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高一数学必修五一元二次不等式的解法 (1)


2.2-1 一元二次不等式

复习一元二次方程
复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
? ? 0方程有两个不等的根 ? ? 0方程有一个根
? ? 0方程没有根

求根的方法: (1)公式法 X=
b 2 4ac ? b 2 ?0 (2)配方法,化为顶点式 a( x ? 2a ) ? 4a

(3)十字相乘法

例:求x ? 2 x ? 3 ? 0的根
2

方法一:

? (?2) ? (?2) ? 4 ? (?3) x? ? 1 ? 2 ? x1 ? ?1, x2 ? 3 2
2

方法二: 2

x ? 2x ? 3 ? ( x ? 1) ? 4 ? 0,?( x ? 1) ? 4
2 2

? x ? 1 ? ?2,即x ? 1 ? 2,? x1 ? ?1, x2 ? 3
方法三: 2

x ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)(x ? 3) ? 0,? x1 ? ?1, x2 ? 3

复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像 y
y y

O

x1

x2

x

O

b ? 2a

x

O

x

??0

??0

??0

复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像 y ??0
x

y

??0

y ??0

O

x1

x2

O

b ? 2a

x

O

x

一元二次不等式定义:
定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数

是二次的不等式叫做一元二次不等式.
形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)

问题:如何解一元二次不等式呢?

例:解一元二次不等式x2-2x-3<0

分析:

令 y=x 2 -2x-3,得到一元二次函数。

求得x2-2x-3=0的两根为x1=-1,x2=3 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:
y y=x2-2x-3

-1

o

3

x

问题探究:
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下:
(1).当x取 当 x取 当 x取
x= -1 或3 __________ -1<x<3 __________ x<-1 或 x>3 __________

时,y=0? 时,y<0? 时,y>0?
y y=x2-2x-3 y>0 -1 o y<0 3 x

(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集 为 ———————— 不等式x2-2x-3<0 的解集 为
﹛x|x<-1或x>3﹜ ﹛x|-1<x<3﹜

————————

归纳:
(1)先画出对应函数的图像
(2)确定不等式的解集:
ax2 ? bx ? c ? 0 的解集就是确定函数 y ? ax2 ? bx ? c

如何利用二次函数解二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 呢?

图像在X轴下方时,其x的取值范围
2 y ? ax ? bx ? c 的解集就是确定函数 ax ? bx ? c ? 0
2

图像在X轴上方时,其x的取值范围

一元二次不等式解集表(a>0)
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 x2+bx+c=0 的根

⊿>0
y

⊿=0
y

⊿<0
y

x1

x2

x

x1(x2) x 无实根

x

有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0(a>0) ﹛x|x<x1或x>x2﹜ ﹛x|x≠x1﹜ 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集

R Φ

Φ

例:解不等式:3x ? 5x ? 2 ? 0
2

例:解不等式:9 x ? 6 x ? 1 ? 0
2

例:解不等式: x ? 4 x ? 5 ? 0
2

例:解不等式:

? 2x ? x ? 1 ? 0
2

例:解不等式:

? x ? 4x ? 4 ? 0
2

典例精讲:

例2:已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集是 x 3 ? x ? 4 ,求实数 a , b 的值.

?

?

2

例:设A,B分别是不等式 3x ? 6 ? 19x 与不等式 ? 2 x 2 ? 3x ? 5 ? 0 的解集,试求 A ? B, A ? B.
2

解:由3x 2 ? 6 ? 19x,得3x 2 ? 19x ? 6 ? 0

? 1 ? 解得:A=? x ? x ? 6? ? 3 ? ? 2 由-2 x ? 3x ? 5 ? 0解得 B ? ? x ? 1 ? x ? ?

5? ? 2?

? 1 5? ? A ? B ? ?x ? x ? ? A ? B ? x ?1 ? x ? 6 2? ? 3

?

?

例:解关于x的不等式:
2 2

含参变量 的不等式

x ? (2m ? 1) x ? m ? m ? 0
解:

方程x 2 ? (2m ? 1) x ? m 2 ? m ? 0的解为:

x1 ? m, x2 ? m ? 1

?m ? m ?1

?x m ? x ? m ? 1? ?原不等式的解集为

例:解关于x的不等式:

x ? (1 ? a) x ? a ? 0
2

解:

方程x ? (1 ? a) x ? a ? 0的解为:
2

x1 ? ?1, x2 ? a (1)当a ? ?1时, 原不式的解集为( a,?1); (2)当a ? ?1时, 原不式的解集为 ?
(?1, a) (3)当a ? ?1时, 原不式的解集为

例:已知 ax ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 恒成立, 求a的取值范围。
2

解: 不等式恒成立,即解集为R
? a ? 0, ? ? 0
O

y

? y ? ax2 ? (1 ? a) x ? 1 的大致图像如图:
由? ? (1 ? a) 2 ? 4a ? 0解得:3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2

x

又a ? 0

? a的取值范围为 3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2

练一练
? P78-练习1第3题
? P80-练习2第3题

小结
(1)不等式的解集的运算:注意利用数轴进 行集合的交集和并集的运算 (2)含参变量的不等式问题: 注意区分自变量和参变量 注意比较两根的大小,利用分类 讨论的数学思想 求参变量的取值问题,借助二次 函数的图像,利用数形结合的数学思想


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