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山东省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何


一、选 择题: 择题: 5. (山东省威海市 2012 年 3 月高三第一次模拟理科)设 l , m, n 为三条不同的直线, α , β 为两 月高三第一次模拟理科) 个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l ⊥ α , m // β , α ⊥ β , 则 l ⊥ m C.若 l // m, m // n, l ⊥ α , 则 n ⊥ α C ) B.若 m ? α , n ? α , l ⊥ m, l ⊥ n, 则 l ⊥ α D. 若 m // α , n // β , α // β , 则 m // n

5. (山东省威海市 2012 年 3 月高三第一次模拟文科)设 l , m, n 为三条不同的直线, α , β 为两 月高三第一次模拟文科 个不同的平面,下列命题中正确的是( C ) A.若 l ⊥ α , m // β , α ⊥ β , 则 l ⊥ m B.若 m ? α , n ? α , l ⊥ m, l ⊥ n, 则 l ⊥ α C.若 l // m, m // n, l ⊥ α , 则 n ⊥ α D. 若 m // α , n // β , α // β , 则 m // n 8.(山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习文科)一个简单几何体的主视图,左视图如图 ( 月高三定时练习文科) 定时练习文科 所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形; ③圆;④椭圆.其中正确的是( C A.① C.③ B.② D.④
主视图 左视图

)

第 8 题图

4.( 月高三定时练习理 定时练习理科 4.(山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习理科)如右图,一个简单空间几何体的三视图其主 视图与左视图都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( C A. )

3 6

B. 4 2

3

C.

4 3 3

D. 8

3
主视图

左视图

俯视图

第4题 9.(山东省潍坊市 2012 年 3 月高三一轮模拟文理科)在空间中.l、m、n 是三条不同的直线, ( 月高三一轮模拟文理科) α、β、γ是三个不同的平面,则下列结论错误的是( D )

-1-

A.若α∥β,α∥γ,则β∥γ B.若 l∥α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m C.α⊥β,α⊥γ,β∩γ=l,则 l⊥α D.若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n, l⊥m,l⊥n,则 m⊥n 11.(山东省潍坊市 2012 年 3 月高三一轮模拟文理科)已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周 月高三一轮模拟文理科) ( 长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥 D—ABC 的外接球的表面积等于( C ) A.4π B.8π C.16π D.24π 4. (山东省淄博市 2012 年 3 月高三第一次模拟文科)如图, 月高三第一次模拟文科) 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧 AA1 ⊥面 A1B1C1,正视图是正方形,俯视图是正三角形,该三棱柱的侧视 图面积为( A A.2 3 C. 2 2 ) B. 3 D.4

3. (山东省实验中学 2012 年 3 月高三第四次诊断文科)右图是 月高三第四次诊断文科) 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) ,则该几何体的表面 积和体积分别为(
2

A
3

) B. 15πcm 2 ,12πcm 3 D. 15πcm 2 ,36πcm 3

A. 24πcm ,12πcm

C. 24πcm 2 ,36πcm3

3.(山东省烟台市 2012 年高三诊断性检测理)如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯 ( 年高三诊断性检测理) 视图,如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形,俯视图对应的四边形 为正方形,那么这个几何体的体积为( A. C D. )

4 2 3

B.

4 5 3

C.

4 3 3

2 3 3

9. (山东省泰安市 2012 届高三上学期期末文科)设 l、m、n 为不同 届高三上学期期末文科) 的直线, α、 β 为不同的平面,有如下四个命题:( B ) ①若 α ⊥ β,l ⊥ α , 则l // β ②若 α ⊥ β ,l ? α , 则l ⊥ β

-2-

③若 l ⊥ m, m ⊥ n, 则l // n A.0 B.1 C.2

④若 m ⊥ α , n // β 且α // β 则m ⊥ n D.3

9. (山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文科)已知正三棱锥 V ? ABC 的主视图、俯视 届高三上学期期末文科) 期末文科 图如下图所示,其中 VA=4,AC= 2 3 ,则该三棱锥的左视图的面积 ( B )

A.9 B.6

C. 3 3

D. 39

4.(山东省烟台市 2012 届高三上学期期末文科)已知空间两条不同的直线 m, n 和两个 届高三上学期期末文科) 不同的平面 α , β ,则下列命题中正确的是 A.若 m / /α , n ? α , 则m / / n C.若 m / /α , n / /α , 则m / / n B.若 α I β = m, m ⊥ n, 则n ⊥ α D.若 m / /α , m ?

