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2013江门、佛山二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学 (理科)

2013.4

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知 M ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z , N ? x ?1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? ( A. ? ?1,3? B. [?2,1) C. ?0,1, 2? ) D. ? 3 ) D.6

?

?

?

?

) D. ??2, ?1, 0?

2.已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是( A. ? 3 B. 3i

C. ? 3i

3.已知数列 {a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于( A.1 B.3 C.5 4. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长 (单位:cm) .根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右) ,那 么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是( ) A.30 B.60 C.70 D.80 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

??

1] ? , x ? [?1, ,则( 2?



A. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减; 1] C. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0

B. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递增; 1] D. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减. 0

6.下列命题中假命题是( ) ... A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行.

? x?0 ? y?0 ? 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有( x ? y ? ?2 ? ? 4 x ? 3 y ? 20 ?
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无数个



8.将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图) ,设顶点 P( x, y ) 的轨迹方程 y 是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法: B ① f ( x) 的值域为 [0, 2] ; ② f ( x) 是周期函数;

③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ; ④

?

6

0

9 f ( x)dx ? ? . 2

OP

A

x

1

其中正确的说法个数为: ( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x0 ? R, e
x0

? 0”的否定是

. . . .

10. 已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ?
n

2 , ? a ? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为
3 2

11.若二项式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍,则 n 等于 12.已知圆 C 经过点 A(0,3) 和 B(3,2) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上,则圆 C 的方程为 13.将集合{ 2s ? 2t | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大,左小右大的顺序

3 5 6 10 ? ? 12 ? 9 ?

排成如图的三角形数表,将数表中位于第 i 行第 j 列的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ), 则 b65 = .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos ? 的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 . 15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE 于 D ,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? ,则 sin ? ? ______. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S ?AOB . 5

17. (本题满分 12 分)市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所 示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否 堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学, 再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、B 、D 上

1 1 ,道路 C 、 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 ,只要遇到拥堵上学 5 10 D A 和上班的都会迟到. 丙 (1)求李生小孩按时到校的概率; 乙 B 甲 (2)李生是否有七成把握能够按时上班? E C (3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数,求 ? 的均值.
下班时间往返出现拥堵的概率都是 18. (本题满分 14 分)如图甲,设正方形 ABCD 的边长为 3 ,点 E、F 分别在 AB、CD 上,并且满足

AE ? 2EB,CF ? 2FD ,如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1 EFD1 的位置,使点 A1 在平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上.
2

(1)证明: A1 E // 平面 CD1 F ; (2)求平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的余弦值.

A1
D1

A

D F

E B
图甲

E

F
B

C

G
图乙

C

19. (本题满分 14 分)在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线 l 过点 M (4, 0) .若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在曲线 C2 上, 且直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

20. (本题满分 14 分)某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境 的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,1 个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度 f ( x)

x 6 ? 2? ? ? ? 6 x?3 与时间 x (小时)的关系可近似地表示为: f ( x) ? ? ?1 ? x ? 6 ?


0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓度不低

3? x ?6

1 时,才能对污染产生有效的抑制作用. 3 1 时,马上再投放 1 个单位的固体碱,设第二次 ... 3

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

投放后水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大值. (此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加) ... ..

21. (本题满分 14 分) 设函数 f 0 ( x) ? x 2 ? e

1 ? x 2

, f 0 ( x) 的导函数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的导函数 f1?( x) ? f 2 ( x) , 记

f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f3 ( x) ,…, f n?1 ( x) 的导函数 f n??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ;

3

(2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 Sn ? f 2 (0) ? f3 (0) ? ? ? f n ?1(0) ,是否存在 n ? N 使 S n 最大?证明你的结论.
*

2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测 数 学(理科)评分参考
一、填空题 CDBCABBC
x

二、填空题 9. ? x? R, e ? 0 14. ? sin ? ? ? 三、解答题

10.

? 4

11. 8

12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

13. 80

? ?

??

2 (或 ? sin? ? ? cos? ? 1 ) ?? 4? 2

15.

