当前位置:首页 >> 数学 >>

2017-2018高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(2)新人教A必修5

§2.1 数列的概念与简单表示法(二)

学习目标 1.理解数列的几种表示方法,能从函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.

内容索引

问题导学 题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一 递推公式
思考1
(1) 已 知 数 列 {an} 的 首 项 a1 = 1 , 且 有 an = 3an - 1 + 2(n>1 , n∈N*),则a4=_5_3__. (2) 已知数列{an}中,a1=a2=1,且有an+2=an+an+1(n∈N*), 则a4=_3__.

梳理
如果数列{an}的第1项或前几项已知,并且数列{an}的任一项an与它的 前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式 子就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是数列的一种表示方法.

思考2
我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列,那么通 项公式和递推公式有什么不同呢?
答案
通项公式和递推公式都是表示数列的方法.已知数列的通项公 式,可以直接求出任意一项;已知递推公式,要求某一项,则 必须依次求出该项前面所有的项.

知识点二 数列的表示方法
思考
以数列2,4,6,8,10,12,…为例,你能用几种方法表示这个数列?
答案

梳理
数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.

题型探究

类型一 数列的函数特性
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形,在四个三角形图案中, 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的 一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象. 解答

反思与感悟
数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n,且n∈N*,所以善 于利用我们熟知的一些基本函数,通过合理的联想、转化,从而达到 解决问题的目的.

跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数 学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子 摆成如图所示的三角形点阵,就将其所对应石子的个数称为三角形数, 则第10个三角形数是__5_5__. 答案 解析
三角形数依次为1,3,6,10,15,…,第10个三角形数为1+2+3+4+… +10=55.

类型二 数列的递推公式
命题角度1 由递推公式求前若干项 ??a1=1,
例 2 设数列{an}满足???an=1+an1-1?n>1,n∈N*?. 写出这个数列的前5项.
解答
由题意可知 a1=1,a2=1+a11=2,a3=1+a12=32,a4=1+a13=53,a5=1 +a14=1+35=85.

引申探究
数列{an}满足 a1=2,an+1=11+ -aann,求 a2 016. 解答 a2=11+-aa11=11+ -22=-3,a3=11+ -aa22=11-+33=-12,
a4=11+-aa33=11+-1212=13,a5=11+-aa44=11-+1313=2=a1. 故{an}是周期为4的数列. ∴a2 016=a4×503+4=a4=13.

反思与感悟
递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n 的值即可得到相应的项;而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依 次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否有规律性.

跟 踪 训 练 2 在 数 列 {an} 中 , 已 知 a1 = 2 , a2 = 3 , an + 2 = 3an + 1 - 2an(n≥1),写出此数列的前6项.解答
a1=2,a2=3, a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5, a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9, a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.

命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对于任意数列{an},等式:a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an- an-1)=an(n≥2,n∈N*)都成立.试根据这一结论,完成问题:已知数 列{an}满足:a1=1,an+1-an=2,求通项an; 解答
n≥2时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+2+ 2+ … + 2 =2(n-1)+1=2n-1.
(n- 1)个 2
a1=1也适合上式,
所以数列{an}的通项公式是an=2n-1.

(2)若数列{an}中各项均不为零,则有 a1·aa21·aa32·…·aan-n 1=an(n≥2,n∈N*) 成立.试根据这一结论,完成问题:已知数列{an}满足:a1=1,aan-n 1= n-n 1(n≥2,n∈N*),求通项 an. 解答
n≥2 时,an=a1·aa21·aa32·…·aan-n 1=1·12·23·…·n-n 1=1n. a1=1也适合上式, 所以数列{an}的通项公式是 an=1n.

反思与感悟
形如 an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用 a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an -an-1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式;形如aan+n 1=f(n)的递推公式,可以 利用 a1·aa21·aa32·…·aan-n 1=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.

跟踪训练3 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,试写出 a3,a4,a5,a6,a7,a8,你发现数列{an}具有怎样的规律?你能否求出 该数列中的第2 016项? 解答
a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2, a6=-1,a7=1,a8=2,…. 发现:an+6=an,数列{an}具有周期性,周期T=6, 证明如下:∵an+2=an+1-an, ∴an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an. ∴an+6=-an+3=-(-an)=an. ∴数列{an}是周期数列,且T=6. ∴a2 016=a335×6+6=a6=-1.

当堂训练

1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是 答案 解析 A.an+1=an+n,n∈N*
√B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N* D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
由已知得a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4, a5-a4=5,…,an-an-1=n,n∈N*,n≥2,故选B.

123

2.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N*),则此数列的通项an

等于 答案 解析

A.n2+1

B.n+1

C.1-n D.3-n√

∵an+1-an=-1. ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

=2+ (-1)+(-1)+…+(-1)
共(n-1)个
=2+(-1)×(n-1)=3-n.

123

3.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的 关系式可以是_a_n_=__2_n_+__1_,__n_∈__N__* . 答案 解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7, a4=3+2+2+2=9,…,∴an=2n+1,n∈N*.
123

规律与方法
1.{an}与an是不同的两种表示,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数 列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与 “整体”的从属关系. 2.数列的表示方法:(1)图象法;(2)列表法;(3)通项公式法;(4)递推公 式法. 3.通项公式和递推公式的区别:通项公式直接反映an和n之间的关系,即 an是n的函数,知道任意一个具体的n值,就可以求出该项的值an;而递 推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之 间的推导关系,不能由n直接得出an.