β ,α I β = n, 则m / / n

8. (山东省青岛市 2012 届高三上学期期末文科)已知 a 、 b 、 c 为三条不重合的直线,下面有 山东省青岛 青岛市 届高三上学期期末文科) 三个结论:①若 a ⊥ b, a ⊥ c 则 b ∥ c ; ②若 a ⊥ b, a ⊥ c 则 b ⊥ c ;③若 a ∥ b, b ⊥ c 则 a ⊥ c . 其中正确的个数为( B ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

6.(山东省烟台市 2012 届高三上学期期末文科)如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均 ( 届高三上学期期末文科) 为 2,且侧棱 AA1 ⊥ 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个等边三角形,该三棱 柱的侧视图面积为 A. 4 C. 2 2 B. 2 3 D.
C A B A B

3

C1

A1

B1

A1 正俯俯

B1

-3俯俯俯

5. (山东省青岛市 2012 届高三上学期期末文科)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标 山东省青岛 青岛市 届高三上学期期末文科) 出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( B ) A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm

3

D. 4000cm

3

二、填空题: 填空题:

15.(山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习文科)用 a 、 b 表示两条不同的直线,α 、 β 表 ( 月高三定时练习文科) 定时练习文科 示两个不同的平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , a ∥ α ,则 b ∥ α ; ③若 a ∥ α , b ⊥ α ,则 a ⊥ b ; 其中正确的是 . ②③④ ②若 a ⊥ α , b ⊥ α ,则 a ∥ b ; ④若 a ⊥ α , α ∥ β ,则 a ⊥ β .

15. (山东省淄博市 2012 年 3 月高三第一次模拟文科)设圆锥母线长为 2,底面圆周上两点 A、 月高三第一次模拟文科) B 间的距离为 2,底面圆心到 AB 的距离为 1,则该圆锥的体积是

2 2π 3 16. (山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文科)关于直线 m, n 与平面 α , β ,有以下四个 届高三上学期期末文科 文科)
. 命题: ① 若 m // α , n // β 且 α // β ,则 m // n ;

② 若 m ⊥ α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m ⊥ n ; ③ 若 m ⊥ α , n // β 且 α // β ,则 m ⊥ n ; ④ 若 m // α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m // n ; 其中正确命题的序号是 。 (把你认为正确命题的序号都填上)② ③ ②

15. (山东省泰安市 2012 届高三上学期期末文科)已知一个空间几何体的三视图如图所示, 届高三上学期期末文科) 其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几

-4-

何体的体积是 ▲ 。 πcm

5 3

3

13. (山东省青岛市 2012 届高三上学期期末文科)已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分 山东省青岛 青岛市 届高三上学期期末文科) 别为 1 、 2 、 3 ,则这个长方体的外接球的表面积为 . 14π 三、解答题: 解答题 18.(山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习文科)(本小题满分 12 分) 月高三定时练习文科) 定时练习文科 . 如图,四棱锥 S ? ABCD 中, M 是 SB 的中点, AB / / CD , BC ⊥ CD , SD ⊥ 面 SAB , 且 AB = BC = 2CD = 2 SD . (Ⅰ)证明: CD ⊥ SD ; (Ⅱ)证明: CM / / 面 SAD . D 18.证明: (Ⅰ)由 SD ⊥ 面 SAB , AB ? 面SAB ,所以 SD ⊥ AB . 又 AB / / CD ,所以 CD ⊥ SD . ………3 分 A 第 18 题图 ……………………………………6 分 B S

M C

(Ⅱ)取 SA 中点 N ,连结 ND, NM ,则 NM / / AB ,且 MN = 又 AB / / CD 所以 NMCD 是平行四边形, …………9 分

1 AB = DC ,……8 分 2

ND / / MC ,且 ND ? 面SAD, MC ? 面SAD
所以 CM / / 面 SAD . ………………………12 分 N

20. (山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习理科)(本小题满分 12 分) 月高三定时练习理 定时练习理科 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB = 5, AC = 4, BC = 3 , AA1 = 4 ,点 D 在 AB 上. (1)若 D 是 AB 中点,求证: AC1 ∥平面 B1CD ; C1
-5-

A1

B1

(2)当

BD 1 = 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 5

20. 证明: (1)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,DE. ∵ 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, ∴侧面 B B1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线, ∴

DE//
…………………………………2 分

AC1.

因为 ∵DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD, ∴AC1∥平面 B1CD. (2) ∵ AC⊥BC, …………………………………4 分

所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 0, c),B1 (3, 0, 4). 设 D (a, b, 0)( a > 0 , b > 0 ) , 5分 ∵点 D 在线段 AB 上,且 ∴a = 7分 所以 B1C = ( ?3, 0, ?4) , BA = ( ?3, 4, 0) , CD = ( 平面 BCD 的法向量为. n = (0,0,1) 设平面 B1 CD 的法向量为 n 2 = ( x, y,1) , …………………

uuu 1 uuu r r BD 1 = , 即 BD = BA . AB 5 5
…………………

12 4 ,b = . 5 5

uuur

uuu r

uuu r

12 4 , , 0) . 5 5
…………………8 分

uur

? ?3 x ? 4 z = 0 uuur uu r uuu uu r r ? 由 B1C ? n 2 = 0 , CD ? n 2 = 0 , 得 ?12 , 4 x+ y =0 ?5 5 ? uu r 4 4 所以 x = ? , y = 4 , n2 = ( ? , 4,1) . ………………………………10 分 3 3

r r a ?b 3 设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 θ , cos θ = r r = .…………………11 分 a b 13
所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

