当前位置:首页 >> 数学 >>

湖南省岳阳一中2012届高三数学上学期第三次月考 理

岳阳市第一中学2011—2012学年高三年级第三次月考数学试卷(理 科)
(答卷时间120分钟,答案一律写在答题卡上)

一、选择题(每小题5分,共12题)

5i 1. 已知i是虚数单位,则 2 ? i =

()

A. 1+2i B. -1-2i

C. 1-2i

D. -1+2i

? ? 2.若集合 A?{x | | x|?1, x?R}, B= y | y ? x2,x ? R ,则 (CR A) ? B = ( )

A.?x | ?1 ? x ? 1?

B.?x | x ? 0?

C.?x | 0 ? x ? 1?

D. ?

3. 已知 S n 为等差数列 ?a n ?的前 n 项的和, a2 ? a5 ? 4 , S7 ? 21,则 a7 的值为( )

A.6

B. 7

C. 8

D. 9

4. 若 函 数 f (x) ? kax ? a?x (a ? 0且a ?1) 在 (??,??) 上 既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 , 则

g(x) ? l o ag(x ? k) 的图象是的

( )[

5.已知实数 a, b, c, d 成等比数列,且对函数 y ? ln(x ? 2) ? x ,当 x ? b 时取到极大值 c ,

则 ad 等于

()

A. ?1

B.0

C.1

D.2

6.

设 a ? 0,b ? 0.若

3是3a 与3b的等比中项,则 1 ? 1 a b 的最小值为(



A. 8

B. 4

C. 1

1 D. 4

用心

爱心

专心

1

f (x) ? sin(? x ? ? )(x ? R,? ? 0)

7. 已知函数

4

的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g(x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f (x) 的图象





? A. 向左平移 8 个单位长度

? B. 向右平移 8 个单位长度

? C. 向左平移 4 个单位长度

? D. 向右平移 4 个单位长度

1 8. 设f(x)是定义在R上的偶函数且f(x+3)=- f (x) ,又当-3≤x≤-2时,f(x)=2x,则f(113.5)
的值是( )

1 A. 5

1 B. - 5

1 C. 3.5

1 D. - 3.5

9. 如下图是函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx? d 的大致图象,则 x12 ? x22 等于( )

2 A. 3

4 B. 3

8 C. 3

16 D. 3

a 10.在等比数列{an}中 n >0,且 a1a2009 ? 22010 log2 a1 ? log2 a3 ???? ? log2 a2009?( )

A.10042

B.10052

C.10062

D.1004×1005

11. 已知函数 f (x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f (x ?1) ? ? f (x) ,且当 x ?[0, 2) 时, f (x) ? log2 (x ?1),则 f (?2010) ? f (2011) 的值为( )

A. ?2

B. ?1

C.1

D. 2

12.设 an (n ? 2, n ? N*) 是 (3 ?

x

)n

的展开式中

x

的一次项的系数,则

lim(32 a n??
2

?

33 a3

?

????

3n an

)

?

A.16

B.17

C.18

D.19

二、填空题(每小题5分共4个小题) 13. 已 知 函 数 f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1), 如 果 f(1-a)+f(1-a2)<0, 则 a 的 取 值 范 围 是 _______________.

用心

爱心

专心

2

14.已知等差数列{an } 满足 a1 ? a2 ? ? ? a101 ? 0 ,则 a1 ? 1,则 S n 最大值为

15. 用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位上的数字之和为

偶数的四位数共有

个(用数字作答)

?n (n ? 1, 2,3, 4)
16. 已知数列?an? 满足 an ? ???an?4 (n ? 5 , n ? N ) ,则 a2010 =_________;

三、解答题(17题10分其余每题12分)
17.函数 f (x) ? sin x ? cosx, f ?(x) 是 f (x) 的导函数.