1 3
??? ?

16.⑴解法 1、由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) ,……1 分, OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? ) ……2 分

??? ?

??? ??? ? ? 1 OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0 ……3 分,∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ? ……4 分 3 解法 2、由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) ……1 分, kOA ? ?3 , kOB ? tan ? ……2 分 1 ∵ OA ? OB ,∴ KOA ? KOB ? ?1 ……3 分, ?3tan ? ? ?1 ,得 tan ? ? ……4 分 3 解法 3、设 B( x , y ) , (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分)
(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ? ?? ∴ sin ? ? , cos ? ? (每式 1 分)……6 分 10 10 10 10 4 3 ∵ OB ? 1 c o s ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? (列式计算各 1 分)……8 分 ? 5 5 3 10 4 10 3 3 10 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? (列式计算各 1 分)……10 分 10 5 10 5 10 1 1 3 10 3 ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? (列式计算各 1 分)……12 分 2 2 10 2 解法 2、由题意得: AO 的直线方程为 3x ? y ? 0 ……6 分 3 4 3 2 则 sin ? ? 1 ? cos ? ? ,即 B ( , ) (列式计算各 1 分)……8 分 5 5 5 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 ? 10 (列式计算各 1 分)……10 分 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? 10 10
⑵解法 1、由⑴ OA ?

?

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 分)…12 分 2 2 10 2 ??? ? ??? ? 4 3 3 4 3 2 解法 3、 sin ? ? 1 ? cos ? ? ,即 B ( , ) (每式 1 分)…6 分,即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) ,…7 分 5 5 5 5 5 4 3 ??? ??? ?1? ? 3 ? ? ? OA ? OB 2 2 5 5 ? 10 ……9 分 OA ? (?1) ? (3) ? 10 , OB ? 1 , cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB
又 OA ?

(?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S?AOB ?

4

(模长、角的余弦各 1 分) ,∴ sin ?AOB ? 1 ? cos ?AOB ?
2

3 10 ……10 分 10

则 S?AOB ?

1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? (列式计算各 1 分)……12 分 2 2 10 2

解法 4、 根据坐标的几何意义求面积 (求 B 点的坐标 2 分, 求三角形边长 2 分, 求某个内角的余弦与正弦各 1 分, 面积表达式 1 分,结果 1 分) 17.⑴因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是

1 1 和 , 10 5

1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? 0.15 (列式计算各 1 分) ……2 分 2 10 2 5 20 所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 ? 0.15 ? 85% ;……3 分 17 17 ⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是 ,……4 分,丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 ,…5 分 20 20 1 1 1 1 1 1 2 甲到乙遇到拥堵的概率是 ? ? ? ? ? ? ,……6 分 3 10 3 10 3 5 15 2 13 17 17 13 3757 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 ? ? ,李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 ? ? ? ? 0.8 , 15 15 20 20 15 6000
所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论各 1 分)……8 分 ⑶依题意 ? 可以取 0,1, 2 . ……9 分

P(? ? 0) =

13 17 221 2 17 13 3 73 2 3 6 , P(? ? 1) = ? , P(? ? 2) = ? ,…11 分 ? ? ? ? ? ? 15 20 300 15 20 15 20 300 15 20 300

分布列是:

?
p

0

1

2

221 300

73 300

6 300

221 73 6 85 17 ……12 分 ? 0+ ?1+ ? 2= ? . 300 300 300 300 60 18.⑴证明:在图甲中,易知 AE / / DF ,从而在图乙中有 A1 E // D1 F , ……1 分 因为 A1 E ? 平面 CD1 F , D1 F ? 平面 CD1 F ,所以 A1 E // 平面 CD1 F (条件 2 分)……4 分 E? ?
⑵解法 1、如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H ,由于 A1G ? 面 EBCF ,则 AG ? EF ,…5 分 1 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H ,……6 分, 所以 ?A1 HG 是平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的平面角, 图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, 角形全等 1 分) ,又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? ……8 分 ……9 分

设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以, BG ? MF ? 1 , AG ? 10 ;……11 分(三

