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2.1.4 数乘向量

中高考数学张老师

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1

2.1.4

数乘向量

考点知识清单
1.实数 ? 与向量 a 的积是一个____,记作____,它的模与方向规定如下:

(1) | ?a |?
(2)当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向____;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向____;当 ? ? 0 时 2.实数与向量的积的运算律是:

(1)? (?a) ? (2)(? ? ? )a ? (3)? (a ? b) ?

; ; .

3.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的

要点核心解读
1.数乘向量的一般定义 实数 ? 和向量 a 的乘积是一个向量,记作 ?a, ?a 的长 | ?a |?| ? || a |,

?a(a ? 0) 的方向 ? ?

?当? ? 0时,与 a同方向; .; ?当? ? 0时,与 a反方向

当 ? ? 0 或 a ? 0 时, 0a ? 0 或 ? 0 ? 0, 如图 2 -1-4 -1 所示.

2.数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小. 3.数乘向量的运算律 数乘向量运算满足下列运算律: 设 ?、? 为实数,则

(1)(? ? ? )a ? ?a ? ?a; (2)? (?a) ? (?? )a; (3)? (a ? b) ? ?a ? ?b (分配律) .
4.向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算,也叫做向量的初等运算.向量 的线性运算可与实数的运算一样地进行,

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典例分类剖析
考点 1 实数与向量的运算

[例 1] 计算下列各式:

1 (1)( ?2) ? a; 2

(2)2(a ? b) ? 3(a ? b);

(3)(? ? ? )(a ? b) ? (? ? ? )(a ? b);

(4)4(a ? b) ? 3(a ? b);

(5)3(a ? 2b ? c) ? (2a ? b ? 3c);

2 1 2 (6) (a ? b) ? (2a ? 4b) ? (2a ? 13b) ? 5 3 15
[解析] 运算律是运算的依据.这里的运算律包括:向量加(减)法运算律,以及数乘向量的运算律, 其运算过程,很像“合并同类项”.

1 1 (1)( ?2) ? a ? (?2 ? )a ? (?1)a ? ?a. 2 2

(2)2(a ? b) ? 3(a ? ?b) ? 2a ? 2b ? 3a ? 3b ? (2a ? 3a) ? (2b ? 3b) ? ?a ? 5b. (3)(? ? ? )(a ? b) ? (? ? ? )(a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ?a ? ?b ? ?a ? ?b ? ?a ? ?b ? ?a ? ?b ? 2?a ? 2?b. (4)4(a ? b) ? 3(a ? b) ? 4a ? 4b ? 3a ? 3b ? a ? 7b. (5)3(a ? 2b ? c) ? (2a ? b ? 3c) ? 3a ? 6b ? 3c ? 2a ? b ? 3c ? a ? 7b ? 6c.
2 1 2 (6) (a ? b) ? (2a ? 4b) ? (2a ? 13b) 5 3 15 2 2 2 4 4 26 ? a? b? a? b? a? b 5 5 3 3 15 15 2 2 4 2 4 26 ? ( ? ? )a ? (? ? ? )b 5 3 15 5 3 15 ? 0a ? 0b ? 0 ? 0 ? 0.
[点拨] (1)数乘向量的运算律为 ? ( ?a) ? (?? )a ? ? (?a), (? ? ? )a ? ?a ? ?a, ? (a ? b) ? ?a ? ?b. (2)由于实数与向量的积的运算与实数中代数式的化简计算十分相似,要充分利用好知识的迁移,以 便更好地掌握实数与向量的运算.

4 1.(1)已知 (3x ? a) ? 3( x ? 2a) ? (x ? a ? b) ? 0 (其中 a,b 为已知向量) ,求 x;
(2)已知 ?

?3x ? 4 y ? a, 其中 a,b 为已知向量,求 x,y . ?2 x ? 3 y ? b, :

考点 2 数乘向量作田问题

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[例 2] 如图 2-1-4 -2,已知向量 a 的长度为 2,方向水平向右;向量 b 的长度为 3,方向为北偏东

45? , 以 0 为起点,分别作出有向线段 2a ? b,?a ? 3b.
[解析]

2.如图 2 -1-4 -3 所示,已知向量 e1 与 e2 不共线,求作向量 2e1 ? 3e2 ?

