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高中数学人教版A选修2-1教学设计:2.2.1《椭圆及其标准方程》教案_图文

教案:椭圆及其标准方程 一、教学内容 新课标人教版选修 2-1 第二章第二节第一课时内容: 2.2.1 椭圆及其标准方程 二、教材分析 教材的地位与作用 ⑴从知识上说,它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练; ⑵从方法上说,它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础. 所以说,无论从教材内容,还是从教学方法上都起着承上启下的作用.本小节安排两课时: 第一课时:椭圆的定义及标准方程的推导; 第二课时:运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程. 三、课程目标 ⑴知识目标: ①掌握椭圆的定义及其标准方程; ②通过对椭圆标准方程的探求,熟悉求曲线方程的一般方法. ⑵能力目标:通过自我探究、操作、数学思想(待定系数法)的运用等,从而提高学生实 际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力. ⑶情感目标:在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系, 体会形数美的统一, 激发学生学习 数学的兴趣,培养学生勇于探索,勇于创新的精神. 四、重点和难点 重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程; 难点:椭圆标准方程的建立和推导. 五、教学过程与方法目标 (一)设置情景,导入新课 1、 (借助多媒体)先演示本章开头语中用一个倾斜平面截圆锥,可以得到截口曲线(椭圆) ; 今天我们就着手研究这个内容. (进而出示本节研究的课题的教学目标) 2、 (借助多媒体)展示图片 【设计意图】让学生明确椭圆与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系,激发学生的求知 欲. (二)尝试画图、形成感知 1、动手画椭圆 (1)请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔,同桌一起合作画椭圆. (2)动画演示椭圆的形成过程.(动画 1) 2、同学们作完图、观察完演示后,思考下面问题: ⑴.结合实验,你应如何给椭圆下定义?定义含有几个要点? ⑵.在画出一个椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的? ⑶.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? ⑷.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系? 3、教师再进一步明确椭圆概念、焦点、焦距概念,强调形成椭圆的条件. (三)探究椭圆的标准方程 1、复习求动点的轨迹方程的基本步骤 (由学生回答,不正确的教师给予纠正) 2、椭圆标准方程的探求 ⑴建系 让学生自己动手试一试如何恰当地建立坐标系. 教师巡回察看各个同学的建系情况,然后让几个同学说出自己建系的依据,师生共评, 寻找最佳方案. 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况: 方案一:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 的中点为原点; 方案二:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1 为原点; 方案三:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F2 原点; 方案四:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 与 x 轴的左交点为原点; 方案五:把 F1、F2 建在 x 轴上,以 F1F2 与 x 轴的右交点为原点; 经过比较确定方案一. 以两定点 F1 、 F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐 标系(如图 1) .设 F1F2 ? 2c ?c ? 0? ,则 F1 ?? c, 0? , F2 ?c, 0? . 已知图形,建立直角坐标系的一般要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、 注意图形的特殊性和一般性关系. ⑵设点 设 M ?x,y ? 为椭圆上的任意一点, M 与 F1 、 F2 的距离的 和等于 2 a ( 2a ? 2c ). 由 定 义 得 到 椭 圆 上 点 (图 1) M 的 集 合 为 P ? ?M MF1 ? MF2 ? 2a?. ⑶列式 将条件式 MF 1 ? MF 2 ? 2a 代数化,得 ?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2 ⑷化简 先让学生各自在练习本上自行化简,教师巡视. ? 2a (*) 预测学生问题:①若学生采用两次平方的方法化简,最后应得到 ?a 2 ? c2 x2 ? a2 y 2 ? a2 a2 ? c2 ? ? ? (* *) 在此过程中,教师一边巡视,一边给予指导和提示,然后选出 1—2 位学生的推导过程展 示出来,并请学生本人作简要陈述. 然后教师提出:有无较为简单的方法化简(*)式呢? 请学生观察式子 ?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2 ? 2a , 引导学生联想等差中项的定义:“ m, p , n 成等差数列 ? m ? n ? 2 p ”, 知 ?x ? c ?2 ? y 2 , a , ?x ? c ?2 ? y 2 成等差数列, ? ? 可设 ? ? ? ?x ? c ?2 ? y 2 ?x ? c ?2 ? y 2 ? a ? d, ? a ? d. 再设法消去 d ,即可将(*)式化简为(* *)式. 若学生先想到利用等差中项的概念式化简得(* *)式,则教师提出采用两次平方的方法 请学生一试,也可得(* *)式. ② b 的引入 2 2 由椭圆的定义可知, 2a ? 2c ,? a ? c ? 0 , y M b a 0 c F 2 x 让点 M 运动到 y 轴正半轴上(如图 2) ,由学生观察图 形 自行获得 a , c 的几何 意义 ,进而自 然引进 b , 此时 F1 b 2 ? a 2 ? c 2 ,于是得 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 , 两边同时除以 a b ,得椭圆的标准方程为: 2 2 图2 x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2 ③教师对标准方程的说明 ⅰ.椭圆的标准方程既简洁整齐,又对称和谐; ⅱ.上述方程表示焦点在 x 轴上,中心在坐标原点的椭圆,其中 c ? a ? b ; 2 2 2 ⅲ.以上的推导过程,没有证明“以满足方程 x2 y2 ? ? 1 的实数对 ( x, y ) 为坐标的点都 a2 b2 在椭圆上”,有兴

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