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基本初等函数


基本初等函数
常数函数 y ? C , ( C 为 常 数 ) ; 幂函数 y ? x ? , (? ? 0 为常数 ); 指数函数 y ? a ( a ? 0 , a ? 1 ),
x

y?e ;
x

e ? 2.71828

对数函数 y ? log a x ( a ? 0 , a ? 1 ),

y ? ln x ;

三角函数 y ? sin x , (cos x , tan x , cot x );

反三角函数 y ? arcsin x , (arccos x , arctan x , arc cot x ).
log10 x ? lg x 常用对数, log e x ? ln x 自然对数

2012年11月11日

上海交通大学继续教育学院

1

(1) 常 数 函 数 y ? C , 其 中 C 为 常 数
定 义 域 为 ( ? ? , ? ? ), 值 域 为 { C }.

有界函数 y ? C , ( x ? ( ? ? , ? ? ))
C ? 0 时为偶函数 , C ? 0 时 既 为 偶 函 数 又 为 奇 函 数 。
y
y?C

o

x

2012年11月11日

上海交通大学继续教育学院

2

(2) 幂函数 y ? x ? (? ? 0 是 常 数 )
幂函数的定义域由幂次 ? 确定, 但不论 ? 取何值, 幂 函 数 在 区 间 (0, ? ? ) 内 总 有 定 义 , 且 其 图 形 总 过 点 (1, 1).

当 ?y ? 0 时 , 常 用 的 幂,函 ? ); 要 有 y ? x , y ? x , y ? x 如 ? x 定义域为 ( ? ? ? 数 主
2
1

3

y y ? x 2 ? xx 定义域为 [ 0 , ? ? ); 以及 y ? 2 ? x , 11 ?1 y ? x ? 3定义域为 ( ? ? , 0 ) ? ( 0 , ? ?1) . y ? x ? 3 x. x

1

y? x

2

y?x

3

y? x

?

它们的图形:

o

1

x

2012年11月11日

上海交通大学继续教育学院

3

1

1

以及 y ? x2 ?

x,

y ? x3 ?

3

x.

y
1
?

1

y ? x2
1

y ? x3

o

1

x

2012年11月11日

上海交通大学继续教育学院

4

当? ? 0时, 常用的幂函数主要有 y ? x

?1

?

1 x

, y? x

?2

?

1 x
2

它们的图形:
y
y? 1 x
y? 1 x
2

y

o

x
o

x

2012年11月11日

上海交通大学继续教育学院

5

(3) 指数函数 y ? a x 定义域为 ( ?? , ?? )
x

( a ? 0 , a ? 1)

由于 a x ? 0,故值域为 (0, ?? )

0 ? a ? 1, ? y ? a 的 图 形 过 点 (0,1)

a ? 1 时 , 函 数 y ? a 严 格 单 调 增 加;
x

0 ? a ? 1 时 , 函数 y ? a 严格单调减少.
x

y
y?a
x

y?a
( a ? 1)

x

(0 ? a ? 1)

? ( 0 ,1 )

o
2012年11月11日 上海交通大学继续教育学院

x

6

本课程中常用的指数函数 y ? e x
y

e ? 2.71828

y?e

x

( 0 ,1 )

o

x

指数的运算性质

a

x1

?a

x2

?a

x1 ? x 2

,
2 5

a a

x1 x2

?a
2? 5

x1 ? x 2

, (a )
1 3
3

x1

x2

?a
1 x

x1 ? x 2

, a

?x

?

1 a
x

如 23 ? 24
2012年11月11日

?2 ,
7

3 3

?3

?3 ?

?3

,

(1 ?

)

2x

1 x? ? ? ? (1 ? ) ? x ? ?