考点 3 平面图形中的向量表示

[例 3] 如图 2-1-4 -4 所示,已知□ABCD 的边 BC、CD 上的中点分别为 KL,且 Ak ? e1 , AL ? e2 , 试用 e1、e2 表示 BC、 CD. ? [解析] 解法一:设 BC ? x, 、则 Bk ?

1 x, 2

AB ? e1 ?

1 1 1 x, DL ? e1 ? x. 2 2 4

又 AD ? x, ,由AD ? DL? ? AL. 得

x?

1 1 4 2 e1 ? x ? e2 , 解方程,得 x ? e2 ? e1 , 2 4 3 3

即 BC ?

4 2 e2 ? e1 ? 3 3

1 4 2 x, 得 CD ? ? e1 ? e2 ? 2 3 3 1 1 解法二:设 BC ? x, CD ? y, 则 Bk ? x,? DL ? ? y ? 2 2
由 CD ? ? AB , AB ? e1 ? 由 AB ? BK ? Ak, AD ? DL ? AL 得

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1 ? ?? y ? 2 x ? e1 , ① ? 1 ? x ? y ? e2 ? ② 2 ?
1 x ? 2 x ? e1 ? 2e2 , 解得 2 2 2 4 2 x ? (2e2 ? e1 ), 即 BC ? (2e2 ? e1 ) ? e2 ? e1 ? 3 3 3 3 2 4 2 同法得 y ? ( ?2e1 ? e2 ), 即 CD ? ? e1 ? e2 , 3 3 3
用-2 乘以②与①相加得 解法三:如图 2 -1-4 -5 所示,延长 BC 与 AL 的延长线相交于点 E 则△DIA≌△CLE.从而 AE ? 2AL, CE ? AD , AE ? 由 KE ? AE ? Ak, 得

3 BC . 2

3 2 4 2 BC ? 2e2 ? e1 , 即 BC ? (2e2 ? e1 ) ? e2 ? e1 ? 2 3 3 3

仿上法可得 CD ?

2 4 2 (?2e1 ? e2 ) ? ? e1 ? e2 ? 3 3 3

[点拨] 解法一中设一个未知向量,列了一个向量方程;解法二中则是设两个未知向量,列了一个向 量方程组,这和列一元一次方程、二元一次方程组解应用题相类似;解法三中是原图形添加辅助线后,直 接看到了所需要的向量关系,这显然要以较多的平面几何知识作基础,不过确实简便有效. 3 . 如 图 2 -1-4 -6 所 示 , OADB 是 以 向 量 OA ? a, OB ? b 为 边 的 平 行 四 边 形 , 又

BM ?

1 1 BC , CN ? CD, 试用 a、b 表示 OM 、 、 . ON MN 3 3

学业水平测试
1.m∈R.下列说法正确的是( A.若 m a ? 0, 则必须 m ? 0 B.若 m ? 0, a ? 0, 则 m a与a 方向相同 ? ? C.若 m ? 0, a ? 0, 则 | ma |? m | a | ? ? D.若 m ? 0, a ? 0, 则 m a与a 共线 ? ? ).

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2.若 G 为△ABC 的重心, D、E 、F 分别为 AB、BC .CA 的中点,则 GA ? GB ? GC 等于(

).

A.6GD

B. ? 6GD

C. ? 6GE

D.0

3.如图 2 -1-4 -8 所示,G 为△ABC 的重心,设 AB ? a, AC ? b, 试用 a、b 来表示:

(1) BC ? (2)GD ? (3)GA ? (4)GC ?

4.已知向量 a、b,求满足方程组 ?

?2 x ? y ? a, 的 x、y . ?x ? 2 y ? b

5.已知菱形 ABCD 的边长为 2,求向量 ? AB ? CB ? CD 的模.

