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衡水中学2012—2013学年度上学期第一次调研考试高三年级数学试卷(理科)


衡水中学 2012—2013 学年度上学期第一次调研考试
高三年级数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2页。 共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的选项填涂在答题卡上) 1.集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围
2

是 A. [3,??) B. (3,??) C. (??,?1] D. (??,?1)

2. 已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且

( 2) 4) ? ( ( ) . f (xf ?x ? ? ?f f x x),当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x 2 , 则f (7) ?
A.-2 B.2 C.-98 D.98

3.已知函数 f ( x ) ? ? A. {x | 0 ? x ? 1}

?? log 2 x (x ? 0)
2 ?1 ? x (x ? 0)

,则不等式 f (x ) ? 0 的解集为 C. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?1}

B {x | ?1 ? x ? 0}

4. “ a ? 0 ”是“方程 ax 2 ? 2x ? 1 ? 0 至少有一个负根”的

A. 充分不必要条件
5.

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D.既不充分又不必要条件

? ? (1 ? cos x)dx ? (
2 ? 2

?

)
C.

A. ?

B. 2

? ?2

D.

? ?2

6. 已知“命题 p: ?x ∈R,使得 ax 2 ? 2x ? 1 ? 0 成立”为真命题,则实数 a 满足 A.[0,1) B. (??,1) C.[1,+∞)
第 1 页 共 1 页

D. (??,1]

7.已知函数 f ( x) ? log 0.5 ( x 2 ? ax ? 3a) 在 [2,??) 单调递减,则 a 的取值范围

A. (??,4]

B.[4,??)

C. [?4,4]

D. (?4,4]

8. 有下面四个判断:其中正确的个数是 ①命题: “设 a 、 b ? R ,若 a ? b ? 6 ,则 a ? 3或b ? 3 ”是一个真命题 ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题 ③ 命 题 “ ?a 、 b ? R, a ? b ? 2(a ? b ? 1) ” 的 否 定 是 : “ ?a 、
2 2

b ? R, a 2 ? b 2 ? 2(a ? b ? 1) ”
A.0 B.1 C.2 D.3
x

1 ?1? 9.设函数 f (x ) ? log 4 x ? ( ) x , g (x ) ? log 1 x ? ? ? 的零点分别为 x 1、x 2 ,则 4 ?4? 4
A. x1 x2 ? 1 B. 0< x 1 x 2 <1
3 2

C.1< x 1 x 2 <2

D. x 1 x 2 ? 2

10. 已知 f (x ) ? x ? 6x

? 9x ? abc , a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b ) ? f (c ) ? 0 .

现 给 出 如 下 结 论 : ① f (0)f (1) ? 0 ; ② f (0)f (1) ? 0 ; ③ f (0)f (3) ? 0 ; ④. f (0)f (3) ? 0 ;⑤ abc ? 4 ;⑥ abc ? 4 A.①③⑤ B.①④⑥ C.②③⑤ 其中正确结论的序号是 D.②④⑥

2x x 11.设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a (a ? 2a ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的取值范围是

A. (??, log a 3) 12.已知函数 f ( x) ? ?

B. (log a 3,??)

C. (0,??)

D. (??,0)

?sin ? x (0 ? x ? 1) ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) , ? log 2010 x ( x ? 1)

则 a ? b ? c 的取值范围是 A. (1, 2010) B. (1, 2011) C. (2, 2011) D. [2, 2011]

第 2 页 共 2 页

卷Ⅱ(非选择题

共 90 分)

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸的相应位置上) 13.已知函数 f ( x) ? x ? 3x 对任意的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒成立,
3

则 x?

.
? n 2 ? 2 n ?3

14.已知函数 f (x ) ? x 则n ? 15.若函数 f ( x) ? 值范围是 .

(n ? 2k , k ? N ) 的图像在 [0,??) 上单调递增,

1 3 a | x | ? x 2 ? (3 ? a) | x | ?b 有六个不同的单调区间,则实数 a 的取 3 2
.
3 2

16.已知函数 f (x ) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M (x 0 , y 0 ) ,记函数 f (x ) 的 导 函 数 为 f (x ) , f (x ) 的 导 函 数 为 f
/ / //

(x ) , 则 有 f

//

(x 0 ) ? 0 。 若 函 数

f ? x ? ? x 3 ? 3x 2 ,
则可求得: f ?

? 1 ? ? 2 ? ? 4022 ? ? 4023 ? ?? f ? ? ? ... ? f ? ? ?f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ?

.

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本题 10 分)已知关于 x 的不等式 (1)当 a ? 1 时,求集合 M ; (2)当 3 ? M且5 ? M 时,求实数 a 的范围.

ax ? 5 ? 0 的解集为 M . x2 ? a

18. (本题 12 分)某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线,位于岸边 A 处的救生员发现 海中 B 处有人求救,救生员没有直接从 A 处游向 B 处,而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处。若救生员在岸边的行进速度是 6 米/秒,在海中的行进速度是 2 米/
第 3 页 共 3 页

秒。 (不考虑水流速度等因素) (1)请分析救生员的选择是否正确; (2)在 AD 上找一点 C,使救生员从 A 到 B 的时间最短,并求出最短时间.

