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教育部课题3.1.2两条直线平行与垂直的判定课


教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

两条直线平行与垂直的判定

复习
倾斜角 斜率
经过P1 (x1 , y 1 ) , P2 (x 2 , y 2 ) 的直线斜率公式

y 2 ? y1 k? (x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

在笛卡尔之前,几何与代数是老死不相往来,各自分开。 有了笛卡尔,代数与几何才联系在一起。我们知道在几何上有 两直线平行、相交,相交中很重要的一种情况是垂直,那几何 中的这种位置关系反应在代数上会有什么新鲜的结论呢?

平面上两条直线位置关系

y

o
x 有平行,相交两种

如果两条直线互相平行,它们的倾斜 角满足什么关系? 它们的斜率呢? y
L1 L2

o

x

前提:两条直线不重合 → ? L1// L2← 直线倾斜角相等 L1// L2 ← k1=k2 ?
或k1,k2都不存在 两条直线平行,它们的斜率相等吗?

前提:两条直线不重合,斜率都存在

L1// L2? k1=k2
注:此等式有两层意思。 第一层意思:斜率存在。 第二层意思:斜率相等。

结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2. 那么 L1∥L2 ? k1=k2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不存立.

特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°,互相平行.

例题:
已知(2,3),B(-4,0),P(-3,1), A Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
y

Q P
B
0

A

x

练习:已知四边形ABCD的四个顶点分别为
A (0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
y

D C
O

A B

x

当L1// L2时,有k1=k2。 L1⊥ L2时,
k1与k2满足什么关系?
y

?

1

?

2

x

(1)? 1 ? 45

0
0

(2)? ? 30
1

0

(3)?
2

? 2 ? 135

? ? 120
2

0

? ? 150

1

? 60

0

0

k 1 ?1 k 2 ? ?1
Y

3 k1 ? 3 k2 ? ? 3
Y

k k
2X

1

? 3
Y

3 ?? 2 3

?

1

?

2

X

?

1

?

?

1

?

2

X

(1)

(2)

(3)

当L1// L2时,有k1=k2。 L1⊥ L2时,
k1与k2满足什么关系?
y

?

1

?

2

x

→ L1 ⊥ L2 ←

K1k2= -1
或直线L1 与 L2中有 一条斜率为零,另一条 斜率不存在

两条直线垂直,一定是它们的斜率 乘积为-1这种情况吗?

前提条件: 两条直线都有斜率,并且都

不等于零.

L1⊥ L2? k1k2= -1
注:此等式两层意思。第一 层:斜率存在。第二层:斜 率之积是-1.

结论2: 如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直 的充要条件是k1·k2= -1 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提,结论并不存立. 特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时:

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 0 为

练习:
已知(-6,0),B(3,6),P(0,3), A Q(6,6),试判断直线BA与PQ的位置关系.

解:直线AB的斜率k AB

2 ? , 3

3 直线PQ的斜率k PQ ? ? . 2 2 3 由于k AB k PQ ? ? ? ) ?1 ( ? 3 2 所以直线AB ? PQ.

练习
已知(1,-1),B(2,2),C(3,0), A 三点,求点D,使直线CD ? AB,且CB //AD.
X=0,y=1

已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断⊿ABC的形状。

加上习题B组3、4、5、6刚好一节课。

学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识

一、知识内容上
L1// L2? k1=k2 (前提:两条直线不重合,斜率都
存在) L1⊥ L2? k1k2= -1 (前提:两条直线都有斜率, 并且都不等于零.)

二、思想方法上
(1)运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系 (2)数形结合的思想


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