当前位置:首页 >> 数学 >>

河北南宫中学高三数学上学期第7次周测试卷 理(实验班)

南宫中学实验班 2015 届高三(上)理科数学第 7 次周测试题(实验班用)
一、选择题(共 12 小题,满分 60 分) 1.已知 a<b<|a|,则 A. > B.ab<1 C. >1 D.a >b
2 2

8.设 ? ? (0, ? ) , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? ? ,则下列关系成立的是 2 cos ? 2 A. 3? ? ? ?

1 ? sin ?

?
2

B. 2? ? ? ? ?

2

C. 3? ? ? ? ? 2

D. 2? ? ? ? ?

2

2.已知 a ? b ? 0 ,且 a 与 b 不共线,则 a ? b 与 a ? b 的关系为 A.相等 3.已知 cos( B.相交但不垂直 C.平行 D.垂直

9. 把函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图像向左平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位可以得到函数 g ( x) 的图像, 若 g ( x)

的图像关于 y 轴对称,则 ? 的值为

?

3 ? x) ? ,则 sin 2 x ? 4 5
7 C. 25 ? 16 D. 25 ?

5? ? 5? 11? 或 或 D. 6 6 12 12 10.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S5 ? S 6 且 S 6 ? S 7 ? S8 ,则下列结论错误 的是( ). ..
A.

5? 6

B.

? 6

C.

18 A. 25

7 B. 25

A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值 B. a7 ? 0 C.公差 d ? 0 D. S9 ? S5 11.点 A,B,C,D 在同一个球面上, AB ? BC ? 2 ,AC=2,若球的表面积为 积最大值为 A.

4.已知直线 m、 l ,平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? ,下列命题中正确命题的个数是 ①若 ? / / ? ,则 m ? l A.1 B.2 ②若 ? ? ? ,则 m / / l C.3 D.4 ③若 m ? l ,则 ? / / ? ④若 m / / l ,则 ? ? ?

5 . 菱 形 ABCD 边 长 为 2 , ∠BAD=120° , 点 E , F 分 别 别 在 BCCD, BE ? ? BC, DF ? u DC , 若

25? ,则四面体 ABCD 体 4

3 AE ? AF ? 1, CE ? CF ? ? ,则 ? ? u ? 2 1 3 5 7 A. B. C. D. 2 2 4 12 1 6.在等差数列 {an } 中, a9 = a12 ? 6 ,则数列 {an } 的前 11 项和 S11 = 2
A.24 B.48 C.66 D.132 7.如图,某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 最长的一条侧棱长度为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

1 4

B.

1 2

C.

2 3

D.2

( ? B ? C ) ? s i nC ( ? A ? B) ? 12 . 已 知 ?A B C 的 内 角 A,B, C满足 s i n2 A ? s i n A

1 ,面积 S 满足 2

1 ? S ? 2,记a, b, c分别为A, B, C 所对的边,则下列不等式一定成立的是
A. bc(b ? c) ? 8 B. ac(a ? b) ? 16

2

C. 6 ? abc ? 12

D.12 ? abc ? 24

二、填空题(共 4 小题,满分 20 分) 13.数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 3

1 a2 ? 32

?

1 an ? 3n ? 1, n ? N * ,则 an ? 3n

.

1 1
主视图

14.设 x, y, z 为正实数,满足 x ? 3 y ? 2 z ? 0 ,则 1 1
左视图

y2 的最大值为 xz



E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1B1 内的动点,且 A1F // 平面 D1 AE , 15.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, F 的轨迹被正方形 BCC1B1 截得的线段长是________. 若正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长是 2,则

俯视图

16 .已知数列

?an ? 的前

n n 项和为 Sn ,满足 S n ? ( ?1) an ?

1 , 2n

?Sn ? 的前

n 项和为 Tn ,则

T2014 ? _________.
三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 若关于 x 的实系数方程 x 2 ? ax ? b ? 0 有两个根,一个根在区间 (0,1) 内,另一根在区间 (1,3) 内,记点

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 Sn+an>m 对任意的正整数 n 恒成立,求常数 m 的取值范围.