B

300 米

A

C 300 米

D

19. (本题 12 分)将函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的图像向左平移 1 个单位,再将图像上的所 有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? g (x) 的图像. (1)求函数 y ? g (x) 的解析式和定义域; (2)求函数 y ? F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) 的最大值.

20. (本题 12 分)对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的 一个"不动点".已知二次函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? (b ? 1)(a ? 0)
2

(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x) 的不动点, 且 A, B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

第 4 页 共 4 页

21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 a ?3 2 x ? x ? (a 2 ? 3a) x ? 2a. 3 2
2

(I)如果对任意 x ? [1, 2], f ?( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (II)设函数 f ( x) 的两个极值点分别为 x1 , x2 判断下列三个代数式:
2 3 3 ① x1 ? x2 ? a, ② x12 ? x2 ? a 2 , ③ x1 ? x2 ? a 3 中有几个为定值?并且是定值请求出;

若不是定值,请把不是定值的表示为函数 g (a), 并求出 g (a ) 的最小值.

22.(本题 12 分)已知偶函数 y ? f (x) 满足:当 x ? 2 时, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x), a ? R , 当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? x(2 ? x) (1) 求当 x ? ?2 时, f (x) 的表达式; (2) 试讨论:当实数 a, m 满足什么条件时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 4 个零点, 且这 4 个零点从小到大依次构成等差数列.

第 5 页 共 5 页

衡水中学 2012—2013 学年度上学期第一次调研考试
高三年级数学试卷(理科)参考答案
C A C A D 13. (?2, ) BD B B C 14. 0 或 2 A C 15. (2,3) 16. -8046

2 3

17. 解: (1)当 a ? 1 时,

x?5 x?5 ?0? ? 0 ? M ? (??,?1) ? (1,5) 4 分 2 ( x ? 1)( x ? 1) x ?1

5 3a ? 5 3 ? 0 ? a ? 5 或a ? 9 (2) 3 ? M ? ????????6 分 ?0? 9?a a ?9 3 5a ? 5 5a ? 5 a ?1 5? M ? ? 0 不成立.又 ?0? ? 0 ? a ? 1或a ? 25 ?8 分 25 ? a 25 ? a a ? 25 a?

5 ? M ? a ? 1或a ? 25 不成立 ? 1 ? a ? 25
综上可得, 1 ? a ?

??9 分 ???????10 分

5 或9 ? a ? 25 3

18. 解析: (1)从 A 处游向 B 处的时间 t1 ?

300 2 ? 150 2 ( s ) , 2

而沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处的时间

t2 ?

300 300 ? ? 200 ( s) 6 2
而 150 2 ? 200 ,所以救生员的选择是正确的. (2)设 CD=x,则 AC=300-x, BC ? ??4 分

300 2 ? x 2 ,使救生员从 A 经 C 到 B 的时间
????????6 分

t?

300 ? x 300 2 ? x 2 ? ,0 ? x ? 300 6 2

1 x t? ? ? ? ,令 t ? ? 0, x ? 75 2 6 2 90000 ? x 2
又 0 ? x ? 75 2 , t ? ? 0;75 2 ? x ? 300 , t ? ? 0 , 知 x ? 75 2 , t min ? 50 ? 100 2 ( s)
第 6 页 共 6 页

????????9 分 ????????11 分

答: (略) 19. 解析: (1) y ? g ( x) ? 2 log 2 ( x ? 2), x ? ?2 (2) y ? F (x ) ? log 2

???????12 分 ?????4 分

x ,x ? 0 (x ? 2) 2

?????6 分

令 u (x ) ?

x , x ? 0 (过程略) (x ? 2) 2

?????10 分

当 x ? 2 时, y ? F ( x)的最大值-3 ? g ( x) ? f ( x ? 1) ????????12 分
2 20. (1) f ( x) ? x ? x ? 3 ,x0 是 f ( x) 的不动点, f ( x) ? x0 ? x0 ? 3 ? x0 , x0 ? ?1 则 得

2

或 x0 ? 3 ,函数 f ( x) 的不动点为 ?1 和 3 .…………………………….3 分 (2)∵函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,∴ f ( x) ? x ? ax ? bx ? (b ? 1) ? 0 恒有
2

两个不等的实根, ? ? b ? 4a(b ? 1) ? b ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立,
2 2

∴ (4a) ? 16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) . ……………..7 分
2

x1 ? x2 b 1 ,由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? , ?? 2a 2 ? 1 2 2a b b 1 b b 1 设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (? , ? ? 2 , ? 2 ) ,∴ ? 2a 2a 2a ? 1 2a 2a 2a ? 1

b (3)由 ax ?bx ? ( ? 1) ? 0 得
2

∴b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

2 2 1 ,当且仅当 2a ? (0 ? a ? 1) ,即 a ? 时等 2 4 a

号成立, ∴ b 的最小值为 ?