3 . 13

……………………12 分

19. (山东省淄博市 2012 年 3 月高三第一次模拟文科)(本题满分 12 分)如图,在棱长为 月高三第一次模拟文科) 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BD、BB1 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 A1B1CD;

-6-

(Ⅱ)求证:EF⊥AD1. 19.解:(Ⅰ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,连结 B1D ……1 分

在驻 BB1D 内,E、F 分别为 BD、BB1 的中点,

∴EF∥B1D.

…………3 分

又∵B1D 奂 平面 A1B1CD,EF 埭 平面 A1B1CD,

∴EF∥平面 A1B1CD.

……………………5 分

(Ⅱ)∵ABCD- A1B1C1D1 是正方体,∴A1D1⊥A1D,AD1⊥A1 B1.

…………………7 分

又 A1D∩A1B= A1,∴AD1⊥平面 A1B1D,∴AD1⊥B1D.

………10 分

又由(Ⅰ)知,EF∥B1D,∴EF⊥AD1.

……………12 分

19. (山东省实验中学 2012 年 3 月高三第四次诊断文科)(本小题满分 12 分) 月高三第四次诊断文科) 如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC = 3, AB = 5, AA1 = BC = 4, 点 D 是
AB 的中点.

(Ⅰ)求证: AC ⊥ BC1 ; (Ⅱ)求证: AC1 // 平面
CDB1 ;

(Ⅲ)求三棱锥 A1 ? B1CD 的体积.

19.解: (1)证明:在 ABC 中, AC = 3, AB = 5, BC = 4,
∴ AB 2 = AC 2 + BC 2 , ABC 为 Rt ,
∴ AC ⊥ BC . …………………………………………………………1 分 又 CC1 ⊥ 底面 ABC , AC ? 底面 ABC , ∴ AC ⊥ CC1. …………………………………………………2 分 Q CC1 I BC = C , CC1 , BC ? 平面 BB1C1C , ∴ AC ⊥ 平面 BB1C1C ,……………………………………3 分

-7-

而 BC1 ? 平面 BB1C1C ,
∴ AC ⊥ BC1. ……………………………………………………4 分 (2)设 B1C 交 BC1 于 E 点,连结 DE. Q 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ∴ 四边形 BB1C1C 是平行四边形, ∴ E 是 BC1 的中点…………………………………………5

分 又 D 是 AB 的中点,∴ AC1 // DE , …………………………………………6 分 而 DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 平面 CDB1 ,………………………………7 分 ∴ AC1 // 平面 CDB1 .………………………………………………………8 分 (3)连结 A1 D, A1C ,过点 C 作 CF ⊥ AB ,垂足为 F . 在 Rt ?ABC 中, CF =
AC ? BC 3 × 4 12 = = , ………………………………9 分 AB 5 5 又 Q 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ∴ 平面 ABC ⊥ 平面 ABB1 A1 ,而 平面 ABC I 平面 ABB1 A1 = AB, CF ? 平面 ABC , CF ⊥ AB ∴ CF ⊥ 平面 ABB1 A1 ,即 CF 是三棱锥 C ? A1 B1 D 的高,…………………………11 分 1 1 A1 B1 ? AA1 = × 5 × 4 = 10, …………………………………………………12 分 2 2

又 S?A1B1D =

1 1 12 ∴VA1 ? B1CD = VC ? A1B1D = S?A1B1D ? CF = × 10 × = 8. 3 3 5

20. (1)证明:在梯形 ABCD 中, ∵ AB // CD , AD = DC = CB = 1 , ∠ ABC = 60 ,∴ AB = 2
o

……………2 分
-8-

∴ AC = AB + BC ? 2 AB ? BC ? cos 60 = 3
2 2 2 2 2 o

∴ AB = AC + BC
2

BC ⊥ AC ……………4 分 ∵ 平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,平面 ACFE ∩平面 ABCD = AC , BC ? 平面 ABCD ∴ BC ⊥平面 ACFE …………6 分


(2)由(1)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴, y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标系,令

FM = λ (0 ≤ λ ≤ 3 ) , 则 C (0,0,0), A( 3 ,0,0) ,

B (0,1,0), M (λ ,0,1)


AB = ? 3,1,0 , BM = (λ ,?1,1)
? n1 ? AB = 0 ?n1 ? BM = 0

(

)

设 n1 = ( x, y , z ) 为平面 MAB 的一个法向量, 由? 得?

