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三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角 α 的终边上任取一点 P ( x, y ) ,记: r = .. 正弦: sin α = 正切: tan α = 正割: secα =
y r y x
x2 + y2 ,

余弦: cosα = 余切: cot α = 余割: cscα =

x r

x y r y

r x

注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与 单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正 .. 切线。

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: sin α ? cscα = 1 , cosα ? secα = 1 , tan α ? cot α = 1 。 商数关系: tan α =
sin α cosα , cot α = 。 cosα sin α

平方关系: sin 2 α + cos 2 α = 1 , 1 + tan 2 α = sec 2 α , 1 + cot 2 α = csc 2 α 。

三、诱导公式
⑴ α + 2kπ (k ∈ Z ) 、? α 、π + α 、π ? α 、2π ? α 的三角函数值,等于 α 的 同名函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名 .. 不变,符号看象限)

π

2

+α 、

π
2

?α 、

3π 3π + α 、 ? α 的三角函数值,等于 α 的异名函数值, 2 2

前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名改变,符号看 .. 象限)

四、和角公式和差角公式

sin(α + β ) = sin α ? cos β + cosα ? sin β

sin(α ? β ) = sin α ? cos β ? cos α ? sin β cos(α + β ) = cosα ? cos β ? sin α ? sin β cos(α ? β ) = cos α ? cos β + sin α ? sin β
tan(α + β ) = tan(α ? β ) = tan α + tan β 1 ? tan α ? tan β tan α ? tan β 1 + tan α ? tan β

五、二倍角公式
sin 2α = 2 sin α cosα cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α … (?)

tan 2α =

2 tan α 1 ? tan 2 α

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 1 + sin 2α = (sin α + cos α ) 2 cos 2 α = 1 ? cos 2α = 2 sin 2 α 1 ? sin 2α = (sin α ? cosα ) 2

1 + cos 2α 1 ? cos 2α sin 2α 1 + sin 2α , sin 2 α = , tan α = = 。 2 2 sin 2α 1 + cos 2α

六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式) 万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
sin 2α = 2 tan α 1 ? tan 2 α 2 tan α , cos 2α = , tan 2α = 。 2 2 1 + tan α 1 + tan α 1 ? tan 2 α

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。 ..

七、和差化积公式
sin α + sin β = 2 sin

α+β
2

cos sin

α?β
…⑴
2

sin α ? sin β = 2 cos

α+β
2

α?β
…⑵
2

cosα + cos β = 2 cos

α+β
2

cos

α?β
…⑶
2

cosα ? cos β = ?2 sin

α+β
2

sin

α?β
…⑷ 2

了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:

α+β α?β α+β α?β ?α + β α ? β ? + + cos sin α = sin ? cos sin ? = sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2 α+β α?β α+β α?β ?α + β α ? β ? sin β = sin ? cos sin ? ? cos ? = sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。

α+β α ?β α+β α ?β ?α + β α ? β ? cos α = cos? + cos ? sin sin ? = cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2 α +β α ?β α +β α ?β ?α + β α ? β ? cos β = cos? ? cos + sin sin ? = cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式
sin α ? cos β = cosα ? sin β = cosα ? cos β = 1 [sin(α + β ) + sin(α ? β )] 2 1 [sin(α + β ) ? sin(α ? β )] 2 1 [cos(α + β ) + cos(α ? β )] 2 1 [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2

sin α ? sin β = ?

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式
a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? ) () 其中:角 ? 的终边所在的象限与点 (a, b) 所在的象限相同,

sin ? =

b a2 + b2

, cos ? =

a a2 + b2

, tan ? =

b 。 a

十、正弦定理
a b c = = = 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

十一、 十一、余弦定理
a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc ? cos A b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac ? cos B c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab ? cos C

十二、 十二、三角形的面积公式
S ?ABC = S ?ABC = S ?ABC = S ?ABC = 1 × 底×高 2 1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B (两边一夹角) 2 2 2 abc ( R 为 ?ABC 外接圆半径) 4R a+b+c ? r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2

S?ABC =

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) …海仑公式(其中 p =
y

a+b+c ) 2

sinα = cosα

y

sinα + cosα = 0

sinα > cosα

sinα + cosα > 0

o
x? y =0

x
sinα < cosα A(?2,

o sinα + cosα < 0

x
A(?2,
x+ y = 0

十三诱导公式 十三诱导公式
sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα sec(2kπ+α)=secα csc(2kπ+α)=cscα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα sin(α-π)=-sinα cos(α-π)=-cosα tan(α-π)=tanα cot(α-π)=cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=-cscα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα

公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等 k 是整数

公式二: 设 α 为任意角, 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关 π+α 系

公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系

公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关 系

公式五: 利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到 α-π 与 α 的三角函数 值之间的关系

公式六: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的 关系

sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα

公式七: π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系

sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα sin (3π/2-α) =-cosα cos (3π/2-α) =-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα


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