( a, b) 对应的区域为 S .
(1)设 z ? 2a ? b ,求 z 的取值范围; (2)过点 (?5,1) 的一束光线,射到 x 轴被反射后经过区域 S ,求反射光线所在直线 l 经过区域 S 内的整 点(即横纵坐标为整数的点)时直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)如图(1) ,在三角形 ABC 中,BA=BC= 2 2 , ?ABC ? 90 ,点 0,M,N 分别为 线段的中点,将 AABO 和 AMNC 分别沿 BO,MN 折起,使平面 ABO 与平面 CMN 都与底面 OMNB 垂直,如图(2) 所示. (1)求证:AB//平面 CMN; (2)求平面 ACN 与平面 CMN 所成角的余 (3)求点 M 到平面 ACN 的距离.
?

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC , AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA .

22. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与通项 an 满足 Sn ? 1 ? 1 an .

2

2

19 . (本小题满分 12 分)如图,在凸四边形 ABCD 中, C , D 为定点 , CD ? 3 , A , B 为动点,满足
AB ? BC ? DA ? 1 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 f ( x) ? log3 x, bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ),Tn ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ,求 T2014 ;

b1

b2

bn

(3)若 cn ? an ? f (an ) ,求 ?cn ? 的前 n 项和 U n .

(I)写出 cos C 与 cos A 的关系式; (II)设 ?BCD和?ABD 的面积分别为 S 和 T ,求 S 2 ? T 2 的最大值. 20. (本小题满分 12 分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N ) ,且 b1,a2,b2 成等差数列,a2,b2,a3+2 成等比数列,数列{bn}的前 n 项和为 Sn.
*

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:由 a<b<|a|可知 0 ?| b |?| a | ,由不等式的性质可知 | b |2 ?| a |2 ,而 | b |? b2 , | a |? a 2 ,所以 a >b ,答案选 D. 考点:不等式的性质 2.D 【解析】
2 2 试题分析:因为 (a ? b )(a ? b ) ? a 2 ? b 2 ?| a| ? | b| ? 0 ,所以 a ? b 与 a ? b 垂直,答案选 D.
2 2

联立①②得 ? ? u ?

5 . 4

考点:平面向量数量积的运算. 6.D 【解析】

1 a12 ? 6 及等差数列通项公式得, 2(a1 ? 8d ) ? a1 ? 11d ? 12 ,解得 a6 = a1 ? 5d =12, 2 11(a1 ? a11 ) 11? 2a6 所以 S11 = = =11×12=132,故选 D. 2 2
试题分析:由 a9 =

?

? ?

?

?

?

?

?

考点:向量的数量积运算及应用 3.C 【解析】 试题分析:由于 sin 2 x ? cos(

考点:等差数列通项公式,等差数列前 n 项和公式,等差数列性质 7.C 【解析】 试题分析:由 三 视 图 知 : 四 棱 锥 的 一 条 侧 棱 与 底 面 垂 直 , 且 高 为 1 , 如 图 :

?

? ? ? 3 ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 2 cos 2 ( ? x) ? 1 ,又由已知 cos( ? x) ? 得到 2 4 4 4 5

3 7 sin 2 x ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ? ? ,故选C. 5 25
考点:三角函数公式. 4.B 【解析】 试题分析: 对于①由 m ? ? , l ? ? 且 ? / / ? , 则m ? ? , 从而 m ? l , 所以正确; 对于②由于 m ? ? , l ? ? 且 ? ? ? ,则 m // ? , or, m ? ? ,不能推出 m / / l ,所以不正确;对于③由于 m ? ? , l ? ? 且 m ? l ,则不 一正有 ? / / ? ,故不正确;对于④由于 m ? ? , l ? ? 且 m / / l ,则 l ? ? ,从而有 ? ? ? ,故正确;所以 ①④正确,故应选B. 考点:线面垂直和平行的关系. 5.C 【解析】 SA ⊥ 平 面 ABCD , AD=CD=SA=1 , AB=2 , ∴ 最 长 的 侧 棱 为 SB= 1 ? 2 ? 5 ; 故 选 : C .
2 2

考点:三 视 图 8.B 【解析】 试题分析:? tan ? ?

sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ,? ,?sin ? cos ? ? cos? ? cos? sin ? , cos? cos ? cos ?