AB?AE 6 , ……12 分 ? AG 10 4 2 HG 2 于是, HG ? AG ? AH ? ,…13 分,在 Rt ?A1GH 中, cos ?A1GH ? ? ,二面角余弦值为 .…14 分 A1 H 3 3 10 z A1 A1 D A D1 D
1

F
H

E
B

M
G
图甲

H

E B

F

y
E
T

F
G
图丙

C

G
图乙

C

B

C

x

5

解法 2、如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H ,由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 AG ? EF ,…5 分 1 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1H ,图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线,…6 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以 BG ? MF ? 1 ,则 AG ? 10 ; 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? 在 Rt ?A1GH 中, A1G ?

AB?AE 6 4 ,…7 分,于是, HG ? AG ? AH ? , ? AG 10 10
2 2

? 6 ? ? 4 ? ……8 分 A1H 2 ? HG 2 ? ? ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ? 作 GT / / BE 交 EF 于点 T ,则 TG ? GC ,以点 G 为原点,分别以 GC、GT、GA1 所在直线为 x、y、z 轴,建
立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G(0,0,0) 、 E (1, ?1,0) 、 F (2, 2,0) 、 A1 (0, 0, 2) ,则

??? ? ???? EF ? (1,3, 0), 1 ? (?1,1, 2) (坐标系、坐标、向量各 1 分) EA ……11 分 ???? 显然, GA1 ? (0, 0, 2) 是平面 BEFC 的一个法向量, ……12 分 ? ??? ? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? x ? ?3 y , ? ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1 EFD1 的一个法向量, ? ? ???? 则 ,即 ? ,不妨取 y ? ?1 , ? z ? ?2 2 y ? ?n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? 则 n ? (3, ?1, 2 2) , ……13 分 设平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角为 ? ,可以看出, ? 为锐角,所以, ???? ? GA1 ?n 2 | 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 2 | 2 cos ? ? ???? ? ? ? ,所以二面角的余弦值为 .……14 分 3 3 | GA1 |? n | | 2 ? 32 ? (?1)2 ? (2 2) 2
19.⑴由题可知,圆心 C 到定点 F ?1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相等 ……2 分 由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1,0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线 ……4 分 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) ,所以动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x .……5 分
2

m ?n ? 2 ? k ( 2 ? 4) m n ? ⑵解法 1、设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O、P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,所以 ? , 2 2 ? n ? k ? ?1 ? m ? 2 ? 8k ?m? ?km ? n ? 8k ? 1 ? k 2 (中点 1 分,方程组 2 分,化简 1 分) ……8 分 即? ,解之得 ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? 1? k2 ? 8k 2 8k 2 将其代入抛物线方程,得: (? ,所以 k 2 ? 1 . ……9 分 ) ? 4? 2 2 1? k 1? k ? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a 2 ) x2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2b2 ? 0 ……11 分 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 2 由 ? ? (?8a ) ? 4(b2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 , ……12 分

注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?

34 ,即 2a ? 34 , 2

……13 分 ……14 分

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .此时椭圆的方程为

x2 y2 + ? 1. 17 15 2 2

解法 2、设 P ?

? m2 ? , m ? ,因为 O、P 两点关于直线 l 对称,则 OM ? MP =4 , ? 4 ?

……6 分

6

? m2 ? 即 ? ? 4 ? ? m2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 ……7 分,即 P(4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与 ? 4 ? 1 抛物线交于 A, B .则 k AB ? ? ? 1 ,于是直线 l 方程为 y ? x ? 4 (斜率 1 分,方程 1 分) ……9 分 kOP
? y ? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a 2 ) x2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2b2 ? 0 ? 2 ?1 ? 2 b ?a 2 2 由 ? ? (?8a ) ? 4(b2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 ,

2

……11 分 ……12 分 ……13 分 ……14 分

注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?