2 .……………………………………..12 分 4

21. 解: (1)由 f ( x) ? 得 f ?(x ) ? x 即x
2 2

1 3 a ?3 2 x ? x ? (a 2 ? 3a) x ? 2a. 3 2

? (a ? 3)x ? a 2 ? 3a ,对任意 x ? [1, 2], f ?( x) ? a 2 恒成立,

? (a ? 3)x ? 3a ? 0 , (x ? 3)(x ? a) ? 0 对任意 x ? [1,2] 恒成立,
第 7 页 共 7 页

又 x-3<0 恒成立,所以 x ? a ? 0对x ? [1,2] 恒成立,所以 a ? ?x 恒成立, 所以 a<-2. (2)依题意知 x 1 , x 2 恰为方程 f ?(x ) ? x
2

??????4 分

? (a ? 3)x ? a 2 ? 3a ? 0 的两根,

?? ? (a ? 3) 2 ? 4(a 2 ? 3a) ? 0 ? 所以 ? x1 ? x 2 ? 3 ? a 解得 ? 1 ? a ? 3 ??????5 分 ? 2 ? x1 x 2 ? a ? 3a
所以① x1 ? x2 ? a, 为定值, =3
2 2 2 2 2

??????6 分

② x 1 ? x 2 ? a ? (x 1 ? x 2 ) ? 2x 1x 2 ? a ? 9 为定值,??????7 分 ③ x 1 ? x 2 ? a ? (x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 1x 2 ? x 2 ) ? a ? 3a ? 9a ? 27 不是定值
3 3 3 2 2 3 3 2

即 g (a ) ? 3a ? 9a ? 27 ( ? 1 ? a ? 3 )所以 g ?(a ) ? 9a ? 18a ,
3 2 2

当 a ? [?1,0] 时, g ?(a) ? 0 , g (a ) ? 3a ? 9a ? 27 在 a ? [?1,0] 是增函数,
3 2

当 a ? [0,2] 时, g ?(a) ? 0 , g (a ) ? 3a ? 9a ? 27 在 a ? [?1,0] 是减函数,
3 2

当 a ? [2,3] 时, g ?(a) ? 0 , g (a ) ? 3a ? 9a ? 27 在 a ? [2,3] 是增函数,
3 2

所 以 g (a ) 在 ? 1 ? a ? 3 的 最 小 值 需 要 比 较 g (?1)与g (2) , 因 为 g (?1) ? 15 ;

g (2) ? 15
所以 g (a ) ? 3a ? 9a ? 27 ( ? 1 ? a ? 3 )的最小值为 15(a=2 时取到). ??12 分
3 2

22.解: (1)设 x ? ?2, 则 ? x ? 2 ,? f (?x) ? (?x ? 2)(a ? x) 又? y ? f (x) 偶函数? f (x) ? f (?x) 所以, f ( x) ? (x ? a)(?x ? 2) ?????????3 分

(2) f (x) ? m 零点 x1, x2 , x3 , x4 , y ? f (x) 与 y ? m 交点有 4 个且均匀分布

第 8 页 共 8 页

? x1 ? x2 ? ?2 ? a (Ⅰ) ? 2 时, ?2 x2 ? x1 ? x3 ?x ? x ? 0 3 ? 2
所以 a ? 2 时, m ?

得 x1 ? 3x2 , x1 ? ? , x2 ? ? , x3 ?

3 2

1 2

1 3 , x4 ? , 2 2

3 ??????????5 分 4 3 a 3 2 (Ⅱ) 2 ? a ? 4 且 m ? 时 , ( ? 1) ? , ? 3?2? a ? 3?2 4 2 4 3 所以 2 ? a ? 3 ? 2 时, m ? ???????????????7 分 4 (Ⅲ) a ? 4 时 m=1 时 符合题意????????????? ??8 分

? x3 ? x4 ? 2 ? a ? x3 ? x 4 ? 2 ? a 2 2?a 26 ? 3aa ?2 ? a 32 2 ? 20a ? 12 2 ? a a? a 3a 2 ? 20a ? ? ?a 2 a ? x 时, ? 1 ? , m?( x 4? a ) ? 2)( a ? )? x (IV)x3 ? 4 2 ? x4 m ?x4, ?2 x3 ? x2 ? x4 ? ?42)(? ? , m ? ( ,m ? 4 4 44 4 16 4 16 ?x ? ? x ? x4 ? ? x 3 3 ? 2 ? 2
此时 1 ? m ? (

a 10 ? 4 7 10 ? 4 7 (舍) ? 1) 2 所以 a ? or a ? 3 3 2
???10 分

a ? 4且a ?

3a 2 ? 20a ? 12 10 ? 4 7 时, m ? 时存在 3 16

综上: ① a ? 2 ? 3 时, m ? ② a ? 4 时, m ? 1 ③a ?

3 4

3a 2 ? 20a ? 12 10 ? 4 7 时, m ? 符合题意 3 16

???12 分

第 9 页 共 9 页


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