?sin ? cos ? ? cos? sin ? ? cos? ,? sin(? ? ? ) ? cos ? ? sin(

?

?? ? ? ? ( ?

? ? ?

, ), ? ? ? (0, ) ,?? ? ? ? ? ? ,即 2? ? ? ? . 2 2 2 2 2 2

?

?

? ? ) ,? ? ? (0, ), ? ? (0, ) , 2 2 2

?

?

?

试题分析:? AE ? AB ? ? BC, AF ? AD ? u DC ,因此 AE ? AF ? AB ? ? BC ? AD ? u DC

?

??

?

考点:同角三角函数基本关系式、两角差的正弦关系. 9.D 【解析】 试 题 分 析 : 将

? 1? ? AB ? AD ? u AB ? DC ? ? BC ? AD ? ?u BC ? DC ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 4? ? 4u ? 2?u ? 1 ,因此得 ? 2?

4?? ? u ? ? 2?u ? 3 ①,由于 BE ? ? BC, DF ? u DC ,得 CE ? ?? ?1?BC, CF ? ?u ?1?DC ,
因此得 CE ? CF ? ?? ? 1?BC ? ?u ? 1?DC ? ?? ? 1??u ? 1?? ?2? 2???

g ( x) ? sin[ 2( x ? ? ) ? ] ? sin( 2 x ? 2? ? ) , ? g ( x) 的 图 像 关 于 y 轴 对 称 , 即 g ( x) 为 偶 函 数 , 3 3 ? ? 5? k? 5? 11? ? 2? ? ? ? k? , k ? Z ,即?? ? ? , k ? Z ,分别取 k ? 0,1 得 ? ? , . 3 2 12 2 12 12
考点:三角函数的图像变换. 10.D 【解析】

?

f ( x) ? sin( 2 x ? ) 的 图 像 向 左 平 移 ? 个 单 位 后 得 到 3

?

?

? ?

1 3 ? 1 ?? 因此得 ?u ? ?? ? u ? ? ? ② ?? , ?? ? 4 2 ? 2 ??

试题分析:由题知 S6 ? S5 ? a6 ? 0 , S7 ? S6 ? a7 ? 0 , S8 ? S7 ? a8 ? 0 ,因此该等差数列是递减数列, 前 6 项为正,第 7 项为 0,从第 8 项开始为负值,? S9 ? S5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 2?a7 ? a8 ? ? 0 ,

试题分析:当 n ? 1 时, a1 ? 4 ,? a1 ? 12 ;当 n ? 2 时,由于

1 3

1 1 a1 ? 2 a2 ? 3 3

?

? S9 ? S5 ,选项 D 错.
考点:等差数列的性质. 11.C 【解析】 试题分析:由题知 AC ? BC ? AB ,所以∠ABC=90 ,设 AC 中点为 E,球的半级为 R,过 A,B,C 三点的
2 2 2
o

1 1 1 1 a ? 3n ? 1, n ? N * a1 ? 2 a2 ? ?? n ?1 an ?1 ? 3?n ? 1? ? 1 n n 3 3 3 ,3 ,

1 a ? 3,? an ? 3n ?1 ?n ? 2? a1 ? 12 n n 两式相减得 3 , 不满足

?12, n ? 1 ? an ? ? n?1 ?3 , n ? 2 .
考点:由 Sn 得 an . 14.

