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立体几何求体积


1、如图所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC , PD ? AC 于点 D , AD ? 1 ,CD ? 3 , PD ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明△ PBC 为直角三角形.

2、 如图, E 为矩形 ABCD 所在平面外一点,AD ? 平面 ABE, AE=EB=BC=2, F 为 CE 是的点, 且 BF ? 平面 ACE,AC ? BD ? G (1)求证: AE ? 平面 BCE; (2)求三棱锥 C—BGF 的体积。

3、如图,已知 AB ⊥平面 ACD , DE ∥ AB , AD ? AC ? DE ? 2 AB =1,且 F 是 CD 的中点. AF ? 3 (Ⅰ)求证: AF ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE⊥平面 CDE ; (III) 求此多面体的体积.

AD ? CD ? DP ? a , 4、 在如图 4 所示的几何体中, 平行四边形 ABCD 的顶点都在以 AC 为直径的圆 O 上, AP ? CP ? DP // AM ,且 AM ?

2a ,

1 DP , E , F 分别为 BP, CP 的中点.(I)证明: EF // 平面 ADP ; (II)求三棱锥 M ? ABP 的体积. 2

E 是线段 AC 5、在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 1 1 的中点,底面 ABCD 的中心是 F.
(1)求证: CE ? BD ;(2)求证: CE ∥平面 A 1BD ;(3)求三棱锥 D ? A 1BC 的体积.

-1-

' ' ' 6、矩形 ABCD 中, 2 AB ? AD , E 是 AD 中点,沿 BE 将 ?ABE 折起到 ?A BE 的位置,使 AC ? A D , F 、G 分别是

(2)设 AB ? 2 ,求四棱锥 A? ? BCDE 的体积. BE 、CD 中点.(1)求证: A?F ⊥ CD ;

7、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD ? 底面ABCD ,且 PA ? PD ? 若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求证:平面 PDC ? 平面 PAD .(3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积 VP? ABCD .

2 AD , 2

D 是 AB 的中点, 8、如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , AA 1 ? 4 ,点
(1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 // 平面CDB1 ; (3)求三棱锥 C1 ? CDB1 的体积。

9、如图 1,在正三角形 ABC 中,AB=3,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,AE=CF=CP=1。将 ?AFE 沿 EF 折起到 ?A1EF 的位置,使平面 A 。 1EF 与平面 BCFE 垂直,连结 A1B、A1P(如图 2) (1)求证:PF//平面 A1EB; (2)求证:平面 BCFE ? 平面 A1EB; (3)求四棱锥 A1—BPFE 的体积。

-2-

10、如图所示的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ? 线段 B1 D1 的中点. (1)求证: BM

2 ,M 是

/ / 平面 D1 AC ;

(2)求三棱锥 D1 ? AB1C 的体积.

11、已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, PD ? 平面ABCD , PD ? 6, E, F 分别为 PB, AB 中点。 (1)证明: BC ? 平面PDC ; (2)求三棱锥 P ? DEF 的体积。

12、如图 6,在四面体 PABC 中,PA=PB,CA=CB,D、E、F、G 分别是 PA,AC、CB、BP 的中点. (1)求 证:D、E、F、G 四点共面; (2)求证:PC⊥AB; (3)若△ABC 和 PAB 都是等腰直角三角形,且 AB=2, PC ?

2 ,求四面体 PABC 的体积.

13、如图所示,圆柱的高为 2,底面半径为 7 ,AE、DF 是圆柱的两条母线,过 AD 作圆柱的截面交下底面于 BC . (1)求证: BC // EF ; (2)若四边形ABCD是正方形,求证 BC ? BE ; (3)在(2)的条件下,求四棱锥 A ? BCE 的体积.

? 14、如图,平行四边形 ABCD 中, CD ? 1 , ?BCD ? 60 ,且 BD ? CD ,正方形 ADEF 和平面 ABCD 垂直, G , H 是

DF , BE 的中点. (1)求证: BD ? 平面CDE ; (2)求证: GH // 平面 CDE ; (3)求三棱锥 D ? CEF 的体积.

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15.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 上的动点. (Ⅰ)求证:A1E⊥BD; (Ⅱ)当 E 恰为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A1BD⊥平面 EBD; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,如果一只蜜蜂在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内部任意飞,求它飞入三棱锥 A1-BDE 内部的概率.

16.在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF; P

E F A B D

17.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC=4,CB=2,AA1=2 ?ACB ? 60 ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点。
?

C

(1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ; (2)证明: C1 F // 平面 ABE;(3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积。

18.如图: C 、 D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3 , AC ? BC , F 是 AB 上一点,且 AF ? 圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上. (1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD // 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A ? CFD 的体积.

1 AB ,将 3

19.如图,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四边形 ACFE 为矩形,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=60°,且 AD=DC=CB=1,M 是线段 EF 的中点. (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)在线段 BC 上是否存在点 G,使得 FG∥平面 ANB?若存在,请指出点 G 所在位置;若不存在,请说明理由; (3)求三棱锥 E―MBA 的体积.

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