(Ⅰ)求函数 F(x) ? f (x) f ?(x) ? f 2(x) 的最大值和最小正周期;

(Ⅱ)若

f

(x)

?

2

f

?(x), 求

1? sin 2 x cos2 x ? sin xcos

x

的值.

18.已知数列{an} 的前 n 项和为 S n ,点 (n,Sn)(n? N*) 均在函数 f (x) ? ?x2 ? 3x ? 2的图象上 (1)求数列{an } 的通项公式 (2)若数列{bn ? an } 的首项是1,公比为 q (q ? 0) 的等比数列,求数列{bn } 的前 n 项 和Tn .

19. 在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。从这10件产品中任取3件,求: (I) 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望; (II) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

用心

爱心

专心

3

20. 已知数列{an} 的前n项和为Sn,且 an?1 ? Sn ? n ? 3, n ? N *, a1 ? 2 .

(1)求数列{an} 的通项;

bn (2)设

?

an

3 ?

1

(n

?

N

*

)

,求

lni?m?(b1

? b2

?

? bn ) .

21. 已知函数 f (x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)(a ? 0且a ? 1)

(1)讨论 f (x) 的奇偶性与单调性;

(2)若不等式 |

f

(x) |?

2 的解集为{x

|

?1 2

?

x

?

1}, 求a 2

的值;

22. 已知数列{an} 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? n ? an , (n ? 1,2,3, ) (I)求 a1, a2 , a3 的值; (Ⅱ)求证:数列{an ?1} 是等比数列;

用心

爱心

专心

4

(Ⅲ)令 bn ? (2 ? n)( an ?1)



n

?

1,

2, 3... ),如果对任意

n

?

N*

,都有

bn

?

1 4

t

?

t2

,求实

数 t 的取值范围.

1-12. DBDCABAACBCC
13.1<a< 2

参考答案

51 14. 2
15.324 16.2
17.【解析】(1)? f ?(x) ? cosx ? sin x ,

? F (x) ? f (x) f ?(x) ? f 2 (x) ? cos2 x ? sin 2 x ?1? 2sin x cosx

? 1? sin 2x ? cos2x ? 1? 2 sin(2x ? ? ) 4 .…………………………………5分

?当2x ? ? ? 2k? ? ? ? x ? k? ? ? (k ? Z)

4

2

8

时,

F(x)max ? 1?

2

T ? 2? ? ?

,最小正周期为

2

.…………………………………8分

(2)? f (x) ? 2 f ?(x) ? sin x ? cosx ? 2cosx ? 2sin x ,

?cosx ? 3sin x ? tan x ? 1 3.

用心

爱心

专心

5

11

? 1 ? sin 2 x

? 2sin 2 x ? cos2 x

2 tan2 x ? 1 ? 9 ? 11. 1 ? tan x 2 6

cos2 x ? sin x cosx cos2 x ? sin x cosx =

3

………………16分

18.解:?Sn ? ?n2 ? 3n ? 2 ……………………………………………………1分

?4

(n ? 1) ?4

(n ? 1)

?an
(1)

?

??Sn

? Sn?1

(n ? 2) ? ??? 2n ? 4

(n ? 2)

(2)?bn ? an ? qn?1………………………………………………………………2分

?Tn ? Sn ? 1? q ? q2 ??? qn?1

?n (q ? 1)

?

? ?1

?

q

n

?? 1? q

(q ? 1)

?? n2 ? 4n ? 2

?Tn

?

? ?1

?

q

n

? ?

1

?

q

? n2

? 3n ? 2

(q ? 1)
(q ? 1)
……………………………………………2分

19.(Ⅰ)解:由于从10件产品中任取3件的结果为

Ck 3

,从10件产品中任取3件,其中恰有k

件一等品的结果数为

C

k 3

C

3?k 7

,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为

C Ck 3?k 37

P(X=k)=

C3 10

,k=0,1,2,3.