1 25? 25? 5 AC=1,由球的表面积为 知, 4? R 2 = ,解得 R= ,所以球心到过 A,B,C 2 4 4 4 3 1 三点的截面 d ,则 R2 ? r 2 = ,因△ABC 的面积为 AB ? BC =1,所以要四面体 ABCD 体积最大,则 D 4 2 3 5 1 2 为直线 DE 与球的交点且球心在线段 DE 上, 所以 DE= + =2, 所以四面体 ABCD 体积最大值为 ?1? 2 = , 4 4 3 3
截面圆半径 r =AE= 故选 C. 考点:球的体积 12.A 【解析】

8 9
( x ? 2 z ) 2 x 2 ? 4 z 2 ? 4 xz 4 xz ? 4 xz 8 x ? 2z ? ? ? ,原式 ? 3 9 xz 9 xz 9 xz 9

【解析】 试题分析:由 x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? y ? 考点:基本不等式 15. 2 【解析】 试题分析:取 BB1 , B1C1 的中点 P,Q.易证,面 A 1 PQ F 的轨迹的长度为: PQ ?
D1 Q B1 F E

1 1 ? sin 2 A+sin2B+ sin 2C ? 2 2 1 1 ? sin ? 2? ? ? 2 B ? 2C ? ? +sin2B+ sin 2C ? ? sin2B+ sin 2C ? sin ? 2 B ? 2C ? ? 2 2 1 1 ? sin 2 B ?1 ? cos 2C ? ? sin 2C ?1-cos2B ? ? ? 4sin B sin C ? sin B cos C ? cos B sin C ? ? 2 2 1 ? sin A sin B sin C ? (1) 8 1 1 2 由三角形面积公式 s ? ab sin C 及正弦定理得: s ? ? 4R sin A sin B sin C 2 2
试题分析:由题设得: sin 2 A+sin ?? ? 2 B ? ? sin ? 2C ? ? ? ?
2 所以 R ? 4s 2 又因为 1 ? s ? 2 ,所以 4 ? R ? 8

面 AD1E ,所以点 F 的轨迹即为线段 PQ,所以点

1 BC1 ? 2 . 2
C1

A1

D

P C

b?c b?c ? 8R 3 sin A sin B sin C ? ? R 3 恒成立,所以 bc ?b ? c ? ? 8 所以 bc ? b ? c ? ? abc ? a a
故选 A. 考点:1、两角和与差的三角函数;2、正弦定理;3、三角形的面积公式. 13. an ? ? 【解析】

A

B

考点:空间几何体. 16. 3(1 ? 【解析】

?12, n ? 1
n ?1 ?3 , n ? 2 .

1 4
1007

)

1 1 ,所以 a1 = , 2 4 1 n 当 n ? 2 时, Sn = (?1) ( S n ? S n ?1 ) ? n , 2 1 1 当 n ? 2k ( k ? N * )时, S 2 k = S 2 k ? S 2 k ?1 ? 2 k ,即 S2 k ?1 = 2 k , 2 2 1 1 当 n ? 2k ? 1 ( k ? N * )时, S2 k ?1 = ? S 2 k ?1 ? S 2 k ? 2 ? 2 k ?1 ,所以 S2 k ?2 = 2 S 2 k ?1 ? 2 k ?1 =0, 2 2 1 1 (1 ? 1007 ) 1 1 1 1 1 4 所以 Tn = S1 ? S2 ? S3 ? ? S2014 = +0+ 2 +0+ + 1007 +0= 4 = (1 ? 1007 ) . 1 4 4 3 4 4 1? 4
试题分析:当 n=1 时, a1 = S1 = ?a1 ? 考点:数列第 n 项与前 n 项和的关系,递推数列,分组求和思想,等比数列前 n 项和公式 17 . ( 1 ) ?11 ? z ? ?2 ; (2) y ? x ? 4 。 【 解 析 】(I) 本 小 题 根 据 二 次 函 数 零 点 分 布 规 律 可 以 得 到 一 个 关 于 a,b 的 不 等 式 组 ,然 后 转化为线性规则的知识求解即可. (2) 首先明确过点 (?5,1) 的光线经 x 轴反射后的光线必过点 (?5, ?1) ,再结合(1)中的可行域先观察可 能满足条件的整点,逐个验证,最终找到符合条件的整点.进而确定所求直线的方程.
2 ( 1 )方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根在区间 (0,1) 和 (1,3) 上的几何意义是:函数 y ? f ( x) ? x ? ax ? b 与 x

z 取得最小值,经过点 C 时 z 取得最大值,即 zmin ? ?11, zmax ? ?2 ,
又 A, B, C 三点的值没有取到,所以 ?11 ? z ? ?2 ; . . . . . .8 分 (2)过点 (?5,1) 的光线经 x 轴反射后的光线必过点 (?5, ?1) ,由图可知 可能满足条件的整点为 (?3,1),(?3, 2),(?2, 2),(?2,1) ,再结合不等式知点 (?3,1) 符合条件,所以此时直 线方程为: y ? 1 ?

