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普陀区高中培训机构:恒高个性化辅导方案——三角函数章节复习(二)


恒高个性化辅导讲义
辅导科目: 数学 课 题 课时数:2 H 三角函数章节复习(2) 1、能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性; 2、借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ],正切函数在(-π /2,π /2)上的性质 (如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等) ; 3、结合具体实例,了解 y=Asin(wx+φ )的实际意义;能借助计算器或计算机画出 y=Asin (wx+φ )的图像,观察参数 A,w,φ 对函数图像变化的影响。 教学内容 学科老师:

教学目的

【知识梳理】
本章知识结构图:

? ?正弦函数性质和图像 ? ? ?三角函数的定义 ?余弦函数性质和图像 ?正切函数性质和图像 ? ? ? ? ?反正弦函数的图像和性质 ? ? 三角函数 ?反三角函数定义 ?反余弦函数的图像和性质 ? ?反正切函数的图像和性质 ? ? ?最简三角方程 ? ? ? ?

【典型例题分析】
专题一 重要数学思想方法 1、化归的思想方法 化归思想,就是在处理问题时,把待解决或难解决的问题,通过某种转化过程,归结为一类已经解决或比较容易 解决的问题,最终求得原问题的解答,其基本的原则是:化难为宜,化生为熟,化繁为简,化未知为已知。 例 1、求函数 y ?

sin x ? 0 ? x ? ? ? 的最大值 2 ? cos x

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2、数形结合思想 数形结合的思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想,根据解决问题的需要,可以把数量 关系的问题转化为图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究,简言之“数形互相 取长补短” 。 例 2、定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ,当 x ??3,5? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? 4 ,则( A、 f ? sin )

? ?

??
2? 3

?? ? ? ? f ? cos ? 6? 6? ?
2? ? ? ? ? ? f ? sin ? 3 ? ? ?

B、 f ? sin1? ? f ? cos1?

C、 f ? cos

? ?

D、 f ? cos 2? ? f ?sin 2?

3、换元思想方法 在求函数的定义域、周期、单调区间时,都可能用到了整体换元的思想方法。 例 3、求函数 y ? ? 4 ? 3sin x ?? 4 ? 3cos x ? ?16 的最值。

4、分类讨论的思想方法 当涉及到字母取值时,往往引起分类讨论,要弄明白为什么分类讨论,怎样分类讨论。 例 4、已知函数 f ? x ? ? 2a sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ? ? b 的定义域为 ?0, 2 ? ,函数的最大值为 1,最小值为 ?5 ,求 a 和 b 的值。 3? ? ?

专题二 三角函数的最值问题 三角函数的最值问题是三角函数中较为重要的一个知识点,它的求法也比较多,但是有些方法在应用的时候必 须引起注意,以防出错。 例 5、求函数 y ?

sin x ? 3 的最值。 cos x ? 4

例 6、试求函数 y ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x ? 2 的最大值和最小值,又若 x ? ? 0,

? ?? 呢? ? 2? ?

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例 7、求函数 y ?

a2 b2 ? ?? ? ? a ? b ? 0, 0 ? x ? ? 的最小值。 2 2 cos x sin x ? 2?

【点拨】在利用均值不等式求最值时,应注意均值不等式成立的条件,如本题忽略条件,就容易出现如下错误结果,

2ab 4ab ? a ? ? b ? y ?? ? ? 4ab (因为 0 ? sin 2 x ? 1 ) ? ?? ? ? ? cos x ? ? sin x ? sin x cos x sin 2 x
所以,当 sin 2 x ? 1 时, ymin ? 4ab ,原因在于以上两处“ ? ”中的等号不能同时成立。

2

2

【课后练习】
一、选择题 1、已知函数 f(x)=sin(x- π )(x∈R),下面结论错误的是 2 ( A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π B.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π 2 2、如果|x|≤ ,f(x)=cos x+sinx 的最小值是 4 ( A. 2-1 2 1+ 2 B.- 2 ) )

1- 2 D. 2 4π 3、如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点( ,0)中心对称,那么|φ |的最小值为 3 C.-1 ( π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 4 2 4、函数 y=sin x+cos x 的最小正周期为 ( π A. 4 C.π π B. 2 D.2π ) )

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5、函数 f(x)=sinx 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b)=1,则 cos 2 2

a+b
2

的值为 ( )

A.0

B.

C.1

D.-1

π π 6、已知函数 f(x)=2sinω x 在区间[- , ]上的最小值为-2,则 ω 的取值范围是 3 4 ( 9 A.(-∞,- ]∪[6,+∞) 2 3 C.(-∞,-2]∪[ ,+∞) 2 9 3 B.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 D.(-∞,-2]∪[6,+∞) )

二、填空题 7、定义在 R 上的函数 f(x)=sinx+ 3cosx 的最大值是__________. 1 8、f(x)是以 5 为周期的奇函数,f(-3)=4 且 cosα = ,则 f(4cos2α )=________ 2 cosx 9、函数 y= 的单调递增区间是__________. 1-sinx 7 10、已知函数 y=asinx+bcosx+c 的图象上有一个最低点( π ,1),如果图象上每点的纵坐标不变,横坐标缩短为 4 2 原来的 倍, 然后向左平移一个单位, 可得到 y=f(x)的图象, 又知 f(x)=3 的所有根依次形成公差为 2 的等差数列, π 下列结论: (1)f(x)的周期为 4;(2)f(x)的周期为 2;(3)a= 2,b=- 2,c=3;(4)a=1,b=-1,c=2.其中正确的序 号是__________. 三、解答题(共 50 分) 4 4 2 2 sin x+cos x+sin x·cos x 11、求函数 f(x)= 的最小正周期、最大值、最小值及单调区间. 2-sin2x

π π 2 12、设函数 f(x)=(2cosx+asinx)sinx+cos x(x∈R),且 f( )=f( ).求函数 f(x)的值域; 2 4

π 13、已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0<φ < )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的 2 π 2π 距离为 ,且图象上一个最低点为 M( ,-2). 2 3 (1)求 f(x)的解析式; π π (2)当 x∈[ , ]时,求 f(x)的值域. 12 2

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