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高中数学知识点总结:第一章_三角函数

第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

l . r

? 180 ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? 57.3? . 180 ? ? ? ?
?
?

?

?

7、 若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,C ? 2r ? l ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2
8 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是

r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

y P T v O 系 : M A x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1

?s

2

?? n i

?

2

? 1

c 2 ?o ?

?

s ?

2

,? ;

c

o

s

1

1

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数
1

y ? sin ? x ? ? ? 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 ( 缩 短 ) 到 原 来 的

?

倍(纵坐标不变) 得到函数 ,

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. ②数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 14、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则

??

1 1 ? ? ymax ? y min? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
2



函 质



y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域 当

??1,1?
x ? 2 k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时, 时,

R

?
2

? k ???

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

?
2

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期 性 奇偶 性 在

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?
单调 性



?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? ?2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

上是增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?

在 ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对 对称 性 称 中 心 对 称 中 心

? k? ,0?? k ???
对 称 轴

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???









x ? k? ?

?
2

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

?k ? ??

第二章 平面向量
3

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

?

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?

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?

?

C

?

? ?

? a
?

? b

?

?

?

? ?

?? ? ? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , ? 则 ??

? ? x1

x2 y1 y2 ,?

?.

?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? a ?b ??C?? ??? C

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?a ? ? a ;
?

?

?

②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同; ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 0 时,? a ? 0 . 当 当 ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基 底) 22、分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ??2

?

?

?

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?? ?

??? ?

????

4

时,点 ? 的坐标是 ?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? (当 , ? . ? ? 1时,就为中点公式。) 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积:

⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

? ?

? ?
?

??

? ?

?

?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反
2 向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .

?

?

?

? ?

?

?

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? ?

?

?

? ?

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? ?

?

?2

?

? ?

? ?

? ?

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? , 则 a ? x ? y , 或 a ?

? ?

? ?

?

?

?? ?
?
?

?

?

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?? ?
?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?2

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则

?

? ? a ? b ? 1 x 2 x?
?

1

. y 2y 0?

设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

?

?

?

?

?

? ? x1 x2? y1 y2 a ?b c o?s? ? ? ? . 2 2 a b x1 ? y 12 x ?2 y 2 2
第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
2 2 2 ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? )

⑵ cos 2? ? cos

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? . ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
5

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
? (后两个不用判断符号,更加好用)

26、半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

? 27、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” y ? A sin( x ? ? ) ? B 的
形式。 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ? ;问: sin 12 2
o o o o o

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??);

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常 化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

1? cos? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:
1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?





(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

tan? ? tan ? ? __________ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ ; __ _ tan? ? tan ? ? __________ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ ; __ _
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2



6

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
= =

; ; ; 其中 (

tan ? ?

; )

1 ? cos ? ?

; 1 ? cos ? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值 与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? ; 。

tan ? ? cot ? ?

7


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