1 ? (?1) . . . . . .11 分 ? ( x ? 5) ,即 y ? x ? 4 . ?3 ? (?5)

18. (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)题中条件出现了两个中点,故可考虑利用三角形中位线得到线线平行从而得到线面平行: 即有 PA // EF , PA ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , PA // 平面 BEF ; (2)由题中条件平面 PAB ? 平面 ABC , 故可首先由面面垂直得到线面垂直, 因此在平面 PAB 内过点 P 作 PD ? AB , 垂足为 D , 则有 PD ? 平面 ABC ,结合条件 PB ? BC ,可得 BC ? 平面 PAB ,从而 BC ? PA . 试题解析: (1)在 ?PAC 中,∵ E 、 F 分别是 PC 、 AC 的中点,∴ PA // EF , 又∵ PA ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF ,∴ PA // 平面 BEF ; (2)如图,在平面 PAB 内过点 P 作 PD ? AB ,垂足为 D . ∵平面 PAB ? 平面 ABC ,平面 PAB 平面 ABC ? AB , PD ? 平面 PAB , ∴ PD ? 平面 ABC , 8分 又∵ BC ? 平面 ABC ,∴ PD ? BC , 10 分 又∵ PB ? BC , PD PB ? P , PD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , ∴ BC ? 平面 PAB , 12 分 ∵ PA ? 平面 PAB ,∴ BC ? PA . 14 分 6分

轴的两个交点的横坐标分别在区间 (0,1) 和 (1,3) 内,由此可得不等式组

? f (0) ? 0 ?b ? 0 ? ? ? f (1) ? 0 ,即 ? a ? b ? 1 ? 0 ,则在坐标平面 aOb 内,点 ( a, b) 对应的区域 S 如图阴影部分所示, ?3a ? b ? 9 ? 0 ? f (3) ? 0 ? ?
b A(-4, 3)

B

?3

?1 O C ?1

a

考点:1.线面平行的证明;2.线线垂直的证明. 19. (1) cos A ? 3 cos C ? 1 ; (2) S ? T 有最大值
2 2

?9

7 . 8

易得图中 A, B, C 三点的坐标分别为 (?4,3), (?3, 0), (?1, 0) , . . . . . .4 分 (1)令 z ? 2a ? b ,则直线 b ? 2a ? z 经过点 A 时

【解析】 试题分析:本题主要考查解三角形中的余弦公式、三角形的面积公式、平方关系、配方法求函数的最值 等数学知识,考查运用三角公式进行三角变换的能力、计算能力.第一问,在 ?BCD 和 ?ABD 中利用余

弦定理分别求 BD , 两式联立, 得到 cos C 和 cos A 的关系式; 第二问, 先利用面积公式展开求出 S 和 T ,
2 2 化简 S ? T ,利用平方关系,将 sin A , sin C 转化为 cos A , cos C ,再将第一问的结论代入,配方法

2

求函数最值. 试题解析: (I)由余弦定理,在 ?BCD 中, BD2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2 ? BC ? CD ? cos C = 4 ? 2 3 cos C , 在 ABD 中, BD 2 ? 2 ? 2 cos A . 所以 4 ? 2 3 cos C = 2 ? 2 cos A ,即 cos A ? 3 cos C ? 1. 4分 6分