6.如图 2 -1-4 -9,已知 | OA ? 3e1 , OB ? 3e2 ? (1)若 C、D 是 AB 的三等分点,求 OC、 ; OD (2)若 C、D、E 是 AB 的四等分点,求 OC、 、 . OD OE

高考能力测试

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(测试时间:45 分钟测试满分:100 分 ) 一、选择题(5 分×8 =40 分) 1.已知 5( x ? a) ? 3(b ? x), 则 x ? ( ).

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5 3 A. a ? b 8 8

3 5 B. a ? b 8 8

5 3 C. ? a ? b 8 8

3 5 D. ? a ? b 8 8

2.如图 2 -1-4 -10 所示.D、E、F 分别是△ABC 三边 BC、CA、AB 的中点,则 DE ? EF ? DF 等于 ( ).

A. ? AC

B. ?

1 AC 2

C. AC

D.0

3.设 AM 是△ABC 的 BC 边上的中线,若 AB ? a, BC ? b, 则 AM 等于(

).

1 A.a ? b 2

1 B. b ? a 2

1 C. a ? b 2

1 D.a ? b 2

4. 已知 G1、G2 分别为 ?A1 B1C1与?A2 B2 C2 的重心, A1 A2 ? e1 , B1 B2 ? e2 , C1C2 ? e3 , 则 G1G2 ? 且 ( ).

1 A. (e1 ? e2 ? e3 ) 2

1 B. (e1 ? e2 ? e3 ) 3

2 C. (e1 ? e2 ? e3 ) 3

1 D. ? (e1 ? e2 ? e3 ) 3
).

5. (2006 年湖南高考题)如图 2 -1-4 -11 所示,OM //AB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长 线围成的阴影区域内(不含边界) ,且 OP ? xOA ? yOB, 则实数对 (x, y ) 可以是(

1 3 A.( , ) 4 4

2 2 B.(? , ) 3 3

1 3 C .(? , ) 4 4

1 7 D.(? , ) 5 5

6. (2006 年广东高考题)如图 2 -1 -4 -12 所示,0 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? (

).

A. ? BC ?

1 BA 2

B. ? BC ?

1 BA 2

C.BC ?

1 BA 2

D.BC ?

1 BA 2

7. (2007 年北京高考题) 已知 O 是△ABC 所在平面内一点, 为 BC 边中点, 2OA ? OB ? .OC ? ? 0, D 且 那么( ).

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A. AO ? OD

B. AO ? 2OD

C.AO ? 3OD

D.2 AO ? 0D

8. (2010 年湖北高考题)已知△ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0. 若存在实数 m 使得

AB ? AC ? m AM 成立,则 m ? (

)

A.2

B .3

C.4

D.5

二、填空题(共 20 分) 9. 分)已知 OA ? e1 , OB ? e2且 | OA |?| OB |? 1, ?AOB ? 120o , 又 | OC |? 5, 且 OC 平分 ?AOB, 用 (6

e1 , e2 表示 OC ?
10. 分) (6 (2005 年全国高考题) △ABC 的外接圆的圆心为 0, 两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB

? OC), 则实数 m ?
11.(8 分) (2006 年安徽高考题)在□ABCD 中, AB ? a, AD ? b, N 为 AC 上一点且 AN ? 3NC, M 为 BC 的中点,则 MN ? 三、解答题(10 分×4 =40 分) 12.计算: (用 a,b 表示) .

(1)6(3a ? 2b) ? 9(?2a ? b);
1 2 7 1 3 7 (2) [( 3a ? 2b) ? a ? b] ? [ a ? (b ? a)] ? 2 3 6 2 7 6

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13.若 a ? ?e1 ? 3e2 , b ? 4e1 ? 2e2 , c ? ?3e1 ? 12e2 , 将向量 a 写成 ?1b ? ?2 c 的形式.

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14.如图 2-1-4 -13 所示,在△OAB 中,点 C 是以 A 为对称中心的 B 点的对称点,D 是将 OB 分成 2:1 的一 个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设 OA ? a, OB ? b. 试用 a 和 b 表示 OC、 .C D

15.如图 2-1 -4 -14 所示,E、F 分别为任意四边形 ABCD 两边 AD、BC 的中点,求证: EF ?

1 ( AB ? DC) ? 2


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