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高三一轮复习:第八章 平面解析几何第七节 双曲线

第七节 双曲线
一、选择题(6×5 分=30 分) x2 y2 1.(2010· 天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的 a b 一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 36 108 x2 y2 C. - =1 108 36 x2 y2 B. - =1 9 27 x2 y2 D. - =1 27 9 )

b 解析:∵渐近线方程是 y= 3x,∴ = 3.① a ∵双曲线的一个焦点在 y2=24x 的准线上,∴c=6.② 又 c2=a2+b2,③ 由①②③知,a2=9,b2=27, x2 y2 此双曲线方程 - =1. 9 27 答案:B 2.(2010· 安徽高考)双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( A.( C.( 2 ,0) 2 6 ,0) 2 B.( 5 ,0) 2 )

D.( 3,0)

x2 y2 解析:∵原方程可化为 - =1,a2=1, 1 1 2 1 3 6 b2= ,c2=a2+b2= ,∴右焦点为( ,0). 2 2 2 答案:C 3.(2010· 辽宁高考)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 C. 3+1 2 B. 3 D. 5+1 2 )

x2 y2 解析:设双曲线方程为 2- 2=1,设 F(c,0),B(0,b), a b b b kBF=- ,双曲线渐近线的斜率 k=± . c a bb ∵BF 与一条渐近线垂直,∴- ·=-1,∴b2=ac, ca
1

又 a2+b2=c2,∴c2-ac-a2=0,∴e2-e-1=0, 5+1 1± 5 ∴e= (舍负值)∴e= ,故选 D. 2 2 答案:D x2 y2 4.(2010· 浙江高考)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双 a b 曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则 该双曲线的渐近线方程为( A.3x± 4y=0 C.4x± 3y=0 ) B.3x± 5y=0 D.5x± 4y=0

解析:过 F2 作 F2A⊥PF1 于 A,由题意知|F2A|=2a, |F1F2|=2c,则|AF1|=2b,∴|PF1|=4b, 而|PF1|-|PF2|=2a, ∴4b-2c=2a,c=2b-a,c2=(2b-a)2, b 4 a2+b2=4b2-4ab+a2,解得 = , a 3 4 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,故选 C. 3

答案:C x2 5.(2010· 福建高考)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点, a → → 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP· FP的取值范围为( A.[3-2 3,+∞) 7 C.[- ,+∞) 4 )

B.[3+2 3,+∞) 7 D.[ ,+∞) 4

解析:由 F 为左焦点得 a2=3,则双曲线方程为 x2 2 -y =1,设 P(x0,y0), 3 → → 则OP· FP=(x0,y0)· (x0+2,y0)=x02+2x0+y02 x02 =x02+2x0+ -1 3

2

4 4 3 9 = x02+2x0-1= [(x0+ )2- ]-1. 3 3 4 16 由 P 在右支上得 x0≥ 答案:B 6.(2010· 课标全国)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( x y A. - =1 3 6 x2 y2 C. - =1 6 3 -15-0 解析:由已知 kAB= =1. -12-3 x2 y2 设 E: 2- 2=1,A(x1,y1),B(x2,y2), a b ∴ 则 x12 y12 x22 y22 2 - 2 =1, 2 - 2 =1, a b a b ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? - = 0, a2 b2
2 2

→ → 3,所以OP· FP≥3+2 3,故选 B.

)

x y B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 5 4

2

2

? ?x1+x2=-24, y1-y2 4b2 5 而? 所以 = 2=1,b2= a2.① 5 a 4 x - x 1 2 ?y1+y2=-30, ?

又 c2=a2+b2=9,② 联立①②解得 a2=4,b2=5, x2 y2 ∴E 的方程为 - =1. 4 5 答案:B 二、填空题(3×5 分=15 分) x2 y2 x2 y2 7.(2010· 北京高考)已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆 + =1 的焦点 a b 25 9 相同,那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________. x2 y2 c 解析:∵椭圆 + =1 的焦点为(± 4,0),∴双曲线的焦点坐标为(± 4,0),∴c=4, =2, 25 9 a c2=a2+b2, x2 y2 ∴a=2,b =12,∴双曲线方程为 - =1, 4 12
2

