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高三三角函数复习


高三三角函数复习 课前热身 1、已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是( A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数 2.函数 f ( x) ? B、最小正周期为 )

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2

sin x sin x ? 2sin x 2

是( ) B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数 3.
2 sin 2 x cos2 x ? ?( 1 ? cos 2 x cos 2 x

) B.tan2x C.1 D.
1 2

A.tanx

4.将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ?

?

? ? ? , 0 ? 平移,平移 ? 6 ?


后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ? 5.已知 ? ? (

?

?

6 3

) )

B. y ? sin( x ?

?
6

) 3 )

D. y ? sin(2 x ?

?

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于 ( ) 2 5 4 1 1 (A) (B) 7 (C) ? (D) ?7 7 7

?

基础知识要点
1. ①与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :

?? | ? ? k ? 360 ??, k ? Z?
?



y
2 sinx 1 cosx cosx 4

② 终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 , k ? Z
?

?

? ? ? ? ?

3 sinx 4 cosx cosx

③ 终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④ 终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

x

?

1 sinx 2 sinx 3

⑤ 终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z
? ?

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑥ 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

⑦ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ?

⑧ 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨ 若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? ⑩ ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 角 2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域: 三角函数 f (x) ? sinx
f (x) ? cosx f (x) ? tanx f (x) ? cotx f (x) ? secx f (x) ? cscx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

4. 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1
sin x tanx= cos x

sin x+cos x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

2

2

x=

cos x sin x

公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x

公式组三

sin(? x ) ? ? sin x cos(? x ) ? cos x tan(? x ) ? ? tan x cot(? x ) ? ? cot x

公式组四 sin( ? x) ? ? sin x ? cos( ? x) ? ? cos x ? tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x

公式组五 sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x

公式组六 sin( ? x) ? sin x ? cos( ? x) ? ? cos x ? tan(? ? x) ? ? tan x cot(? ? x) ? ? cot x

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ?
cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ?

公式组二
s i n ? ? 2s i n c o ? 2 ? s
2 c o 2? ? c o 2 ? ? s i 2 ? ? 2 c o 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ? s s n s

sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?

t a n? ? 2

2t a n ?
2 1? t a n ?

sin ?? 2 cos

?

1? c o ? s 2 1 ? cos? 2

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
tan

?
2

??

tan(? ? ? ) ?

?
2

??

1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定 义 域 值 域 周 期 性 奇 偶 性
[?

R

R

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

[?1,?1]

[?1,?1]

R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

?
奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
?

?
2

? 2k? ,

[?2k ? 1?? , 2k? ]



? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 ? ?

?k? , ?k ? 1?? ?
上为减函数 (k?Z )

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单 调 性
[

上为增函数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ?

? ? 2 ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? ??

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?

上为减函 数 k?Z ) (

? ? 2 ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上为减函数 k ? Z ) ( 注意: ① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相反.一 般地,若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增(减),则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减(增). ②y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .
? ③ y ? sin( x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?
2?

?

.

? ④ y ? sin( x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

( k ? Z ),对称中心( k? ,0 ); y ? cos( ?x ? ? )

的对称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ),对称中心( k? ? 1 ? ,0 ); y ? tan(?x ? ? ) 的对称中
2

心(

k? ,0 ). 2
?
2
tan (k ? Z ) ; tan? · ? ? ?1, ? ? ? ? k? ?

y ? cos2x ?原点对称 ? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x ?? ?

tan ⑤ tan? · ? ? 1, ? ? ? ? k? ? 当

?
2

(k ? Z ) .

⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则 ? ? 2 ? ?
1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2

⑦ 函数 y ? tan x 在 R 上为增函数. × [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, ( )

y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].

解 ∵sinα <0 ∴角α 在第三或第四象限(不可能在 y 轴的负半轴上)

(2)若α 在第四象限,则

说明 在解决此类问题时,要注意: (1)尽可能地确定α 所在的象限,以便确定三角函数值的符号. (2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次). (3)必要时进行讨论.
三角恒等式的证明

分析 1 从右端向左端变形,将“切”化为“弦” ,以减少函数的种类.

分析 2 由 1+2sinxcosx 立即想到(sinx+cosx)2, 进而可以约分, 达到化简的目 的.

说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时,常常将切、割化为弦(如解法 1), 或将弦化为切(如解法 2)以减少函数的种类. 例 3 函数 f(x)=Asin(ω x+?)的图象如图 2-15,试依图指出

(1)f(x)的最小正周期; (2)使 f(x)=0 的 x 的取值集合; (3)使 f(x)<0 的 x 的取值集合; (4)f(x)的单调递增区间和递减区间; (5)求使 f(x)取最小值的 x 的集合;

(6)图象的对称轴方程; (7)图象的对称中心.

例 4:已知函数 f ( x) ? ?2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1 ?求 f ( x ) 的最小正周期及对称中心; ?若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的最大值和最小值. 6 3

【解析】? f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ∴ f ( x ) 的最小正周期为 T ?

?
6

)

2? ?? , 2 ? k? ? ? (k ? Z ) , 令 sin(2 x ? ) ? 0 ,则 x ? 6 2 12 k? ? ? , 0), (k ? Z ) ; ∴ f ( x ) 的对称中心为 ( 2 12 ? ? ? ? 5? 1 ? ?∵ x ? [ ? , ] ∴ ? ? 2 x ? ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ∴ ?1 ? f ( x) ? 2 6 3 6 6 6 2 6
∴当 x ? ?

?

6

时, f ( x ) 的最小值为 ?1 ;当 x ?

?

6

时, f ( x ) 的最大值为 2

例 5.设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ? 且以

? ?

??

? , ?>0 , x? ? ??, ??? , 6?

? 为最小正周期. 2

(1)求 f ? 0 ? ; (2)求 f ? x ? 的解析式;

(3)已知 f ?

?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值. ? 4 12 ? 5

例 6.已知函数 f ( x) ? cos

2

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

课堂练习: 1、函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3, ) D. -2,

3 2

3 2

2. (tan x ? cot x) cos2 x ? ______ A. tan x B. sin x

C. cos x

D. cot x ( )

3.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象

A.向左平移 1 个单位 C.向左平移

B.向右平移 1 个单位 D.向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2
( )

3 .已知 sin ? ? cos ?

? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? =
B. ?

A. ? 1

2 2

C.

2 2

D.1

4、记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k2

D. -

k 1? k2
) 的最小正周期 T ?
. .

5.函数 y ? sin x cos( x ?

?
4

) ? cos x sin( x ?

?
4

6.设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ?

? ?

?? 2?

2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x

7.已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值;(Ⅱ)求

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

8.已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ?

? ?

??

? (其中 ? ? 0 x? R )的最小正周期为 10? . 6?

(Ⅰ)求 ? 的值;

5 ? 6 5 ? 16 ? ?? ? ? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , f ? 5? ? ? ? ? ? , f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 3 ? 5 6 ? 17 ? 2? ? ?

课后作业:

5 ,则 cos A ? ( ) 12 12 5 5 (A) (B) (C) ? 13 13 13 3 2.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin 2? ? 5 24 12 12 A. ? B. ? C. 25 25 25
1.已知△ABC 中, tan A ? ?
3.当函数 y ? sin x ?

(D) ?

12 13
( )

D.

24 25

3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取最大值时, x ? ____.

4.已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间.

5.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之

间的距离为

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?


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