos θ,

PR=MR-MP=100-90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR=PQ· PR=(100-90cos θ)(100-90sin θ) = 10 000-9 000(sin θ+cos θ)+8 100sin θcos θ. t2-1 令 t=sin θ+cos θ(1≤t≤ 2),则 sin θcos θ= , 2

t2-1 所以 S 矩形 PQCR=10 000-9 000t+8 100· = 2 8 100? 10?2 ?t- ? +950. 2 ? 9? 10 故当 t= 时,S 矩形 PQCR 有最小值 950 m2; 9 当 t= 2时, S 矩形 PQCR 有最大值(14 050-9 000 2)m2.

归纳升华 1.解答此类问题,关键是合理引入辅助角 θ,确定 各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利 用三角函数的有关知识求解.

2.在求解过程中,要注意三点:(1)充分借助平面几 何性质,寻找数量关系;(2)注意实际问题中变量(角 θ)的 范围;(3)重视三角函数有界性的影响.

[变式训练] 如图所示,要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形,应怎样截取, 才能使△OAB 的周长最大? 解: 设∠AOB=α, △OAB 的周长为 l, 则 AB=Rsin α, OB=Rcos α,
所以 l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α= R(sin α+cos α)+R=
? π? 2Rsin?α+4?+R. ? ?

π π π 3π 因为 0<α< ,所以 <α+ < . 2 4 4 4 π 所以 l 的最大值为 2R+R=( 2+1)R, 此时, α+ = 4 π π ,即 α= , 2 4 π 即当 α= 时,△OAB 的周长最大. 4

1. 学习三角恒等变换, 千万不要只顾死记硬背公式, 而忽视对思想方法的理解,要学会借助前面几个有限的 公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公 式和运用公式.

2.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ), b 其 中 φ 满足 : ①φ 与 点 (a , b) 同象 限; ②tan φ = a
? ?或sin φ= ? ?

b a ? ? cos φ = , 2 2 2 2 ?. a +b a +b ?

3.研究形如 f(x)=asin x+bcos x 的函数性质,都要 运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数 的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的 一个重要公式,也是高考常考的考点之一.对一些特殊 的系数 a、 b 应熟练掌握. 例如 sin x±cos x = sin x±
? π? 3cos x=2sin?x±3?等. ? ? ? π? 2sin?x±4?; ? ?


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