所以随机变量X的分布列是

X

0

1

2

3

P

7

21

7

3

24

40

40

120

0 ? 7 ?1? 21 ? 2 ? 7 ? 3? 1 ? 9 X的数学期望EX= 24 40 40 120 10 (Ⅱ)解:设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一
等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2,”恰好取出3件一等 品”为事件A3由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3而

P( A1)

C13 C 32 C130

?

3 40

, P(A2)=P(X=2)=

7
40 ,P(A3)=P(X=3)=

1
120 ,

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 3 7 1 31
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 40 + 40 + 120 = 120 20.

用心

爱心

专心

6

已知数列{an} 的前n项和为Sn,且 an?1 ? Sn ? n ? 3, n ? N *, a1 ? 2 . (1)求数列{an} 的通项;

bn (2)设

?

an

3 ?

1

(n

?

N

*

)

,求

lni?m?(b1

? b2

?

? bn ) .

解:(1) an?1 ? Sn ? n ? 3 ,当 n ? 2 时, an ? Sn?1 ? (n ?1) ? 3

? an?1 ? an ? an ? 1 ,即 an?1 ? 2an ? 1 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)(n ? 2, n ? N * ) a1 ? 2 , a2 ? 4 ,? an ? (a2 ?1)2n?2 ? 1 ? 3 ? 2n?2 ? 1(n ? 2, n ? N *)

?2,

n ?1

? an ? ??3 ? 2n?2 ? 1, n ? 2

bn (2)

?

3 an ? 1

?

?3,

?

???(

1 2

)n?

2

,

n ?1 n?2

lni?m?(b1 ? b2 ?

1

3? ?5

? bn ) =

1? 1 2

?
21.(1)

?1 ??1

? ?

x x

? ?

0 ,? 0

f

(x)

定义域为

x

?

(?1,1);

f

(x)

为奇函数;

?

f

(x)

?

log 2

1? 1?

x x



①当 a ? 1 时,在定义域内为增函数;

②当 0 ? a ? 1 时,在定义域内为减函数;

(2)①当 a ? 1 时,∵ f (x) 在定义域内为增函数且为奇函数,

?命题 ?

f

(

1 2

)

?

1,



log

a

3

?

2,?

a

?

3


②当 0 ? a ? 1时,? f (x) 在定义域内为减函数且为奇函数,

?命题 ?

f

(?

1) 2

?

1, 得 loga

1 3

? 2,? a ?

3 3;

22解:(I)

a1

?

1 2

, a2

?

3 4 , a3

?

7 8

(II)由题可知: a1 ? a2 ? a3 ? ? an?1 ? an ? n ? an



用心

爱心

专心

7

a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? an?1 ? n ?1? an?1



②-①可得 2an?1 ? an ? 1

即:

an?1

?1

?

1 2

(an

?

1) ,又

a1

?

1

?

?

1 2

所 以 数 列 {an

?1} 是 以

?1 2

为首项,以

1 2

为 公 比 的 等 比 数 列 ( Ⅲ ) 由 (2) 可 得

an

?1?

(1 2

)n



n?2 bn ? 2n

n ?1? 2 n ? 2 n ?1? 2(n ? 2) 3 ? n

由 bn?1 ? bn ? 2n?1 ? 2n ?

2n?1

?

2n?1

?0 可得 n ? 3

由 bn?1 ? bn ? 0 可得 n ? 3



所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? bn ?



bn

有最大值

b3

?

b4

?

1 8

所以,对任意

n?

N*

,有

bn

?

1 8

如果对任意

n?N*

,都有 bn

?

1 4

t

?

t2

,即 bn

?

t2

?

1 4

t

成立,



(bn )max

?

t2

?

1t 4

,故有:

1 8

?

t2

?

1 4

t

t ,解得

?

1 2

t 或

?

?

1 4

(??, ? 1] [1 ,? ?)

所以,实数 t 的取值范围是

42

用心

爱心

专心

8