令 f(n)=3 +3n﹣3,则 f(n+1)﹣f(n)=2?3 ﹣3>0, ∴f(n)单调递增, ∴m<f(1)=3. ∴常数 m 的取值范围{m|m<3} 考点:1.等差数列和等比数列的通项公式;2.等比数列的求和公式;3.与正整数有关的不等式恒成立问题 21.详见解析 【解析】 试题分析: (1)证明线与面平行,可通过证明线线平行,线面平行,或是面面平行,线面平行,此题很 显然属于后者,根据已知,易证 AO // CM , OB // MN ,再根据线面与面面平行的判定定理证得; (2)这一问可通过空间向量,建立平面直角坐标系,易证 OA, OB, OM 两两垂直,所以以 O 为原点建立 空间直角坐标系,分别求出面 ANC 与面 CMN 的法向量,利用公式 cos? ? cos ? m, n ?? 图像确定钝角还是锐角; (3)在第二问的基础上,利用点到面的距离公式, d ?

n

n

1 3 sin C 1 1 BC ? CD ? sin C ? , T ? AB ? AD sin A ? sin A. 2 2 2 2 3 1 3 1 所以 S 2 ? T 2 ? sin 2 C ? sin 2 A ? (1 ? cos2 C) ? (1 ? cos2 A) 4 4 4 4
(II) S ?

m?n mn

,最后又

3 3 3 ? - cos2 C ? cosC ? 2 2 4 3 3 2 7 ? ? (cosC ? ) ? 2 6 8
0 0

MC ? n n

10 分

.此题比较容易,难点在求解法向量的计

3 由题意易知, C ? (30 , (0, ) 90 ) ,所以 cosC ? 2
当 cosC ?

算过程容易出错,所以平时要加大法向量的求解要求. 试题解析: (1) OB //MN , OB ? 平面 CMN ? OB // 平面 CMN

7 3 2 2 时, S ? T 有最大值 . 8 6

12 分

OA//MC , OA ? 平面 CMN ? OA// 平面 CMN
OA OB ? O ,∴平面 OAB // 平面 CMN ,又 AB ? 平面 OAB , ∴ AB // 平面 CMN 4分
(2)分别以 OB, OM , OA 为 x, y, z 轴建立坐标系, 则 A(0, 0, 2) , B(2, 0, 0) , M (0,1,0) , C (0,1,1) , N (1,1, 0) , ∴ AC ? (0,1, ?1) , NC ? (?1,0,1) ,设平面 ANC 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则有 ?

考点:1.余弦定理;2.三角形面积公式;3.平方关系;4.配方法求函数最值. n﹣1 20. (Ⅰ)an=3n﹣2,bn=2?3 ; (Ⅱ){m|m<3} 【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 {bn} 的 公 比 为 q ( q > 0 ) , 由 已 知 得

?2(1 ? d ) ? 2 ? 2q 2 ? (1 ? 3 ) n﹣1 ? 3n ? 1 , ,解得 d=q=3,所以 an=3n﹣2, bn=2?3 ; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 Sn ? ? 2 1? 3 ?(2q) ? (1 ? d )(3 ? 2d )
n

从而 Sn ? an ? 3n ? 3n ? 3 ,则 3 +3n﹣3>m 对任意的正整数 n 恒成立,构造函数 f(n)=3 +3n﹣3,则
n n

? ? n ? AC ? y ? z ? 0 ? ?n ? NC ? ? x ? z ? 0

,令 x ? 1 ,得 n ? (1,1,1) ,而平面 CMN 的法向量为:

f(n+1)﹣f(n)=2?3 ﹣3>0 即 f(n)单调递增,所以 m<f(1)=3,答案为{m|m<3}. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q(q>0) .

n

?2(1 ? d ) ? 2 ? 2q 由题意,得 ? ,解得 d=q=3. 2 ?(2q) ? (1 ? d )(3 ? 2d )
∴an=3n﹣2,bn=2?3 ; (Ⅱ)∵Sn+an>m 对任意的正整数 n 恒成立, n ∴3 +3n﹣3>m 对任意的正整数 n 恒成立,
n﹣1

OM ? n1 ? (0,1,0) , | cos ? n, n1 ?|?

n ? n1 3 ? | n |? | n1 | 3

8分

(3) MC ? (0,0,1) ,由(2)知平面 ANC 的法向量为: n ? (1,1,1) ,

∴d ?

| MC ? n | 3 ? 3 |n|

12 分

1 1 1 ? ?2( ? ) ,..............6 分 bn n n ?1
又∵ Tn ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? ?2[(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ??? ? ( 1 ? 1 )] ? ?2(1 ? 1 ) ? ?2n ,......

