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2.1.3 两条直线的位置关系


1.3 两条直线的位置关系

1.记住两直线平行与垂直的判定方法; 1.记住两直线平行与垂直的判定方法; 记住两直线平行与垂直的判定方法 2.会用条件判定两直线平行与垂直. 2.会用条件判定两直线平行与垂直. 会用条件判定两直线平行与垂直

平面内两条直线位置关系有哪些? 平面内两条直线位置关系有哪些?

思考:平面内两直线的位置关系如何? 思考:平面内两直线的位置关系如何? 平行
l1 l2
o x

垂直

重合
l1 l2

y

l2

y

l1

y

o x

o x

两直线平行的条件是什么? 两直线平行的条件是什么? 垂直呢? 垂直呢?

一、特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时 当两条直线中有一条直线没有斜率时: 没有斜率
l1 y l2

(1)当另一条直线的斜率也不存在时, (1)当另一条直线的斜率也不存在时, 当另一条直线的斜率也不存在时
o x

两直线的倾斜角为 90° 此时,两直线位置关系为: 此时,两直线位置关系为: 互相平行或重合

(2)当另一条直线的斜率为 时 (2)当另一条直线的斜率为0°时, 当另一条直线的斜率为 一条直线的倾斜角为90° 一条直线的倾斜角为 另一条直线的倾斜角为 0° 互相垂直 此时,两直线位置关系为: 此时,两直线位置关系为:
l1 y l1 o x

二、斜率存在时两直线的平行与垂直
平行: 平行:两条不重合直线 l1 : y = k1 x + b1 和 l2 : y = k2 x + b2 (b1 ≠ b2 ) , 若 l1 l2, 则 k1 = k2 反之, 反之,若 k1 = k2 , l1 l2 则
l1 l2
α1
0

y

α2
x

判断下列各对直线是否平行,并说明理由: 例1 判断下列各对直线是否平行,并说明理由:
(1)l1 : y = 3 x + 2; (2)l1 : y = 2 x + 1;
(3)l1 : x = 6;

l2 : y = 3 x + 5;
l2 : y = 3 x;

l2 : x = 8;

解: (1)设两直线的斜率分别是 k1 ,k2 ,在 y 轴上截距 分别是 b1 ,b2 ,则 k1 = 3,b1 = 2,k2 = 3,b2 = 5. 因为 k1 = k1,b1 ≠ b2, 所以 l1 l2 . (2)设直线的斜率分别是 k , k ,在 y 轴上截距分别 (2)设直线的斜率分别是 1 2 是 b ,b ,则 k1 = 2,k2 = 3,b1 = 1,b2 = 0. 2 1 不平行. 因为 k1 ≠ k2 ,所以 l1与l2 不平行. (3)由方程可知, (3)由方程可知, l1 ⊥ x轴 l2 ⊥ x 轴两直线在 由方程可知 不相等, 不相等,所以 l1 l2 .

x

轴上截距

的直线方程. 例2 求过点 A (1, 2 ), 且平行于直线 2 x ? 3 y + 5 = 0 的直线方程 解 所求直线平行于直线 2 x ? 3 y + 5 = 0 ,所以它们的斜率 2 相等,都为 k = , 相等, 3 所以, 而所求直线过 A (1, 2 ), ,所求直线 所以

2 的方程为 y ? 2 = ( x ? 1) , 3
即 2x ? 3y + 4 = 0 .

已知直线 l1 : y = k1 x, 过原点作与 l1 垂直的直线 l2 , 的斜率. 求 l2 的斜率
y
l1

o
l2

x

y

l1
T1

D

o
T2

x
l2

当直线 l1,2 ,不经过原点时,可以过 l 不经过原点时, 原点作两条直线, 原点作两条直线,分别平行于直线 l1 , 即可转化为上述情况. l2 ,即可转化为上述情况

y

l1
T1

o
T2

x
l2

l 垂直:一般地, 垂直:一般地,设直线 l1 : y = k1 x + b1,2 : y = k2 x + b2 .

反之, 若 l1 ⊥ l2 ,则 k1 k2 = ?1 ;反之,若 k1 k2 = ?1,则 l1 ⊥ l2 .

判断下列两直线是否垂直,并说明理由: 例3 判断下列两直线是否垂直,并说明理由: (1)l1 : y = 4 x + 2,l2 : y = ?

1 x + 5; 4

1 设两直线的斜率分别是 k1,k 2, 则 k1 =4,k 2 =- , 4 1 有 k1 k 2 =4 ×(- )=-1,所以 l1 ⊥ l2 . 4



(2) l1 : 5 x + 3 y = 6,l2 : 3 x ? 5 y = 5; 解 设两直线的斜率分别是 k1,k2, 则 k1 =- 5 ,k2 = 3 ,
3 5

5 3 有 k1 k2 =(- )× =-1,所以 l1 ⊥ l2 . 3 5

(3) l1 : y = 5,l2 : x = 8.

l 解 因为 l1 平行于 x 轴,2 垂直于 x 轴,所以 l1 ⊥ l2 .

例4

的直线方程. 求过点 A(3, 且垂直于直线 4 x + 5 y ? 8 = 0 的直线方程. 2)

4 解 已知直线 4 x + 5 y ? 8 = 0 的斜率为 ? ,所求直线于 5 5 已知直线垂直, 已知直线垂直,所以该直线的斜率为 , 4 该直线过点 A(3, , 2)
5 因此所求直线方程为 y ? 2 = ( x ? 3) , 4
即 5 x ? 4 y ? 7 = 0.

1.

下列说法中正确的是 ①③④⑤ 中正确的是______ 已知不重合的两条直线 l1 与 l2 ,下列说法中正确的是______

的斜率相等, ① 若直线 l1 与 l2 的斜率相等,则 l1 ∥ l2 ; 则两直线的斜率相等; ② 若直线 l1 ∥ l2 ,则两直线的斜率相等; 的斜率均不相等,则两直线不平行; ③ 若直线 l1 , l2 的斜率均不相等,则两直线不平行; 的斜率均不存在, ④ 若直线 l1 , l2 的斜率均不存在,则 l1 ∥ l2 ; 平行, 的斜率不存在, ⑤ 如果直线 l1 , l2 平行,且 l1 的斜率不存在,那么 l2 的斜率也不存在

2.若过点 A(?2,2), B(5,0) 的直线与过点 P(2m,1), Q(?1, m) 的 的值为( 直线平行, 直线平行,则 m 的值为( (A)-1 (A)-1 (B)3 (B)3

B

) (C)2

1 (D) . 2

满足下列两个条件: 3.已知直线 l 满足下列两个条件: 2x 的交点; (1) 过直线 y = – x + 1 和 y = 2x + 4 的交点; 的方程. 垂直, (2) 与直线 x –3y + 2 = 0 垂直,求直线 l 的方程.

【解析】 由 ?y = ?x +1 ,得交点(-1,2), 解析】 ?
?y = 2x + 4

∵ kl = 3, ∴ 所求直线 l 的方程为: 3x + y + 1 = 0.

1.两直线平行的判定方法 2.两直线垂直的判定方法

不想当元帅的士兵不是好士兵。


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