b ∴渐近线方程为 y=± x=± 3x,即 3x± y=0. a 答案:(± 4,0) 3x± y=0

x2 y2 8.(2010· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标 4 12
3

是 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________. x2 y2 解析:将 x=3 代入 - =1,y=± 15,不妨设 M(3, 15),右焦点 F(4,0),∴|MF| 4 12 = 1+15=4. 答案:4 x2 y2 9.(2010· 韶关模拟)已知 P 是双曲线 2- =1(a>0)右支上的一点,双曲线的一条渐近线 a 9 方程为 3x-y=0.设 F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=________. 3 解析:由双曲线的一条渐近线方程为 3x-y=0 可得: =3,即 a=1,由双曲线的定义 a 知 |PF1|-|PF2|=2a?|PF1|-3=2?|PF1|=5. 答案:5 三、解答题(共 37 分) 10.(12 分)如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1,F2 分别为左、右 π 焦点,双曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2= ,且△PF1F2 的面积为 2 3,又双曲线的离心 3 率为 2,求该双曲线的方程.

x2 y2 解析:设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0), a b F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2 中,由余弦定理,得: π |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos 3 =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 即 4c2=4a2+|PF1|· |PF2|. 又∵S△PF1F2=2 3, 1 π ∴ |PF1|· |PF2|· sin =2 3. 2 3 ∴|PF1|· |PF2|=8. ∴4c2=4a2+8,即 b2=2. c 2 又∵e= =2,∴a2= . a 3

4

3x2 y2 ∴双曲线的方程为: - =1. 2 2 11.(理)(12 分)双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经过 → → → 右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1、l2 于 A、B 两点.已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列,且 → → BF与FA同向. (1)求双曲线的离心率; (2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解析:(1)设 OA=m-d,AB=m,OB=m+d, 1 由勾股定理得(m-d)2+m2=(m+d)2,∴d= m. 4 b AB 4 tan∠AOF= ,tan∠AOB=tan2∠AOF= = . a OA 3 b 2 a 4 b 1 由倍角公式 = ,解得 = . b2 3 a 2 1-? ? a a2+b2 c 5 ∴离心率 e= = = . a a 2 a (2)过 F 直线方程为 y=- (x-c), b x2 y2 与双曲线方程 2- 2=1 联立. a b 15 8 5 将 a=2b,c= 5b 代入,化简得 2x2- x+21=0. 4b b 4= = a 1+? ?2|x1-x2| b a [1+? ?2][?x1+x2?2-4x1x2] b 32 5b 2 28b2 5[? ? -4 ],解得 b=3. 15 5

将数值代入,有 4=

x2 y2 故所求得双曲线方程为 - =1. 36 9 (文)(12 分)已知双曲线的中点在原点, 焦点 F1, F2 在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点(4, - 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1· MF2=0; (3)对于(2)中的点 M,求△F1MF2 的面积. 解析:(1)∵e= 2,

5

∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ. ∵过(4,- 10)点, ∴16-10=λ,即 λ=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)法一:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m ∴kMF1= , 3+2 3 m m2 m2 kMF2= ,kMF1· kMF2= =- . 3 9-12 3-2 3 ∵点(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3, 故 kMF1· kMF2=-1, → → ∴MF1⊥MF2,∴MF1· MF2=0. → → → → 法二:∵MF1=(-3-2 3,-m),MF2=(2 3-3,-m),∴MF1· MF2=(3+2 3)×(3 -2 3)+m2=-3+m2, ∵M 点在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0, → → ∴MF1· MF2=0. (3)△F1MF2 的底|F1F1|=4 3,△F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴S△F1MF2=6. 4 12.(13 分)(2011· 巢湖一模)已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲 5 线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B,在第二象限内取双曲线上一点 P,连接 BP 交椭 → → 圆于点 M,连接 PA 并延长交椭圆于点 N,若BM=MP,求点 M、点 P 的坐标. x2 y2 解析:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b x2 y2 则根据题意,双曲线的方程为 2- 2=1 且满足 a b a2-b2 4 ? ? = , 5 ? a ? ?2 a2+b2=2 34,
2 ? ?a =25, ? 解方程组得 2 ?b =9. ?

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程为 - =1. 25 9 25 9
6

(2)由(1)得 A(-5,0),B(5,0),|AB|=10, → → 设 M(x0,y0),则由BM=MP得 M 为 BP 的中点,所以 P 点坐标为(2x0-5,2y0). 将 M、P 坐标代入椭圆和双曲线方程,



? ??2x -5? 4y ? 25 - 9
0 2

x02 y02 + =1, 25 9

0

2

=1,

消去 y0,得 2x02-5x0-25=0. 5 解之,得 x0=- 或 x0=5(舍去). 2 3 3 5 3 3 所以 y0= .由此可得 M(- , ), 2 2 2 所以 P(-10,3 3).

7


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