考点:1.平行的判定;2.空间坐标系解决二面角与点的面的距离的问题.
n 22. (1) an ? ( ) ; (2) T2014 ? ?

1 3

4028 3 3 1 n 3 1 n ?1 ; (3) U n ? ? ? ( ) ? n( ) . 2015 4 4 3 2 3

b1

b2

bn

2

2 3

n

n ?1

n ?1

n ?1

9分

∴ T2014 ? ?

【解析】 试 题分析 : ( 1 )条件中 Sn ? 1 ? 1 an 是 前 n 项和 Sn 与 第 n 项 an 之间 的关 系,考虑 到当 n ? 2 时 ,

4028 2015
1 3

10 分

2

2

n (3)由(2)及 cn ? an ? f (an ) ,∴ cn ? (? n)( ) , 1 2 n ∴ U n ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? ?[1? ( ) ? 2 ? ( ) ? ??? ? n ? ( ) ] ①,

12 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? an ? ( ? an ?1 ) ? an ? an ?1 ,又由 a1 ? S1 ? ? a1 ? a1 ? , 2 2 2 2 3 2 2 3 1 1 1 n 从而可以证明数列 {an } 是以 为首项, 为公比的等比数列,∴通项公式 an ? ( ) ; (2)由(1)结合 3 3 3 1 n f ( x) ? log3 x ,可得 f (an ) ? log 3 x ? log 3 ( ) ? ?n , 3

an ? Sn ? Sn?1 ,因此可得 an ?

1 3

1 3

1 3

从而 bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ?

1 n(n ? 1) , 因此考虑采用裂项相消法求 { } 的前 2 bn
n n ?1 n ?1 n ?1

1 1 1 3 3 3 2 11 1 2 1 n 1 n ?1 1 1 1 n 1 n ?1 ①-②: U n ? ?[( ) ? ( ) ? ??? ? ( ) ? n( ) ] ? ? ? ( ) ? n( ) , 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 1 n 3 1 n ?1 ∴ U n ? ? ? ( ) ? n( ) , 16 分 4 4 3 2 3
2 3 n ?1 ① ? 可得: U n ? ?[1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ??? ? n ? ( ) ] ②,

1 3

1 3

考点:1.求数列的通项公式;2 裂项消法求数列的和;3.错位相减法求数列的和.

即有 Tn ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? ?2[(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ??? ? ( 1 ? 1 )] ? ?2(1 ? 1 ) ? ?2n ; (3) 由 (2) n 项和,

b1

b2

bn

2

2 3

n 及 cn ? an ? f (an ) ,可得 cn ? (? n)( ) ,因此 cn 可看作是一个等比数列与一个等差数列的积,可以考虑采 1 2 n 用错位相减法求其前 n 项和,即有 U n ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? ?[1? ( ) ? 2 ? ( ) ? ??? ? n ? ( ) ] ①,

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 1 1 U n ? ?[1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? n ? ( ) n ?1 ] ②, 3 3 3 3 2 11 1 2 1 n 1 n ?1 1 1 1 n 1 n ?1 ①-②: U n ? ?[( ) ? ( ) ? ??? ? ( ) ? n( ) ] ? ? ? ( ) ? n( ) , 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 1 n 3 1 n ?1 从而 U n ? ? ? ( ) ? n( ) . 4 4 3 2 3 1 1 1 (1)在 Sn ? 1 ? 1 an 中,令 n ? 1 ,可得 a1 ? S1 ? ? a1 ? a1 ? ..............2 分 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? ( ? an ?1 ) ? an ? an ?1 , 2 2 2 2 3 1 1 1 n ∴数列 {an } 是以 为首项, 为公比的等比数列,∴ an ? ( ) ; 4分 3 3 3 1 n 由(1)及 f ( x) ? log3 x ,∴ f (an ) ? log 3 x ? log 3 ( ) ? ?n , 3


bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ?

n(n ? 1) 2