2

上海交通大学继续教育学院

7

(4) 对数函数 y ? log a x ( a ? 0 , a ? 1 )
定义域为 (0, ?? ) 值域为 ( ?? , ?? )

? log a 1 ? 0, ? y ? log a x 的 图 形 过 点 (1, 0)
a ? 1 时 , y ? log a x 严 格 单 增 ; 0 ? a ? 1 时 , y ? log a x 严 格 单 减 .
y

y ? log a x
( a ? 1)

(1, 0)

o

x

y ? log a x
(0 ? a ? 1)
2012年11月11日 上海交通大学继续教育学院 8

本课程中常用的对数函数 y ? ln x ——自然对数
y ? ln x ? log e x
y

e ? 2.71828
y ? ln x

o

(1, 0)

x

对 数 的 运 算 性 质 log a a ? 1 , log a ( x1 ? x2 ) ? log a x1 ? log a x2 ,

log a (

x1 x2

) ? log a x1 ? log a x2 ,

log a x ? b log a x
b

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9

(5) 三角函数 正弦函数 y ? sin x

180 ? ? (弧度)
?

定义域为 ( ?? , ?? ) 值域为 [ ? 1, 1]
sin x ? 1

周期为 2? 的有界奇函数 sin( x ? 2? ) ? sin x
sin( ? x ) ? ? sin x

sin 0 ? 0, sin ? 1,

?
6

?

1 2

, sin

?
4

?

2 2

,

sin

?
3

?

3 2

, sin

?
2

sin ? ? 0, sin

3? 2

? ?1, sin 2? ? 0

y
1

y ? sin x

? 2?

??
?1

o

?

2?

x

2012年11月11日

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余弦函数 y ? cos x

定义域为 ( ?? , ?? ) 值域为 [ ?1,1]
cos x ? 1

周期为 2? 的有界偶函数 cos( x ? 2 ?) ?cos x
cos( ? x) ?cos x

cos 0 ? 1, cos

?
6

?

3 2
3? 2

, cos

?
4

?

2 2

,

cos

?
3

?

1 2

, cos

?
2

? 0,

cos ? ? ?1, cos
y
1

? 0, cos 2 ? ?1

y ? cos x

? 3?

? 2?

??

o
?1

?

2?

x

2012年11月11日

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正切函数 y ? tan x ? 定义域为: x ? k ? ?

sin x cos x

tan( x ? ? ) ? tan x tan( ? x ) ? ? tan x

?
2

, k 为整数

周期为 ? 的无界奇函数

y
y ? tan x

?

3? 2

?

?
2

o

?
2

3? 2

x

2012年11月11日

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余切函数 y ? cot x ?

cos x sin x

cot( x ? ? ) ? cot x cot( ? x ) ? ? cot x

定义域为: x ? k ? , k 为 整 数
y

周期为 ? 的无界奇函数

y ? cot x

??

o

?

x

2012年11月11日

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(6) 反三角函数 反正弦函数 y ? arcsin x 定义域为 [ ? 1, 1], 值域为 [ ?
arcsin x ?

?
2

,

?

?
2

2 y
?

], 有界奇函数,

arcsin( ? x ) ? ? arcsin x
y ? arcsin x 在 定 义 域
?1

2

y ? arcsin x

o

1

x

[ ? 1,1] 上 严 格 单 调 增 加 .

?

?
2

2012年11月11日

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反余弦函数 y ? arccos x 定义域为 [ ? 1, 1], 值域为 [0, ? ], 有界函数,
arccos x ? ?
y ? arccos x 在 定 义 域
[ ? 1,1] 上 严 格 单 调 减 少 .
?
2

y
?

y ? arccos x

?1
2012年11月11日

o

1

x
15

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反正切函数 y ? arctan x

定义域为 ( ? ? , ? ? ), 值域为 ( ? , ), 有界奇函数, 2 2 ?
arctan x ?

?

?

arctan( ? x ) ? ? arctan x

2

y ? arctan x 在 定 义 域 ( ? ? , ? ? ) 内 严 格 单 调 增 加 . y
?
2

y ? arctan x

o
?
2

x

?

2012年11月11日

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反余切函数 y ? arc cot x 定义域为 ( ? ? , ? ? ), 值域为 (0, ? ), 有界函数,
arc cot x ? ?
y ? arc cot x 在 定 义 域 ( ? ? , ? ? ) 内 严 格 单 调 减 少 . y
?
?
2

y ? arccot x

o
2012年11月11日 上海交通大学继续教育学院

x
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