34 ,即 2a ? 34 , 2

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 此时椭圆的方程为

x2 y2 + ? 1. 17 15 2 2

0? x?3 ? ? 3? x?6 ? ? 20.⑴由题意知 ? ……2 分 x 6 1 或? x 1 2? ? ? 1? ? ? 6 x?3 3 ? 6 3 ? ? 解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 …3 分,能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时.……4 分 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 ……5 分 当 4 ? x ? 6 时,第一次投放 1 单位固体碱还有残留,故 ? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) g ? x ? = ?1 ? ? + ? 2 ? ? ; ……6 分 ?= ? ? 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 ? 6 ? ? 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 ( x ? 4) 6 8 x 6 当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ? = ? ? ; ……7 分 ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1 6 ?11 x 4? x?6 ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x x?4 5 x 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ? ? ? ;……8 分,所以 g ( x) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 6 ? x ? 7 ……9 分 ? 6 3 6 ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ?
当 4 ? x ? 6 时, g ( x) ? 当且仅当

6 10 x ?1 6 11 x 6 10 x ? 1 10 ?( ? )? ?2 ? = = ? ? ?2 2 ; 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 3 x ?1 3

x ?1 6 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各 1 分)……11 分 ? 3 x ?1 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 6 1 ( x ? 5)(7 ? x) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ? 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2 1 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x ) max = g (7) ? , ……12 分 2 10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 10 又 ( ? 2 2) ? ? 水中碱浓度的最大值为 ? 2 2 .…13 分 = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时, 3 2 6 6 3 答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第一次投放 1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓 10 度的达到最大值为 ……14 分 ?2 2 . 3 1 1 ? 1 2 ? ?2x ?1 2 ? ?2x 21.⑴易得, f1 ? x ? ? ? ? x ? 2 x ? e ,……1 分, f 2 ? x ? ? ? x ? 2 x ? 2 ? e ……2 分 ? 2 ? ?4 ?
7

1 3 ? 1 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f 3 (0) ? ?3 2 ? 8 ? 2 ?x ⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? ? an ?1 x ? bn ?1 x ? cn ?1 ? ? e 的导函数为

……3 分

f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e? x ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .
2

对 f n ?1 ( x) 求导得: f n??1 ( x) ? [? ? an ?1 x ? (2an ?1 ? ? ? bn ?1 ) x ? (bn ?1 ? ? ? cn ?1 )] ? e 由①得: an ? ? , n ? N ,……6 分,代入②得: bn ? 2 ? ?
n n ?1

?x

……4 分 ③

故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an ? ? ? an ?1 ①, bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 ②,……5 分, cn ? bn?1 ? ? ? cn?1

? ? ? bn?1 ,即

?

bn
n

?
?

2

?
?

?
2

? n ?1
?

bn ?1

,其中 n ? 1, 2,? ,其中 n ? 1, 2,? .

故得:bn ? 2n ? ?

n ?1

, n ? N .……7 分,代入③得:cn ? 2n ? ? n ?2 ? ? ? cn ?1 ,即
n?2

?

cn
n

2n

? n?1

cn ?1

故得: cn ? n(n ? 1) ? ?

, n ? N ,……8 分,因此 f n (0) ? cn ? n(n ? 1) ? ? n ?2 , n ? N . 1 1 将 ? ? ? 代入得: f n (0) ? n(n ? 1)(? ) n ? 2 ,其中 n ? N . ……9 分 2 2 1 n?1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) , 2 1 2 k ?1 当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, S2 k ? S2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? (? ) ? 0, 2 ? S2 k ? S2 k ?1 ? 0, S2 k ? S2 k ?1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数. ……10 分
当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S2 k ?1 ? S2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) 又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? ) , f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)(? )
2k

……11 分

1 2 k ?1 2 1 2k 1 2 k ?1 1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? ) ? 2k (2k ? 1)(? ) ? (2k ? 1)(k ? 1)(? )2 k ?1 ? 0 , 2 2 2 ? S2 k ?1 ? S2 k ?1 ,因此数列 ?S2 k ?1? (k ? 1, 2,?) 是递减数列 ……12 分
又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S1 ? S3 ? 2 . ……13 分 ……14 分

1 2

8


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