?? 3x + y = 0 ?λx ? y + z = 0

取 x = 1 ,则 n1 = 1, 3 , 3 ? λ , …8 分

(

)

n2 = (1,0,0) 是平面 FCB 的一个法向量 u ur r | n1 ? n2 | 1 r ∴ cos θ = uu ur = = 2 | n1 |? | n2 | 1 + 3 + 3 ? λ ×1


1

(

)

(λ ? 3 )

……10 分
2

+4



0≤λ ≤ 3

∴ 当 λ = 0 时, cos θ 有最小值

7 , 7

当λ =

1 3 时, cos θ 有最大值 . 2
………………12 分



? 7 1? cos θ ∈ ? , ? ? 7 2?

19. (山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文科) 高三上学期期末文科 (本 文科) 小题满分 12 分) 如图所示, 平面 PAD ⊥平面 ABCD ,ABCD 为正方形,

PA ⊥ AD ,且 PA = AD = 2 , E , F , G 分别是线段 PA , PD , CD 的中点。
(1)求证: BC //平面 EFG ; (2)求三棱锥 E ? AFG 的体积。
[

19..c(1)证明:Q E , F 分别是线段 PA、PD 的中点,

∴ EF // AD.

…………2 分

又∵ABCD 为正方形,∴BC//AD,∴BC//EF。 …………

-9-

4分 又Q BC ? 平面 EFG,EF ? 平面 EFG,∴BC//平面 EFG …………6 分 ……8 分

(2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD,即 GD⊥平面 AEF。 又∵EF//AD,PA⊥AD,∴EF⊥AE。 …………10 分 又Q AE = EF =

1 1 1 AD = 1, CD = CD = 1,. ∴VE ? AFG = VG ? AEF = × S ?AEF × CD = 2 2 3 1 1 1 × × 1 × 1× 1 = . …………12 分 3 2 6
如图, 已知三棱锥 P ? ABC 中,PA ⊥ PC ,D 为 AB 中点,M 为 PB 的中点, AB = 2 PD . 且

19. (山东省烟台市 2012 届高三上学期期末文科)(本小题满分 12 分) 届高三上学期期末文科)

(1)求证: DM ∥ 面PAC ; (2) 找出三棱锥 P ? ABC 中一组面与面 系,并给出证明(只需找到一组即可) 19、 (1)证明:依题意 D 为 AB 的中点, ∴ DM // M 为 PB 的中点 垂直的位置关

PA 又 ∴

………………………………………………………………1 分 , …………………………………………………………4 分 平面 PBC (或平面 PAB 平面 PBC) ………………………………5 分

(2)平面 PAC

证明:由已知 AB=2PD,又 D 为 AB 的中点 所以 PD=BD ∴ 由(1)知 DM // PA ∴ 又由已知 故 ∴平面 PAC 平面 PBC ……………………………………12 分 ………………………………………………………………9 分 ,且 又知 M 为 PB 的中点 ………………………………………………………………8 分

山东省青岛 青岛市 届高三上学期期末文科) 20. (山东省青岛市 2012 届高三上学期期末文科)(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形, DA ⊥ 平面 ABE , AE = EB = BC = 2 , BF ⊥ 平面 ACE 于点

F ,且点 F 在 CE 上.
(Ⅰ)求证: DE ⊥ BE ; (Ⅱ)求四棱锥 E ? ABCD 的体积; (Ⅲ)设点 M 在线段 AB 上,且 AM = MB , 试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 DAE .

D

C

F A E M . B

- 10 -

D

C

F A HM . P E B

解(Ⅰ)因为 DA ⊥ 平面 ABE , BC ∥ DA 所以 AE ⊥ BC , DA ⊥ BE 因为 BF ⊥ 平面 ACE 于点 F ,

AE ⊥ BF ………………………………………2 分
因为 BC I BF = B ,所以 AE ⊥ 面 BEC , 则 AE ⊥ BE 因为 AE I AD = A ,所以 BE ⊥ 面 DAE , 则 DE ⊥ BE …………………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)作 EH ⊥ AB ,因为面 ABCD ⊥ 平面 ABE ,所以 EH ⊥ 面 AC 因为 AE ⊥ BE , AE = EB = BC = 2 ,所以 EH =

2 …………………………6 分

1 1 8 VE ? ABCD = EH ? S ABCD = × 2 × 2 × 2 2 = 3 3 3 …………………………………8 分
(Ⅲ)因为 BE = BC , BF ⊥ 平面 ACE 于点 F ,所以 F 是 EC 的中点 设 P 是 BE 的中点,连接 MP, FP …………………………………………………10 分 所以 MP ∥ AE , FP ∥ DA

- 11 -

因为 AE I DA = A ,所以 MF ∥面 DAE ,则点 N 就是点 F …………………12 分

- 12 -


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